矩阵的乘法

2. 矩阵乘法的性质 乘法的结合律, 乘法对加法的分配律. 3. 矩阵乘法的应用
实际应用的例子比较多, 还有如建筑耗材问题,
图的邻接矩阵等例子, 请课后阅读教材.
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作业:
教材P105 第7、第8 、第9题.
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a11
A
a21
am1
a12 a22
am 2
a1n
a2n
,
amn
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
b1
b2
,
bm
则线性方程组可由它的增广矩阵唯一确定. 反过来, 线性方程 组也唯一地确定它的增广矩阵, 我们令
b1
B
b2
,
bm
计算矩阵乘积AX
元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘
积之和, 简称行乘列的法则。
想一想:
1. 矩阵要满足什么条件才能相乘呢？ 例 1
2. 矩阵的乘法是否满足交换律呢?
例2,例3
3. 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？例 4
4. 矩阵的乘法适合消去律吗?
例5,例6
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矩阵乘法的性质:
1. 结合律 (AB)C=A(BC),
特别地,一个n阶方阵A的r次方(r是正整数)有意义.
Ar=AA···A.
r个A
我们再约定A0=In . 这样, 一个n阶方阵的任意非负整数次方有意义
(以后要定义某些特殊方阵的负整数次方, 将会看到,
并不是每个方阵都有负整数次方).
k
例7
设A是n阶数量矩阵. 即
A
k
B=(bij)是n×p矩阵, 计算AB.
x1
X
x2
xn
a11
AX
a21
a12 a22
a1n
a2n
x1
x2
a11x1 a12 x2 a1n xn a21x1 a22 x2 a2n xn
,
am1 am 2 amn xn am1x1 am2 x2 amn xn
因此原线性方程组可写为
工作,问这台计算机完成该项目需要多长的工作需时用间342? 则类表型示123各的种问类题型工作所需的时间矩阵可令为: 分钟!
T 3, 4, 2,
表示各种类型工作的个数矩阵可令为:
6 T 8 ,
10
那么所需时 间的总数可 如下计算:
TN 3,
4,
2
6 8
(70).
10
这里(70)是一个1×1矩阵(可以把(70)和70看成是一 样的),即所需总时数为70分钟.
第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：
11 10 7
设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分
别是3千克、4千克、2千克。则需求矩阵B表示为：
3 B 4
2
这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：
第一周：12 ×3+11 ×4+6 ×2=92（元） 第二周：11 ×3+11 ×4+7 ×2=91（元） 第三周：11 ×3+10 ×4+7 ×2=87（元）
这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：
12 11 6 A 11 11 7
11 10 7
3 B4
2
AB
12 11
3 3
11 4 11 4
6 7
2 2
92 91
11 3 104 7 2 87
定义 设A=(aij)是m×n矩阵，B=(bij)是n×p 矩阵，则A与B的乘积AB是一个m×p矩阵，这 个矩阵的第i行第j 列位置上的元素cij等于A 的 第i行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的
《高等代数》面向21世纪新教材
矩阵乘法的定义 矩阵乘法的性质 矩阵乘法的应用
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新课讲授 小结 作业 结束
先从一个例子开始 : 假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之
内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡
蛋的价格，得到如下价格矩阵(人民币/千克) .
第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：
12 11 6
第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格： A 11 11 7
②C(A+B) =CA+CB,
其中C为m×n 矩阵, A, B都为n×s矩阵.
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多个矩阵的乘积
任意给定r个矩阵A1, A2, ···, Ar, 只要前一个矩阵的
列数等于后一个矩阵的行数, 就可以把它们依次相乘,
由于矩阵的乘法满足结合律, 在作这样的乘积时, 可以
把因子任意结合, 而乘积A1A2···Ar有完全确定的意义.
T1N1矩阵的每一行表示每台计算机完成3个项目分别需要的
时机数,可以看出,如果安排智星计算机完成第一个项目,由奔腾完
成第二个项目,由银河完成第三个项目,所需的机时总数较少.返回
小结
这一节主要讲了矩阵乘法的定义, 矩阵乘法的 性质以及矩阵乘法的应用.
1. 矩阵乘法的定义
主要讲了定义, 相乘的条件:前列数等于后行数. 乘法的法则:前行乘后列.乘法不满足交换律,不适合 消去律.
a11
0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
a 21 x1
x1
a21
,
0 xn am1x1
am1
同样计算A2X, ···, AnX 可得
a12
A2 X
x2
a22
,
am2
……,
所以 A=A1+A2+···+An
a1n
An X
x
n
a2
n
,
amn
AX=(A1+A2+···+An)X=A1X+A2X+···+AnX.
和. 即
cij ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ,
i 1,2,, m; j 1,2,, p.
运算过程演示
演示
由矩阵的定义可以看出:
1. 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵, AB的行数等
于矩阵A的行数, AB的列数等于矩阵B的列
数.
2. 前行乘后列: 乘积矩阵AB中第i行第j列的
假设不仅有一台计算机,而是有4台计算机:智星,神
童,奔腾及银河,那么我们有一个不同的计算机完成不
同类型工作的机时矩阵:
智星完为成了类计型算1、每2、台3的计工算作机所完需成的6时项间: 神类童型完成1的类工型作1、,82项、3类的型工作2的所工需作的时,10间: 奔项腾类完成型类3的型工1、作2、,所3的需工的作时所间需的分时别间: 银有河多完成长类,只型需1、进2、行3如的工下作计所算需: 的时间:
CA=kC.
即C乘以数量矩阵A时,相当于用数k乘矩阵C. 这就是数量矩阵
有时也叫做数乘矩阵的原因.
特别地, 在n阶数量矩阵中, 当k=1时, A就变成为
1
1
In
,
1
称In为n阶单位矩阵, 这时, 有
In B = B, C In= C .
因此, n阶方阵In在矩阵的乘法运算中所起的作
用相当于数1在数的乘法运算中所起的作用, 这就是
AX=B.
称此式为线性方程组的矩阵形式.
在上题中,令:
a11
A1
a21
0 0
0
0
,
am1 0 0
0
A2
0
a12 a22
0 0 ,
0 am 2 0
计算A1X:
a11
A1 X
a21
am1
……,
0 0 0
0
An
0
0 0
a1n
a2n
,
0 0 amn
0 x1 a11x1
因此线性方程组的矩阵形式可写成如下形式
a11
a12
a1n b1
x1
a21
x2
a22
x
n
a2n
b2
,
am1
am2
amn bm
这个形式叫做线性方程组的向量形式.
例9 (计算机机时汇总) :一台智星计算机, 完成某个项目,
该项目有6项类型1的工作,8项类型2的工作,10项类型3的
证明
其中A=(aij)m×n, B=(bij)n×p, C=(cij)p×q.
2. 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),
其中k为任意实数. A=(aij)m×s ， B=(bij)s×n .
3. 分配律
① (A+B) C=AC+BC,
证明
其中A, B都为m×n矩阵, C=(cij)n×s.
3 4 2
T1
5 8
7 2
3 1
,
3 3 2.9
3 4 2
70
6
T1 N
5
8 3
7 2 3
3 1 2.9
8
10
116
74 71
,
所以选择智星计算机完成这个项目比较省时.
下面让我们不只对一个项目, 而是对3个项目进行
计算. 假设3个项目所包含的类型1,2,3的工作个数如下
k
AB
k
b11 b21 k bn1
b12 b22
bn 2
b1p kb11
b2 p
k b21
bnp kbn1
,
k
kb12 kb22
kbn2
kb1p kb2 p
kbnp
因此有AB=kB. 即用数量矩阵A乘以矩阵B时, 相当于用数k乘矩
阵B.
如果C 是m×n矩阵, 那么类似地容易验证
为什么把 In称为单位矩阵的原因. 我们以后还会发现 In的更多的类似于数1的性质.
例8 考虑一般形式的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
a 21 x1
a22 x2 a2n xn
b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
其系数矩阵和增广矩阵分别是
矩阵表示:
矩阵中每一列表示每一个项目所
6 2 4
包含类型1, 2, 3的个数.
N1 8 5 4,
进行如下计算
10 5 4
3 4 2 6 2 4 70 36 36
T1 N1
5
8 3
7 2 3
213.9 180
5 5
4 4
116
74 71
60 31 35.5
60 44 35.5
,