函数与导数_课件

另外还具有以下特点： 1．以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等 函数的概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、 抽象函数； 2．把函数知识与方程、不等式、解析几何等内容相结合， 重点考查学生的推理论证能力、运算求解能力和数学综合能力； 3．突出考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结 合、待定系数法、配方法、构造法等数学思想方法．
教学时，注意到如下几个问题：
(1)突出《考纲》的导向性作用：引导学生研读《考纲》， 即不仅老师对《考纲》中对函数的考查要求要了如指掌，学生 也必须十分明确，知道自己该在哪些方面下工夫，明确自己的 任务和方向，以使自己的复习目标和复习行为与老师的要求合 拍，减少师生之间的无谓的内耗，与高考先来次“零接触”．
命题趋势
纵观近两年浙江省的高考试卷，函数的主干知识、函数的综 合应用以及函数与方程的重要思想方法的考查，一直是高考的重 点内容之一，如2009年浙江卷第14题(分段函数在实际中的应用)， 第22题(分段函数、不等式、函数的导数的综合应用)；2010年浙 江卷第9题(函数的零点)，第22题(函数、导数、不等式、数列的 综合应用)．其特点是：稳中求变，变中求新，新中求活，试题 设计既有传统的套用定义、简单地使用性质的试题，也有挖掘本 质，活用性质的试题，出现了不少创新情境、新定义的信息试题， 以及与实际密切联系的应用题，和其他知识，尤其是导数、数列、 不等式、几何等知识交汇的热点试题．
图4－1
B．1个
C．2个
D．3个
B [解析] 根据函数的定义逐一判断． 对于图(a)，M 中属于(1,2]的元素，在 N 中没有元素与 它对应，不符合定义； 对于图(b)，M 中任何元素，在 N 中都有唯一元素与它 对应，符合定义； 对于图(c)，与 M 对应的一部分元素不属于 N，不符合 定义； 对于图(d)，M 中的在[0,2)中的元素，在 N 中有两个元 素与之对应，不符合定义， 由上分析可知，应选 B.
(5)重视几类特殊函数：抽象函数、分段函数理解 研究起来比较困难，但是这类问题对培养学生观察能力， 有十分重要的作用，近几年来高考无论是客观题还是主 观题中都有涉猎．
(6)引导学生按考试要求的三个层次进行复习，不 能停留在简单地复习导数的知识和应用上．
函数及其表示
知识梳理
1．函数
(1)函数的定义：设A、B都是非空的数集，如果按照某种
确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中
都有___唯__一__确__定___的f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合 A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变 量， x的取值范围A叫做函数f(x)的_定__义__域___，与x的值相对应的
y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的 __值__域__，显然，{f(x)|x∈A}⊆B.
法则 3.uvxx′＝u′xvxv－ 2xuxv′x(v(x)≠0)．
(3)导数的应用 ①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数 的单调性，会求函数的单调区间. ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会 用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最 大值、最小值． ③会用导数解决某些实际问题．
⑤理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的 最大(小)值．
⑥会运用函数图象理解和讨论函数的性质． (2)指数函数 ①了解指数函数模型的实际背景． ②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算． ③理解指数函数的概念，会解决与指数函数性质有关的 问题．
(3)对数函数 ①理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将 一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化 运算中的作用． ②理解对数函数的概念；能解决与对数函数性质有 关的问题． (4)幂函数 ①了解幂函数的概念． ②结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象， 了解它们的变化情况．
编写中注意到以下几个问题： (1)考虑到该部分内容是第一轮初始阶段复习的知识， 因此在选题时注重基础题为主，尽量避免选用综合性强，思 维难度大的题目；
(2)函数与方程、分类讨论、数形结合、化归转化等数 学思想与方法，在本单元中均有涉及，充分体现了数学思想 是本书的精髓的理念；
(3)从近几年高考看来，涉及该部分内容的新情景、新 定义的信息迁移题以及实际应用问题是高考的一个热点话题， 因此适当加入了类似的题目；
高三函数复习不是简单的知识重复，而是再认识，再提高的 过程，复习中的最大矛盾是时间短，内容多，要求高，而且高 一学习函数时是走马观花，匆匆而过，这就要求在上复习课时 既要做到突出重要点，抓住典型，又能在高度概括中深刻揭示 知识的内在联系，使学生在掌握规律中理解、记忆、熟练、提 高，因此教师在引导学生复习该部分时，对各层次知识点要把 握准确，切忌追求难题、偏题和怪题．
[点评] 判断一个对应关系是否是映射或函数关系， 关键抓住两个关键词“任意”、“唯一”，即x的任意性 和y的唯一性，判断一个图象是否是函数关系也是如此， 如：
设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出 图 4－ 中四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的 函数关系的有( )
A．0个
(2)构成函数的三要素是：_定__义__域___、_对__应__关__系___、_值__域___. (3)函数的表示方法：_解__析__法___、_列__表__法___、_图__象__法___.
2．映射 映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照 __某__一__种__确__定__的对应关系f，使对于集合A中的_任__意__一__个___元 素x，在集合B中都有__唯__一__的__元素y和它对应， 那么就称对 应f：A→B叫做从集合A到集合B的一个映射． 映射与函数的关系：函数是_特__殊___的映射．
(4)突出了函数性质的综合应用，在复习完函数的性质 后，专门设置了涉及函数性质综合应用的课时作业．
(5)为体现导数在研究函数中的作用，专门设置了以该 内容为主的滚动基础训练；
(6)有意识地将解析几何中切线、最值问题，函数的单 调性、极值、最值问题，二次函数，方程，不等式，代数不 等式的证明等进行交汇，特别是精选一些以导数为工具分析 和解决一些函数问题，切线问题的典型问题，充分体现导数 的工具性．
► 探究点2 函数的定义域的求法
(2)重视教材的基础作用和示范作用：函数客观题一般直接 来源于教材，往往就是课本的原题或变式题，主观题的生长点 也是教材，在函数复习备考中重视教材中一些有典型意义又有 创新意识的题目作为函数复习过程中的范例与习题，贯彻“源 于课本，高于课本”的原则．
(3)阐明知识系统，掌握内在联系：知识的整体性是切实 掌握函数知识的重要标志，函数概念、图象和性质是环环相 扣，紧密相连，互相制约的，并形成了一个有序的网络化的 知识体系，这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中 去讲函数的概念、性质、公式、例题，只有这样，学生对概 念、性质的理解才是深刻的、全面的，记忆才是鲜明的、牢 固的、生动的，应用起来才是灵活的、广泛的．
(4)重视渗透数学的思想方法：数学思想和方法是数学 知识在更高层次上的抽象和概括，单纯的知识教学只能是学 生知识的积累，而思想和方法的教学则潜移默化于能力的提 高过程中，函数这一部分重要的数学思想方法有函数与方程 思想、分类讨论思想、等价转化思想、数形结合的思想，数 学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法、构造法等．数 学思想方法是以具体的知识为依托的，在复习教学中，要重 视知识的形成过程，着重研究解题的思维过程，有意识的渗 透思想方法，使学生从更高层次去领悟，去把握，去反思数 学知识，增强数学意识，提高数学能力．
要点探究
► 探究点1 函数与映射的概念 例1 已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的
四种对应关系中，构成A到B的函数的是________．
[思路] 利用函数的定义中的两个条件判断对应是否 为函数．
(1)(3) [解析] 对于(1)，集合A中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应，因此(1)是函数；对于(2)， 集合A中的元素4在B中没有元素与之对应，因此(2)不是 函数；对于(3)，集合A中的每一个元素在B中都有唯一的 元素与之对应，因此(3)是函数；对于(4)，集合A中的元 素3在B中有两个元素与之对应，因此(4)不是函数．
(6)三角函数中的正切函数y＝tanx，x∈R，且
x≠___k_π_＋ __π2_， __k_∈ __Z___；
(7)如果函数是__实__际__意__义____确定的解析式，应依 据自变量的实际意义确定其取值范围；
(8)对于抽象函数，要用整体的思想确定自变量的 范围；
(9)对于复合函数y＝f[g(x)] 若已知f(x)的定义域为 [a，b]，其复合函数 f[g(x)] 的定义域是不等式 __a_≤_g_(_x_)_≤_b___ 的解集．
函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的 各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容 的主线，预测高考在选择题、填空题中主要考查函 数的概念、性质和图象，解答题主要以函数为背景， 与导数、不等式、数列、甚至解析几何等知识相整 合设计试题，考查函数知识的综合应用．
使用建议
“函数”是高中数学中起联接和支撑作用的主干知识， 也是进一步学习高等数学的基础，其知识、观点、思想和方 法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题的解 决．因此，在高考中函数是一个极其重要的部分，函数的复 习也是高三数学第一轮复习的重头戏．
3．分段函数
分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x的 不同取值，__表_示__的__式__子___可以不止一个，即对应法则“f” 是分几段给出表达的，它是一个函数，不是几个函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_并__集___， 其值域等于各段函数的值域的_并__集___．
4．函数解析式的求法 求函数解析式的常用方法：_待__定__系__数_法____、__换__元_法___、 _配__方__法___、赋值法和函数方程法．
(5)函数与方程 了解函数零点的概念，能判断函数在某个区间上是否 存在零点． (6)函数模型及其应用 ①了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征． ②能利用给定的函数模型解决简单的实际问题． 2．导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义．
(2)导数的运算 会用下面给出的常见基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单的函数的导数，能求简单的复合 函数(仅限于形如 f(ax＋b))的导数． 常见基本初等函数的导数公式和导数运算法则： C′＝0(C 为常数)；(xn)′＝nxn－1，n∈Q*； (sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx； (ex)′＝ex；(ax)′＝axlna(a>0，a≠1)； (lnx)′＝1x；(logax)′＝xl1na(a>0，a≠1)． 法则 1.[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； 法则 2.[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x) ；
5．常见函数定义域的求法
(1)整式函数的定义域为_全__体__实__数___； (2)分式函数的分母不得为_零___； (3)开偶次方根的函数被开方数为_非__负__数___； (4)对数函数的真数必须_大__于__零___；
(5)指数函数与对数函数的底数必须大__于__零___且__不___于__1__；
函数与导数
知识框架
考纲要求
1．函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、 幂函数)
(1)函数 ①了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域 和值域. ②理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法． ③了解简单的分段函数，并能简单应用． ④理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性；理 解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性．