跃迁量子力学

E < E0 E > E0
M3极大
B + A( E − E0 )1/ 2 + 0( E − E0 ) J(E) = B + 0( E − E0 )
E < E0 E > E0
二维体系临界点与联合态密度. 二维体系临界点与联合态密度 其中A=(8π/c)h-2(mxmy)1/2， B为与能带结构有关的常数 其中 π 为与能带结构有关的常数
h
即
∫ψ ∫ψ ∫ψ
* C * C * C
( r , K )( x )ψ V ( r , K )dτ ≠ 0 ( r , K )( y )ψ V ( r , K )dτ ≠ 0 ( r , K )( z )ψ V ( r , K )dτ ≠ 0
奇函数， 奇函数，允许 偶函数， 偶函数，禁戒
例，对反演对称体系，若价带波函数为偶函数，则导带波函数 对反演对称体系，若价带波函数为偶函数， 为
• 临界点方程
布区高对称点
∇KEC(K) =∇KEV(K)=0 ∇
布区高对称线
∇KEc(K)−∇KEv(K)=0 −∇
ε r (ω ) ε i (ω )
hω
Eg
临界点的性质
有效质量的各向异性：在临界点附近展开 有效质量的各向异性：在临界点附近展开(k0x,k0y,k0z)
( k y − k0 y ) 2 ( k z − k0 z )2 ( k x − k0 x ) 2 h2 Ec ( K ) − Ev ( K ) = E0 + [ε x ] +εy + εz 2 mx my mz
跃迁几率
含时微扰项为
H I ( r , t ) = H I ( r )e
± iω t
“-”代表光吸收
“+”代表光发射 代表光发射
（时间指数因子） 时间指数因子）
Ef 吸收 Ei
g(ω )
Ei 发射 Ef g(ω)为终态态密度 ω 为终态态密度
跃迁几率
积分形式 微分形式(黄金法则 黄金法则） 微分形式 黄金法则）
取 e ± ik .r ≈ 1 ± ik ⋅ r 电四极跃迁矩阵元及选择定则
a ⋅ MV ,C ∝ ∫ ψ V ( r , K )( r 2 )ψ C ( r , K )dτ ≠ 0
即
* ψ C ( r , K )( x 2 )ψ V ( r , K )dτ ≠ 0 ∫
* ψ C ( r , K )( y 2 )ψ V ( r , K )dτ ≠ 0 ∫
* ψ C ( r , K )( z 2 )ψ V ( r , K )dτ ≠ 0 ∫
2 ds JV , C = 3 （2π） Ec −∫∫= hω ∇ K [( EC ( K ) − EV ( K )] Ev
d3k= ds · d K⊥ = ds · dE / ∇KE(K) 满足 ∇ K [( EC ( K ) − EV ( K )] = 0 条件 的点称为布里渊区的临界点, 的点称为布里渊区的临界点 或Van Hove奇点 奇点
波函数， 波函数，单电子近似
“+”代表光吸收 代表 （空间指数因子） 空间指数因子） “-”代表光发射 代表
讨论： 讨论：布洛赫函数的周期性与动量守恒定律 晶体中的电子波函数： 晶体中的电子波函数：布洛赫函数
Ψ * ,K = e u( K f , r ) f Ψ i , K = e iK ⋅r u( K i , r )
W=
2π h
f HI i
2
2π W= f HI i h 2π e 2
W= h m (
2
δ ( E f − Ei m hω )
2
A0 ) a ⋅ M i , f δ [ E f ( K f ) − Ei ( K i ) m hω ]
a ⋅ M i , f = ∫ ψ * , K f (e ± ik ⋅r a ⋅ P )ψ i , K i dτ f
HI = H
注释： 注释：
(1)
e N = ∑ A( ri , t ). Pi m i =1
H=
1 ( p + eA)2 + U ( r ) 2m2 p e e2 2 A = + U (r ) + A ⋅ P + m 2m 2m (1) (2) ≡ H0 + H I + H I
其中利用横波条件 ∇ ⋅ A = 0 和 P ⋅ A − A ⋅ P = − i h∇ ⋅ A
3. 6 带间跃迁的量子力学处理
基础： 基础：含时间的微扰理论
光
（微扰） 微扰）
体系
绝热近似， 绝热近似， 单电子近似 有效质量近似(EMA) 有效质量近似 给出： 给出：
• 吸收光谱及所有光 学函数的量子力学的 表达； 表达； • 动量选择定则 • 布里渊区临界点及 其在光跃迁中的作用； 其在光跃迁中的作用； • 电偶极与电四极跃 迁选择定则
f i i
− iK f ⋅ r
其中周期性函数
u( K , r + T ) = u( K , r )
偶极跃迁矩阵元满足平移对称性， 偶极跃迁矩阵元满足平移对称性，即要求下式保持不变 所以 或
a ⋅ M i , f exp[i ( − K f ± k + K i ) ⋅ T ] − K f ± k + Ki = 0 K f = Ki = K (光子：k ≈ 0)
• 跃迁矩阵元
宇称选择定则 a ⋅ M = ∫ ψ (e
V ,C * C
± ik ⋅ r
a ⋅ P )ψ V dτ
长波近似） 取 e ± ik .r ≈ 1( k ⋅ r 1， 长波近似） 电偶极跃迁矩阵元及选择定则
* a ⋅ MV ,C ≈ ∫ ψ C (a ⋅ P )ψ V dτ
m * ( EC − EV )∫ ψ c ( r , K )(a ⋅ r )ψ v ( r , K )dτ ≠ 0 h i < b P a >= − m < b [r , H 0 ] a >= miωba < b r a > 其中利用 =i
介电函数虚部的量子力学表示
hω ⋅ Z = σ E 2 = ε 0ωε i (ω ) E 2 = ε 0ω 3ε i (ω ) A2 = 2ε 0ω 3ε i (ω ) A02
ε i (ω ) =
2 2 π e 2 ( ) ∑{ ∫ a ⋅ MV ,C δ [ EC ( K ) − EV ( K ) − hω ]} ε 0 m ω V ,C BZ (2π )3
相互作用哈密顿量
• 辐射场 光场 矢量势 辐射场(光场 光场) 标量势φ
r r − ( iω t − k . r ) A = A0 a[e r + e i (ω t − k . r ) ] r
r ∂A ∂A E = −∇φ − =− ∂t ∂t
r r P + eA
• 哈密顿量 电子动量:在光场作用下为 电子动量 在光场作用下为 相互作用哈密顿量
临界点 P0极小 联合态密度 图示
J(E) =
{
B + 0( E − E0 ) B + A + 0( E − E0 )
E < E0 E > E0
P1鞍点
J(E) = B −
A
π
Ln 1 −
E + 0( E − E0 ) E0
E < E0 E > E0
P2极大
J (E) =
{
B + A + 0( E − E0 ) B + 0( E − E0 )
1/ 2 J ( E ) = B − A( E − E0 ) + 0( E − E0 ) B + 0( E − E0 )
E < E0 E > E0
M1鞍点
E < E0 E > E0
ห้องสมุดไป่ตู้
M2鞍点
B + ( E − E0 ) J(E) = 1/ 2 B + A( E − Eo ) + 0( E − E0 )
三维体系联合态密度在临界点附近的解析行为及图示. 三维体系联合态密度在临界点附近的解析行为及图示 A=π25/2h-3(mxmymz)1/2，B与能带结构有关的常数 π 与能带结构有关的常数
临界点 M0极小 联合态密度 图示
B + 0( E − E0 ) J(E) = B − A( E − Eo )1/ 2 + 0( E − E0 )
空间中， 在K空间中，跃迁矩阵元可近似处理为常量，所以有 空间中 跃迁矩阵元可近似处理为常量，
ε i (ω ) ∝ α (ω ) ∝
1
2 1 MV , C ⋅ JV , C nω
ω2
MV , C ⋅ JV , C
2
• 联合态密度
JV , C = 2dK ∫ (2π )3 δ [ EC ( K ) − EV ( K ) − hω ] BZ
其它光学响应函数的量子力学表示
ε r (ω ) = 1 +
2e 2dk ∑∫ ε 0 m 2 V ,C BZ (2π )3 [ EC ( K ) − EV ( K )] 1 ⋅ [ EC ( K ) − EV ( K )]2 / h 2 − ω 2
2
a ⋅ MV ,C ( K )
2
联合态密度和临界点
临界点 Q0极小 联合态密度 图示
B + 0( E − E0 ) J(E) = B + A( E − Eo )−1/ 2 + 0( E − E0 )
E < E0 E > E0
Q1极大
B + A( E − E0 )−1/ 2 + 0( E − E0 ) E < E0 J(E) = E > E0 B + 0( E − E0 )
对应直接跃迁（竖直跃迁）。 对应直接跃迁（竖直跃迁）。
直接跃迁吸收谱的量子力学计算
单位时间、 单位时间、单位体积中的跃迁数
对K求和 求和 对S求和 求和 对V和C求和 和 求和
2 2π e 2dK Z= a ⋅ MV ,C δ [ EC ( K ) − EV ( K ) − hω ]} ( A0 )2 ∑ { ∫ 3 h m V ,C BZ (2π )
M0 : 二次项系数皆为正数 极小 二次项系数皆为正数(极小 极小); M1 : 二次项系数中 两个正 一个负 鞍点 二次项系数中, 两个正, 一个负(鞍点 鞍点); M2 : 二次项系数中 一个正 两个负 鞍点 二次项系数中, 一个正, 两个负(鞍点 鞍点); M3 : 二次项系数皆为负数 极大 二次项系数皆为负数(极大 极大). 一维体系联合态密度在临界点附近的解析行为及图示. 一维体系联合态密度在临界点附近的解析行为及图示 A=(4π/ab)h-1(mz)1/2, B为与能带结构有关的一个常数 π 为与能带结构有关的一个常数