第四章线性方程组与向量组的线性相关性

➢ 注：定理1.1、定理1.2及推论1.1自行阅读
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 由定理2可知
➢ 定理3 设n元齐次线性方程组 Ax=0，
⑴ R(A)=n 方程组Ax=0有惟一解， 即方程组Ax=0只有零解
A为方阵时，A≠0 ⑵ R(A)<n 方程组Ax=0有无穷多组解，
即方程组Ax=0有非零解 A为方阵时，A=0 ➢ 注：定理1.3及推论1.2自行阅读。
2r2r1 5r2r3
1 0
0 1
1 1
1 0
3 1
0 5 5 0 5
0 0 0 0 0
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 原方程组可化为
x1 x3 x4 3
x2 x3
1
x3与x4可任意取值， 称为自由未知量
令x3k1,x4k2(k1,k2为任意 ),得 方常 程 组 的数 解
x1 3 k1 k2
向量组可相互线性表示，则称这两个向量组等价。
➢ 性质1若向量组1, 2,…,s可由向量组1, 2,…, t 线性表示，向量组1, 2,…,t 可由向量组1, 2, …,p线性表示，则向量组1, 2,…,s可由向量组 1, 2,…,p线性表示。（传递性）
§2 向量组的线性相关性
➢ 性质2
⑴向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,s等价； ⑵若向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,t 等价， 则向量组1, 2,…,t 与向量组1, 2,…,s等价； ⑶若向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,t 等价， 向量组1, 2,…,t 与向量组1, 2,…,p等价， 则 向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,p等价。
➢ 例1 用消元法解线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 1 3x1 x2 4x3 3x4 8 2x1 x2 x3 2x4 7
➢
解
(A,b)
1 3
2 1
3 4
1 3
1 8
3r1r2 2r1r3
1 0
2 5
3 5
1 0
1 5
2 1 1 2 7
0 5 5 0 5
r215 1 0
2 1
3 1
1 0
1 1
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 例1.3 判断下列线性方程组是否有解
x1 2x2 3x3 x4 1 3x1 x2 5x3 3x4 2 2x1 x2 2x3 2x4 3
➢
解
(A,b)
1 3
2 1
3 5
1 3
1 2
3r1r2 2r1r3
1 0
2 5
3 -4
1 0
1 -1
2 1 2 2 3
0 5 -4 0 1
,
0
0
e2
1
,
0
0
,en
0 1
,
a
1
任意n维列向量
a2
an
a 1 e 1 a 2 e 2 a n e n .
即任 n维 意列向量 e1,e都 2,en线 可性 由.表示
§2 向量组的线性相关性
➢ 定义2.2 若向量组1, 2,…,s中的每一个向量都 可由向量组1, 2,…,t 线性表示，则称向量组1, 2,…,s可由向量组1, 2,…,t 线性表示；若两个
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 用消元法解线性方程组的思想方法是： 解线性方程组Ax=b
(1)用初等行变换将增广矩阵(A, b)化为最简行阶梯 形矩阵(C, d)； (2)解方程组Cx=d，其解即是方程组Ax=b的解.
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 例1.2 用消元法解线性方程组
x1 x2 x3 2 4x1 6x2 2x3 2 2x1 x2 x3 1
➢ 若b=0, 即 Ax=0 称为齐次线性方程组 ➢ 若b≠0, 即 Ax=b 称为非齐次线性方程组
➢ 若n维列向量=(1, 2,…,n)T满足A=b，则 称x1=1, x2=2,…, xn=n是Ax=b的一个解， 并称是Ax=b的一个解向量，或说x=是Ax=b的解。
§1 消元法与线性方程组的相容性
11
当=1或=-2时，A=0,即方程组有非零解。
§1 消元法与线性方程组的相容性
本节学习要求 ➢ 1.理解线性方程组有关的概念； ➢ 2.掌握消元法、熟悉克莱姆法则及线性方程组解
有关的定理。
➢ 作业：习题4.1(A) 第2,3题
§2 向量组的线性相关性
➢ 本节教学内容 ➢ 1.线性组合、线性表示和等价关系 ➢ 2.向量组的线性相关性 ➢ 3.线性相关性与线性表示法 ➢ 4.维数、向量个数与线性相关性
下面，我们来讨论一般的线性方程组的解法。
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 3.用消元法解线性方程组 ➢ 定义1.1 若线性方程组A1x=b1的解都是线性方 程组A2x=b2的解；反之，线性方程组A2x=b2的解 都是线性方程组A1x=b1的解，则称线性方程组 A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 ➢ 在中学，我们已经知道 (1)方程两边同乘一个非零常数，方程的解不变； (2)方程两边同乘一个常数,然后加到另一个方程 上，方程组的解也不变(即加减消元法)。 因此，就有
x2
1
k1
x3
k1
R(A)=R(A,b)=2<4 (未知量个数) 方程组有无穷多组解, 自由未知量个数=4-2=2.
x 4 k 2
1 0 2r2r1 5r2r3
1
1 3
此称方程组的一般解(或通解)
0 1 1 0 1 0 0 0 0 0
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 例2用消元法解线性方程组
a2j1
b2 a2j1 a2n
#
a1 anj1 bn anj1 ann
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 例1.1 解线性方程组
➢解
x1 x2 x3 2 4x1 6x2 2x3 2 2x1 x2 x3 1
11 2
x 1 1 ,x 2 1 ,x 3 0 . 2 1 2
1 2 3 1 1
r2r3
0 5 -4 0 -1
0 0 0 0 2
R (A )R (A ,b), 方程组无解.
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 例1.4 问取何值，下列方程组有非零解
x1 x2 x3 0
x1 x2
x3 0
x1
x2 x3 0
➢解
11 A 1 1 (1)2(2)
➢ 记：A(aij)mn, x(x1,x2,,xn)T,b(b1,b2,,bm)T, 称A为系数矩阵，x为未知列，b为常数列， 则线性方程组可写成矩阵形式 Ax=b
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 设n元线性方程组 Ax=b，若A按列分块为 A=(1, 2, … ,n)，则方程组可写成向量形式
1x1+2x2+ … +n xn =b
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 1.线性方程组的概念 ➢ n元线性方程组的一般形式为
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
其 a i,jb i中 为 ,x j 常 为( 数 未 i 1 ,2 , ,知 m ;j 1 ,2 ,量 ,n )
§2 向量组的线性相关性
➢ 1.线性组合、线性表示和等价关系
➢ 定义1 若干同维数的列向量(或同维数的行向量)：
1, 2, …, s叫做一个向量组. ➢ 定义2 若矩阵A按列分块为A=(1, 2, … ,n)， 则1, 2, … ,n叫做矩阵A的列向量组.
1
若矩阵A按行分块为
A
2
m
➢ 设n元线性方程组 Ax=b，称Ax=0 为与它对应的齐
次线性方程组，
➢ 若n维列向量 (≠0)满足A=0，则称x= 是齐次线
性方程组Ax=0的一个非零解， ➢ 显然x=0是Ax=0的一个解， 称它为Ax=0的零解， 或当然解，或平凡解。 ➢ 若线性方程组 Ax=b有解，则称它是相容的， 否则称它是不相容的。 ➢ 性质齐次线性方程组是相容的。
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 证 Ax=b，
A11
A21
xA1b 1 A*b A
1 A12
A
A1n
A22 A2n
xj
1 A
n k1
Akjbk
Dj A
(j 1,2,,n)
An1
b1
An2 b2
Ann
bn
a11 a1j1 b1 a1j1 a1n
其中Dj a21
为这个线性组合的系数。
若 =k11+k22+…+ kss 则称是1, 2, … ,s的线性组合， 也称可由1, 2, … ,s线性表示 (或线性表出). 注： 可由1, 2, … ,s线性表示
线性方程 x11+x22+…+xss= 有解
§2 向量组的线性相关性
➢ 例 n维基本列向量
1
e1
0
1 1 1 2
1 1 1 2
➢
解
(A,b) 4
6
2
2 22rr13 rr320 4 4
4
2 1 1 1
0 3 1
3
r 2( 41)01
1 1
1 2
1 0 0 1
1
1
3rr22 rr310
1
1
1
0 3 1 3
0 0 2 0
§1 消元法与线性方程组的相容性
1
0
0
1
r3
1 2
1
线性代数 第四章
第四章 线性方程组与向量组的线性相关性
➢ 本章教学内容 ➢ §1 消元法与线性方程组的相容性 ➢ §2 向量组的线性相关性 ➢ §3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 ➢ §4 线性方程组解的结构
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 本节教学内容 ➢ 1.线性方程组的概念 ➢ 2. Cramer(克莱姆)法则 ➢ 3.用消元法解线性方程组
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 2. Cramer法则
➢ 设n个方程的n元线性方程组 Ax=b，
其中 A(aij)nn, x(x1,x2,,xn)T, b(b1,b2,,bn)T,
若A≠0，则线性方程组Ax=b有惟一解
x1D A 1,x2D A 2,,xnD A n.
其中Dj是以b代替A的第 j列所得到的n阶行列式。
x1 2x2 3x3 x4 1 3x1 x2 4x3 3x4 8
2x1 x2 x3 2x4 78
➢
解
(A,b)
1 3
2 1
3 4
1 3
1 8
3r1r2 2r1r3
1 0
2 5
3 5
1 0
1 5
2 1 1 2 78
0 5 5 0 56
r215 1 0
2 1
3 1
1 0
1 1
2r2r1 5r2r3
1 0
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 定理1 若(A1, b1)经初等行变换化为(A2, b2)， 则线性方程组A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 ➢ 事实上，倍法变换相当于第i个方程两边同乘一 非零常数；消法变换相当于加减消元法；换法变 换相当于交换两个方程的次序，故线性方程组的 解不变。 ➢ 定义 (A, b)称线性方程组Ax=b的增广矩阵。
0 1
1 1
1 0
3 1
0 5 5 0 65
0 0 0 0 01
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 原方程组可化为
x1 x3 x4 3
x2 x3
1
0 1
所以方程组无解.
矛盾方程组
R(A)≠R(A,b) 方程组无解,1 0 2r2r1 来自r2r311 3
0 1 1 0 1
0 0 0 0 01
则1, 2, … ,m叫做矩阵A的行向量组.
§2 向量组的线性相关性
➢ 例 矩阵
1 1 1 A 0 1 2
0 0 0
➢ 则 1=(1,1,1)，2=(0,1,2)，3=(0,0,0)，
是A的行向量组;
1
1
1
1 0, 2 1, 3 2,
0
0
0
是A的列向量组.
§2 向量组的线性相关性
➢ 定义2.1 设1, 2,…,s为n维向量组，k1, k2,…,ks 为一组数，则 k11+k22+…+ kss 叫做1, 2, … ,s的一个线性组合， k1, k2,…,ks 称
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 由上述例题可知
➢ 定理2 设n元线性方程组 Ax=b，
⑴ R(A)=R(A,b)=n 方程组Ax=b有惟一解; ⑵ R(A)=R(A,b)<n 方程组Ax=b有无穷多组解,
自由未知量个数=n-R(A) ; (方程组中可任意取值的未知量称自由未知量) ⑶ R(A)≠R(A,b) 方程组Ax=b无解.
0
0
1 1 r3 r2
0
0
1
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1
0 0 2 0
0 0 1 0
0 0 1 0
x1 -1 ,
于是方程组的解为
x2
-1 ,
x 3 0 .
R(A)=R(A,b)=3 (未知量个数) 方程组有惟一解。
§1 消元法与线性方程组的相容性
A 4 6 2 80, D1 2 6 2 8,
2 1 1
1 1 1
1 2 2 D2 4 2 2 8,
2 1 1
1 1 2 D3 4 6 2 0,
2 1 1
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ Cramer法则对于线性方程组的求解有重要的理 论意义。但是，它只能求解方程个数与未知量个 数相同、且其系数行列式的值不为零的线性方程 组，随着未知量个数的增加，计算变得十分困难.