初中数学奥林匹克汇总

数学奥林匹克初中训练题

第 一 试

一. 选择题.(每小题7分,共42分) ( )1.设,a b 是实数,且

11111a b b a -=

++-,则11b

a

++等于: (A)

152± (B)152+± (C)352

-± (D)352±

( )2.适合于2

(2)20y x yx -++=的非负整数对

(,)x y 的个数是:

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

( )3.如图1,凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙

O,ABCD 是矩形,AE=ED,且BE 和CE 把AD 三等分.则此

五边形ABCDE 的面积是:

(A)

33 (B)32 (C)3 (D)534

( )4.若关于x 的不等式3x a x +≥-的解中包含了”x a ≥”,则实数a 的取值范围是:(A)3a ≥- (B)1a ≥-或3a =- (C)1a ≥或3a =- (D)2a ≥或3a =-

( )5.如图2,在ΔABC 中,M 是边AB 的中点,N 是边AC 上的

点,且

2AN

NC

=,CM 与BN 相交于点K.若ΔBCK 的面积等

于1,则ΔABC 的面积等于: (A)3 (B)

103 (C)4 (D)133

( )6.设,,a b c 为实数,且0a ≠,抛物线2

y ax bx c =++

与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,且抛物线的顶点在直线1y =-上.若ΔABC 是直角三角形,则Rt ΔABC 面积的最大值是: (A)1 (B)3 (C)2 (D)3 二. 填空题.(每小题7分,共28分)

1.设x 是实数,则函数123y x x x =-+---的最小值是 .

2.方程2

0x ax b ++=的两根为12,x x ,且3322121212,x x x x x x +=+=+,则有序实数组(,)

a b 共有 个. 3.若

2a b a c

b c c a a b c

+==

++++,则::a b c = .

4.如图3,正ΔEFG 内接于正方形ABCD,其中E,F,G 分别在边AB,AD,BC 上,若

2,AE

EB

=则BG

BC

= . 第 二 试

一.(20分)如图4,在锐角ΔABC 内有一点P,直线AP,BP,CP 分别交对边于Q 1,Q 2,Q 3,且∠PQ 1C=∠PQ 2A=∠PQ 3B.试问:点P 是否必为ΔABC 的垂心?如

果是,请证明;如果不是,请举反例说明. 二.(25分)设p 为素数,k 是正整数.

求证:方程2

10x px kp ++-=至少有一个整数根

的充分必要条件是1k =

三.(25分)是否存在这样的正整数n ,使得2

371n n +-能整除3

2

1n n n +++?请说明理由.

数学奥林匹克初中训练题

第 一 试

三. 选择题.(每小题7分,共42分)

( )1.已知

33333a b c abc

a b c

++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实

数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为: (A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)- ( )3.在ΔABC 中,

211

a b c

=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案

( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2

();a a =③

若点(,)P a b 在第三象限,则点1

(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,2

2

S AP BP =+,那么:

(A)22S

CP (B)22S CP = (C)22S

CP (D)不确定

( )6.满足方程2

2

2()x y x y xy +=++的所有正整数解有:

(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组 四. 填空题.(每小题7分,共28分)

1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小

轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过 分钟,货车追上了客车.

2.若多项式22

28171642070P a ab b a b =-+--+,那么P

的最小值是 .

3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在

OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .

4.已知二次函数2

(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .