2020年深一模文科数学
【附加15套高考模拟试卷】广东省深圳市2020年高三年级第一次调研考试数学(文科)试题含答案
广东省深圳市2020年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x ，y 满足约束条件200,40x y x y z x y y 则+≥⎧⎪-≤=+⎨⎪-≤⎩的最大值是( )A ．4-B ．0C ．8D ．122．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12·PF PF = A ．2B ． 4C ．6D ．83．如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)4．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位5．中，内角、、的对边、、依次成等差数列，且，则的形状为（ ）A ．等边三角形B ．直角边不相等的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 6．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43 C ．34- D ．43-7．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）A ．710 B ．58C ．38D ．3108．已知四棱锥M ABCD -，MA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，180BCD BAD ∠+∠=︒，2MA =，26BC =，30ABM ∠=︒.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．22πC ．40πD ．44π9．函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π10．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且4AB BC CD ===，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ） A ．23 B ．34 C ．3 D ．2411．已知平面α及直线a ，b ，则下列说法正确的是( ) A ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行 B ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直 C ．若直线a ，b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行 D ．若直线a ，b 垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直 12．函数的零点所在的区间是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年广东深圳高三一模数学试卷(文科)
2020年广东深圳高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.B.C.D.1.设，则的共轭复数（ ）．A.B.C.D.2.设集合，，，则（ ）．A.B.C.D.3.下列函数中为奇函数的是（ ）．A. B. C. D.4.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》．年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图．我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，算盘每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“”，一个下珠表示“”．例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是．现选定“个位档”、“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被整除的概率为（ ）．梁顶珠上珠下珠底珠挡框千位百位十位个位5.已知是圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）．A.B.6.已知直线经过和两点，若将直线绕点按逆时针方向旋转后到达直线的位置，则的方程为（ ）．A.B.C.D.7.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）．A.B.C.D.8.已知数列满足，，则（ ）．A.B.C.D.9.已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的内切球表面积为（ ）．A.D.10.函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后，所得到的图象对应的函数为（ ）．A.B.C.D.11.已知正方体，棱长为，的中点为，过、、三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，若存在互不相等的正实数、、，满足，其中，则的最大值为（ ）．A.B.C.D.，，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量、，若，，，则．14.的内角、、的对边分别为、、，若，，．则的面积为 ．15.某地为了解居民的每日总用电量（万度）与气温（）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如下：气温（）每日总用电量（万度）经分析，可用线性回归方程拟合与的关系．据此预测气温为时，该地当日总用电量（万度）为 ．16.设为双曲线的左焦点，过作圆的切线，切点为，切线与渐近线相交于点，若，则的离心率为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.记等差数列的前项和为，已知公差不为零，，且、、成等比数列．求的通项公式．设，试问数列是否存在最大项？若存在，求出最大项序号的值；反之，请说明理由．18.为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质，某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有人，其中男生人，女生人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如下：（1）（2）男生参赛成绩百分制频率组距女生参赛成绩百分制频率组距该活动规定：成绩不低于分的参赛学生可获奖，低于分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入下面的列联表，并判断能否有以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？获奖不获奖合计男生 女生合计估计这名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．附：．（1）（2）19.已知三棱柱，侧面为正方形，底面为正三角形，，．求证：平面.若，求点到平面的距离．（1）（2）20.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．求椭圆的方程．【答案】解析:∵，已知直线与椭圆交于、两点，点为坐标原点，在椭圆上是否存在一点，满足，若存在，求的面积；若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数．当时，求曲线在点处的切线方程．当时，求证：对任意的，．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧，和线段，四部分组成，在极坐标系中，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧．分别写出，的极坐标方程．点，位于曲线上，且，求面积的取值范围．（1）（2）23.已知，．若，求实数的取值范围．求的最小值．D1.，∴复数的共轭得复数，故正确．故选．解析:∵集合，集合，，，或，集合，∴，．故选：．解析:个位档可为：或；十位档可为：或；百位档可为：或；以下情况从个位到百位即种、、、、、、、．B 2.C 3.B 4.被三整除为：、，．故选项．解析:函数在是增函数，且，所以，又，即，则．故选．解析:∵直线经过点，两点，∴直线的方程为，将直线绕点逆时针方向旋转，则此时直线的斜率，此时直线过点，所以得到直线方程为，即．故选：．解析:如图三视图可知该几何体由一个半球和一个半圆柱构成，∵网络纸上小正方形的边长为，则半球的半径为，体积为，半圆柱的底面为半径为的圆，高为，则半圆柱体积为，∴该几何体体积为．故正确．A 5.B 6.D 7.解析:∵ ，，∴ ，，∴ 数列是首项为，公差为的等差数列，∴，，．故选项正确．解析:圆锥和球体的截面图如图所示，且，，，∵（圆锥母线长），∴的延长线过点，即为圆锥的高，∵，，，∴，设球半径为，又∵在中，，∴，∴在中，，解得，∴内切球表面积为，B 8.D 9.故选项．解析:由图象可得，，，即，，∴，且，∵，∴，∴把的图象向右平移个单位后得到的图象．故选．解析:如图，作中点，连接过作于，∵、分别为、中点，∴，∴为等腰梯形，则，，∴．故选．解析:C 10.A 11.B 12.法一：作出函数图象如下图所示：x123456789y12O 可得，所以，且，令，则，，故，故当时，．法二：利用均值不等式：．解析:∵平面向量，，，设，由，则，即，由，则，∴，解得，所以，．解析:∵中，，，13.14.，由正弦定理，∴，解得，由余弦定理，，所以的面积为．15.解析:由表中数据可知，，，将代入回归方程得，解得，则，当时，，即预测气温为时，该地当日总用电量（万度）为．16.解析:方法一：设，因为，，所以，，所以，，，，又点在直线上，所以整理得到，又，所以．方法二：（1）（2）（1）设，则，在中，有，所以，由此可求得，从而可求得．解析:由可得①，又∵，∴，整理得，所以②，联立①②可得，，所以．，，若，则，若，则，因此，所以最大，即最大项序号．解析:由题意可得，（1）．（2）存在，．17.（1）及格不及格合计男生女生合计没有以上的把握认为“学生的数学成绩与性别有关”．（2）．18.（2）（1） 及格不及格合计男生女生合计∴，∵，∴没有以上的把握认为“学生的数学成绩与性别有关”．由题意可知，男生数学的平均成绩为，女生数学成绩的平均成绩为，∵样本中男女生人数之比为，这名学生的平均成绩为．解析:连接，∵侧面为正方形，∴，∵，，∴，又∵为的中点，∴，（1）证明见解析．（2）．19.（2）（1）（2）∵，∴平面．∵，∴，∵侧面为正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴平面，设为点到平面的距离，由，可得，∵，，，∴．解析:由题设可知，，，又，解得，所以椭圆的方程为．设存在椭圆上的一点，满足，设，，则，联立与，消去并整理，得，令，则，则，，（1）．（2）存在．．20.（1）（2）则，所以将点代入，解之，，所以，而原点到距离，所以，所以．求距离也可用求点到直线的距离．点到直线的距离：，所以．解析:当时，则，故，∴，又，因此切线方程为，整理得，即．方法一：因为，，所以，令，当时，，所以为增函数，，所以，为增函数，所以，所以，（1）．（2）证明见解析．21.当时，，又因为，所以，∵，所以存在，使得，即，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，，，由单调性及零点存在性定理得，存在，使得，当时，，即，当时，，即，所以在上为减函数，在上为增函数，又，，所以，证毕．方法二：∵，当时，，∴当，时，，令，则，令，则，由于在上是增函数，且，∴当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴，又，，故在上存在唯一零点，∴当时，，时，，∴在上是减函数，在上是增函数，又∵，，∴当时，，即当时，对任意，恒成立．（1）（2）方法三：先证明当时，，令函数，因为，令函数，又，所以函数在区间为单调递增函数，所以，即，所以函数在区间为单调递增函数，所以，即在区间函数，所以，所以要证不等式成立，即证成立，令，①当时，不等式显然成立；②当时，函数是开口向下的二次函数，所以函数在区间上单调递减，所以，当，时等号成立，③当时，抛物线开口向上，在上为增函数，所以，不等式成立，综上所述：当时，对任意的，成立．解析:由题意，的极坐标方程是，记圆弧所在圆的圆心为，易得极点在圆弧所在圆上，设为上任意一点，则在中，可得，∴，的极坐标方程分别为，．不妨设，，则，，∴，（1），的极坐标方程分别为，．（2）．22.（1）（2）又∵，∴，∴的面积的取值范围是．解析:∵，取等条件为，解得，即实数的取值范围为．易知，∵，∴，∴，即，由（）知，当，且时，，∴的最小值为．（1）．（2）．23.。
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科) (解析版)
2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．设（1+i）z=4−2i1−i，则z的共轭复数z=（）A．4﹣2i B．4+2i C．2﹣i D．2+i2．设集合U＝R，A＝{x|x2＞3x}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x＜0}D．{x|2＜x≤3} 3．下列函数中为奇函数的是（）A．y＝x2−1x B．y＝2x+2﹣xC．y＝cos（x+π2）D．y＝|lnx|4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》.2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，算盘每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”．例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是515．现选定“个位档”“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（）A．18B．14C．12D．345．已知π是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）A．lnπ＞ln3＞log3e B．lnπ＞log3e＞ln3C．ln3＞log3e＞lnπD．ln3＞lnπ＞log3e6．已知直线l经过A（1，3）和B（﹣1，﹣1）两点，若将直线l绕点A按逆时针方向旋转π4后到达直线1'的位置，则l '的方程为（ ）A ．x ﹣y +2＝0B ．3x +y ﹣6＝0C ．2x ﹣y +5＝0D ．3x +y +4＝07．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9πB ．22π3C ．28π3D ．34π38．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=2ana n +2，则a 2020＝（ ） A ．22019B ．11010C ．22021D ．110119．已知圆锥的底面半径为2，高为4√2，则该圆锥的内切球表面积为（ ） A ．4πB ．4√2πC ．8√2πD ．8π10．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数为（ ）A ．y ＝2sin （2x −π3） B ．y ＝2sin （12x −π3）C ．y ＝2sin （2x −5π6） D ．y ＝2sin （12x −5π6）11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，BB 1的中点为M ，过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ） A ．18B ．6√10C ．12√2D ．3612．已知函数f （x ）={|log 2x +2|，0＜x ≤13−√x ，x ＞1，若存在互不相等的正实数x 1、x 2、x 3，满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），其中x 1＜x 2＜x 3，则x 3•f （x 1）的最大值为（ ） A ．14B ．4C ．9D ．36二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →、b →，若a →=（1，2），a →∥b →，a →⊥（a →+b →），则|b →|＝ ．14．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b =√3，sin C =√3sin B ，则△ABC 的面积为 ．15．某地为了解居民的每日总用电量y （万度）与气温x （°C ）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温X （°C ） 19 13 9 ﹣1 每日总用电量y （（万度）24343864经分析，可用线性回归方程y ^=−2x +a 拟合y 与X 的关系．据此预测气温为14°C 时，该地当日总用电量y （万度）为 ． 16．设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，过F 作圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为M ，切线与渐近线y =bax 相交于点N ，若|MN |＝2|MF |，则C 的离心率为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝15，且a 1，a 3，a 11成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a n •（56）n ，试问数列{b n }是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n 的值；若不存在，请说明理由．18．为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质．某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如图：（1）该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入如表的列联表，并判断能否有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？获奖 不获奖 合计 男生 女生 合计100（2）估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k ）0.40 0.25 0.15 0.10 k0.7081.3232.0722.70619．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1为正方形，底面ABC 为正三角形，BC 1∩B 1C ＝O ，A 1B 1＝A 1C ．（1）求证：B 1C ⊥平面A 1BC 1；（2）若BC ＝2，求点C 到平面A 1B 1C 1的距离．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且椭圆C 过点（0，﹣1）．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝x +m （m ＞0）与椭圆C 交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，在椭圆C 上是否存在一点P ，满足OP →+OA →+OB →=0→？若存在，求△ABP 的面积；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝cos x +a4x 2﹣a ．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程； （2）当a ≥1时，求证：对任意的x ∈[0，2]，f （x ）≤0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BĈ，AD ̂和线段AB ，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，A （2，π3），B （1，2π3），C （1，4π3），D （2，−π3），弧BC ̂，AD ̂所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧BC ̂，曲线M 2是弧AD ̂． （1）分别写出M 1，M 2的极坐标方程：（2）点E ，F 位于曲线M 2上，且∠EOF =π3，求△EOF 面积的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x2+2﹣t|+|2x+t﹣3|（x＞0）．（1）若f（1）＝2，求实数t的取值范围；（2）求证：f（x）≥2．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（1+i）z=4−2i1−i，则z的共轭复数z=（）A．4﹣2i B．4+2i C．2﹣i D．2+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵（1+i）z=4−2i 1−i，∴z=4−2i(1−i)(1+i)=2−i，则z=2+i．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．设集合U＝R，A＝{x|x2＞3x}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x＜0}D．{x|2＜x≤3}【分析】可解出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．解：A＝{x|x＜0，或x＞3}；∴∁U A＝{x|0≤x≤3}；∴（∁U A）∩B＝{x|0≤x≤2}；故选：B．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．3．下列函数中为奇函数的是（）A．y＝x2−1x B．y＝2x+2﹣xC．y＝cos（x+π2）D．y＝|lnx|【分析】根据题意，依次分析选项中函数是否是奇函数，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2−1x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），即函数y＝x2−1x既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝2x+2﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝f（x），函数y＝2x+2﹣x为偶函数，不符合题意；对于C，y＝cos（x+π2）＝﹣sin x，是其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣f（x），则函数y＝cos（x+π2）是奇函数，符合题意；对于D，y＝|lnx|，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》.2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，算盘每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”．例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是515．现选定“个位档”“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（）A．18B．14C．12D．34【分析】列举所有可能表示的三位数，在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除包含的三位数的个数，由此能求出这个数能被3整除的概率．解：选定“个位档”“十位档”和“百位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），所有可能表示的三位数有：111，115，151，515，155，515，551，555，共8个，则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除包含的三个数有：111，555，共2个， ∴这个数能被3整除的概率为p =28=14． 故选：B ．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．已知π是圆周率，e 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） A ．ln π＞ln 3＞log 3e B ．ln π＞log 3e ＞ln 3 C ．ln 3＞log 3e ＞ln πD ．ln 3＞ln π＞log 3e【分析】利用对数函数的性质求解．解：∵函数对数y ＝lnx 和y ＝log 3x 在（0，+∞）上单调递增，且π＞3＞e ， ∴ln π＞ln 3＞lne ＝1，又∵log 3e ＜log 33＝1， ∴ln π＞ln 3＞log 3e ， 故选：A ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．6．已知直线l 经过A （1，3）和B （﹣1，﹣1）两点，若将直线l 绕点A 按逆时针方向旋转π4后到达直线1'的位置，则l '的方程为（ ）A ．x ﹣y +2＝0B ．3x +y ﹣6＝0C ．2x ﹣y +5＝0D ．3x +y +4＝0【分析】直线l 的斜率为k AB =−1−3−1−1=2，设l '的斜率为k ，由题意得k ＜0，则tan π4=|2−k||1+2k|，求出l '的斜率，由此能求出l '的方程．解：∵直线l 经过A （1，3）和B （﹣1，﹣1）两点， ∴直线l 的斜率为k AB =−1−3−1−1=2， 将直线l 绕点A 按逆时针方向旋转π4后到达直线1'的位置，设l '的斜率为k ，由题意得k ＜0， 则tan π4=|2−k||1+2k|，解得k ＝﹣3或k =13（舍），∴l '的方程为y ﹣3＝﹣3（x ﹣1），即3x +y ﹣6＝0． 故选：B ．【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、直线夹角公式等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9πB．22π3C．28π3D．34π3【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积．解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．如图所示：故V=12×π×22×3+23×π×23=34π3．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 8．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=2a na n +2，则a 2020＝（ ） A ．22019B ．11010C ．22021D ．11011【分析】由a n +1=2ana n +2可得1a n+1−1a n =12，又a 1＝2，所以数列{1a n }是首项为12，公差为12的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求出结果．解：∵a n +1=2ana n+2，∴1a n+1=a n +22a n ，即1a n+1=12+1a n，∴1a n+1−1a n=12，又∵a 1＝2，∴数列{1a n}是首项为12，公差为12的等差数列，∴1a n=12+(n −1)×12=12n ，∴a n =2n，∴a 2020=22020=11010， 故选：B ．【点评】本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的通项公式，是中档题． 9．已知圆锥的底面半径为2，高为4√2，则该圆锥的内切球表面积为（ ） A ．4πB ．4√2πC ．8√2πD ．8π【分析】先由题设条件求出圆锥的轴截面，再求其内切圆的的半径，即为圆锥内切球的半径，最后解决其表面积问题．解：如图所示：△PAB 为圆锥的轴截面，且AB ＝2R ＝4，OP ＝4√2， 在直角三角形POA 中，PA =√(4√2)2+4=6．设△PAB 内切圆的半径为r ， ∵S △PAB =12×AB ×PO ＝8√2=12（PA +PB +AB ）•r =12（12+4）•r ， ∴r =√2即为圆锥的内切球的半径．故其表面积为4πr 2＝8π． 故选：D ．【点评】本题主要考查圆锥的内切球问题，属于基础题．10．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数为（ ）A ．y ＝2sin （2x −π3） B ．y ＝2sin （12x −π3）C ．y ＝2sin （2x −5π6） D ．y ＝2sin （12x −5π6）【分析】直接利用函数的图象的应用求出函数f （x ）的关系式，进一步利用图象的变换的应用求出结果．解：根据函数的图象：A ＝2，T =2(5π12+π12)=π， 所以ω＝2．当x =−π12时，函数取得最小值，故2×(−π12)+φ=2kπ−π2，解得φ＝2k π−π3，k ∈Z ， 当k ＝0时，φ=−π3． 故f （x ）＝2sin （2x −π3），所以把f （x ）＝2sin （2x −π3）的图象向右平移π4个单位得到g （x ）=2sin(2x −π2−π3)=2sin(2x −5π6)， 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，BB 1的中点为M ，过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ） A ．18B ．6√10C ．12√2D ．36【分析】取AB 中点N ，连结DN ，MN ，推导出MN ∥DC 1，且MN =12DC 1＝2√2，DN ＝C 1M ＝2√5，从而过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分的截面图形为等腰梯形DNMC 1，由此能求出截面图形的面积． 解：取AB 中点N ，连结DN ，MN ，∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，BB 1的中点为M ， ∴MN ∥DC 1，且MN =12DC 1＝2√2，DN ＝C 1M ＝2√5，∴过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分的截面图形为等腰梯形DNMC 1， ∴截面图形的面积为：S =12(4√2+2√2)×√(2√5)2−(√2)2=18．故选：A ．【点评】本题考查截面图形的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．12．已知函数f （x ）={|log 2x +2|，0＜x ≤13−√x ，x ＞1，若存在互不相等的正实数x 1、x 2、x 3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中x1＜x2＜x3，则x3•f（x1）的最大值为（）A．14B．4C．9D．36【分析】作出图象，可得1＜x3＜9，结合条件得到x3•f（x1）＝x3•f（x3）＝x3•（3−√x3），换元构造函数g（t）＝3t2﹣t3，利用导数求得其最大值即可解：作出函数f（x）的图象如图：由图可得，1＜x3＜9，且有f（x1）＝f（x3），则x3•f（x1）＝x3•f（x3）＝x3•（3−√x3），其中1＜x3＜9，令t=√x3，则t∈（1，3），g（t）＝x3•f（x1）＝t2（3﹣t）＝3t2﹣t3，所以当g‘（t）＝6t﹣3t2＝0，解得t＝2，即当t∈（1，2）时，g（t）单调递增，t∈（2，9）时，g（t）单调递减，则g（t）＝x3•f（x1）最大4值为g（2）＝3×4﹣8＝4，故选：B．【点评】本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a→、b→，若a→=（1，2），a→∥b→，a→⊥（a→+b→），则|b→|＝√5．【分析】由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出结果．解：∵平面向量a→、b→，若a→=（1，2），a→∥b→，故可设b→=（λ，2λ）．∵a→⊥（a→+b→），∴a→⋅(a→+b→)=a→2+a→⋅b→=5+（λ+4λ）＝0，求得λ＝﹣1，则|b→|=√λ2+4λ2=√5|λ|=√5，故答案为：√5．【点评】本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．14．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b =√3，sin C =√3sin B ，则△ABC 的面积为 √112．【分析】由正弦定理化简已知等式可得c 的值，利用余弦定理可求cos C ，根据同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解． 解：∵a ＝2，b =√3，sin C =√3sin B ， ∴由正弦定理可得c =√3b ＝3，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =4+3−92×2×√3=−√36，可得sin C =√1−cos 2C =√336，∴S △ABC =12ab sin C =12×2×√3×√336=√112．故答案为：√112． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．某地为了解居民的每日总用电量y （万度）与气温x （°C ）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温X （°C ） 19 13 9 ﹣1 每日总用电量y （（万度）24343864经分析，可用线性回归方程y ^=−2x +a 拟合y 与X 的关系．据此预测气温为14°C 时，该地当日总用电量y （万度）为 32 ．【分析】求出样本中心，代入回归直线方程，求出a ，然后求解该地当日总用电量． 解：由题意可知：x =19+13+9−14=10，y =24+34+38+644=40， 所以40＝﹣2×10+a ，解得a ＝60． 线性回归方程y ^=−2x +60， 预测气温为14°C 时， 可得y ＝﹣28+60＝32． 故答案为：32．【点评】本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．16．设F 为双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，过F 作圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为M ，切线与渐近线y =ba x 相交于点N ，若|MN |＝2|MF |，则C 的离心率为 √3 ．【分析】先在Rt △OMF 中求出|MF |的长和tan ∠MFO ，从而得到直线MN 的方程，将其与渐近线方程y =b ax 联立，解得点N 的坐标，再在Rt △OMF 中，由三角形的等面积法求得M 的纵坐标，由于|MN |＝2|MF |，所以|NF||MF|=3=y N y M=c 2b −a，最后结合b 2＝c 2﹣a 2和e =ca 即可求得离心率．解：根据题意，作出如图所示的图形，F （﹣c ，0），|OM |＝a ，在Rt △OMF 中，|MF |=√|OF|2−|OM|2=√c 2−a 2=b ，tan ∠MFO ═|OM||MF|=ab，∴直线MN 的方程为y =ab （x +c ），联立{y =a b (x +c)y =b a x ，解得{x =a 2c b 2−a 2y =abc b 2−a 2，∴y N =abc b 2−a 2， 由三角形的等面积法可知，y M =abc．∵|MN |＝2|MF |，∴|NF||MF|=3=y N y M=c 2b −a ，又b 2＝c 2﹣a 2，∴c =√3a ，离心率e =ca =√3． 故答案为：√3．【点评】本题考查双曲线中的渐近线、离心率等几何性质，还涉及直线与圆的位置关系、两条直线的交点坐标等知识点，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于中档题． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝15，且a 1，a 3，a 11成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a n •（56）n ，试问数列{b n }是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n 的值；若不存在，请说明理由．【分析】本题第（1）题先通过等差数列的求和公式和等差中项的性质可计算出a 2＝5，再设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），将a 1，a 3，a 11均表示成a 2与d 的表达式，根据等比中项的性质列出算式，即可计算出公差d 的值，即可计算出等差数列{a n }的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后假设数列{b n }存在最大项，则有{b n ≥b n+1b n ≥b n−1，代入通项公式列出不等式组，化简整理并计算出n 的取值范围，再判断出n 的值是否存在即可判断数列{b n }是否存在最大项． 解：（1）由题意，可知 S 3=3(a 1+a 3)2=3⋅2a 22=3a 2＝15，解得a 2＝5， 设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则a 1＝5﹣d ，a 3＝5+d ，a 11＝5+（11﹣2）•d ＝5+9d ， ∵a 1，a 3，a 11成等比数列，∴a 32＝a 1•a 11，即（5+d ）2＝（5﹣d ）（5+9d ）， 整理，得d 2﹣3d ＝0， 解得d ＝0（舍去），或d ＝3， ∴a n ＝5+（n ﹣2）•3＝3n ﹣1，n ∈N*．（2）由（1）知，b n ＝a n •（56）n ＝（3n ﹣1）•（56）n ，依题意，假设数列{b n }存在最大项，则有{b n ≥b n+1b n ≥b n−1，即{(3n −1)⋅(56)n ≥(3n +2)⋅(56)n+1(3n −1)⋅(56)n ≥(3n −4)⋅(56)n−1， 化简，得{6(3n −1)≥5(3n +2)5(3n −1)≥6(3n −4)， 解得163≤n ≤193，∵n ∈N*，∴n ＝6，故数列{b n }存在最大项，且取得最大项时n 的值为6．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的相关计算，以及通过计算不等式组的方法找到数列的最大项．考查了转化与化归思想，方程思想，以及不等式的运算能力，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质．某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如图：（1）该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入如表的列联表，并判断能否有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？获奖 不获奖 合计 男生 女生 合计100（2）估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k ）0.40 0.25 0.15 0.10 k0.7081.3232.0722.706【分析】（1）先利用分层抽样的方法得到抽取的100名学生中男生、女生的人数，再结合频率分布直方图求出男生中获奖的人数和不获奖的人数，女生中获奖的人数和不获奖的人数，完成列联表即可，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）用每组的区间中点值乘以该组的频率依次相加，分别求出男生的平均成绩和女生的平均成绩，再求平均值即可求出结果．解：（1）由题意可知，抽取的100名学生中男生有6001000×100=60人，女生有40人，所以男生中获奖的人数为：2×0.0125×20×60＝30人，不获奖的人数为60﹣30＝30人， 女生中获奖的人数为：（0.0125+0.0075）×20×40＝16人，不获奖的人数为40﹣16＝24人，所以2×2列联表如下：获奖 不获奖 合计 男生 30 30 60 女生 16 24 40 合计4654100所以K 的观测值：K 2=100(30×24−30×16)246×54×40×60≈0.966＜2.706；所以没有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”；（2）男生得分的平均值的估计值为：10×0.0025×20+30×0.0075×20+50×0.0150×20+70×0.0125×20+90×0.0125×20＝60（分），女生得分的平均值的估计值为：10×0.0050×20+30×0.0100×20+50×0.0150×20+70×0.0125×20+90×0.0075×20＝53（分），所以这100名学生的参赛成绩的平均数的估计值为：60+532=56.5（分）．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题． 19．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1为正方形，底面ABC 为正三角形，BC 1∩B 1C ＝O ，A 1B 1＝A 1C ．（1）求证：B 1C ⊥平面A 1BC 1；（2）若BC ＝2，求点C 到平面A 1B 1C 1的距离．【分析】（1）由侧面BCC1B1为正方形，得B1C⊥BC1，再由已知可得B1C⊥A1O，由直线与平面垂直的判定可得B1C⊥平面A1BC1；（2）由（1）知，A1O⊥B1C，再由已知可得A1C1＝A1C，再证明三角形全等可得∠A1OC1＝∠A1OC＝90°，得到A1O⊥平面BB1C1C，求出多面体A1﹣BB1C1C的体积，得到棱柱的体积，设点C到平面A1B1C1的距离为h，由棱柱体积列式求得点C到平面A1B1C1的距离．【解答】（1）证明：如图，∵侧面BCC1B1为正方形，∴B1C⊥BC1，又A1B1＝A1C，O为B1C的中点，∴B1C⊥A1O，又BC1∩A1O＝O，∴B1C⊥平面A1BC1；（2）解：由（1）知，A1O⊥B1C，由侧面BCC1B1为正方形，底面ABC为正三角形，A1B1＝A1C，得A1C1＝A1C，在△A1OC与△A1OC1中，由A1C1＝A1C，OC＝OC1，A1O＝A1O，得△A1OC≌△A1OC1，可得∠A1OC1＝∠A1OC＝90°，∴A1O⊥平面BB1C1C，得A1O⊥BC1．由BC＝2，得BC1=B1C=2√2，A1O=√2．∴多面体A1﹣BB1C1C的体积V=1×2×2×√2=4√23，3=2√2．由等积法可得V ABC−A1B1C1设点C到平面A1B1C1的距离为h，由S△ABC×h=1×2×2×√32×h=2√2，解得h=2√63．2∴点C 到平面A 1B 1C 1的距离为2√63．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了推理能力与计算能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且椭圆C 过点（0，﹣1）． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝x +m （m ＞0）与椭圆C 交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，在椭圆C 上是否存在一点P ，满足OP →+OA →+OB →=0→？若存在，求△ABP 的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点代入椭圆可得b ，利用离心率以及a 2＝b 2+c 2即可求出a ，则有椭圆方程；（2）联立直线与椭圆，利用根与系数关系表示出P 的坐标，代入椭圆即可求出m 的值．解：（1）由题得e =c a =√22，所以c 2=12a 2，将（0，﹣1）代入得到b 2＝1，结合a 2＝b 2+c 2， 解得a 2＝2，c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =x +m x 2+2y 2=2， 整理得3x 2+4mx +2m 2﹣2＝0，则x 1+x 2=−4m 3，x 1x 2=2m 2−23， 所以y 1+y 2＝x 1+x 2+2m =2m 3， 若有OP →+OA →+OB →=0→，即有OP →=−（OA →+OB →）＝﹣（−4m 3，2m 3）＝（4m 3，−2m 3）， 又因为P 在椭圆上，故（4m 3）2+2（−2m 3）2＝2，解得m ＝±√32，所以直线l ：y ＝x ±√32，经计算可得点P 到直线l 的距离d =|32√3|√2=34√6， 则S △ABP =12×d •|AB |=12×34√6•√1+1•(233)2−4×(−16)=34√6． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程的求法，注意讨论直线的斜率，以及联立直线方程和椭圆方程运用韦达定理和判别式大于0，同时考查向量加法的坐标运算，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝cos x +a 4x 2﹣a ．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程；（2）当a ≥1时，求证：对任意的x ∈[0，2]，f （x ）≤0．【分析】（1）根据导数和的几何意义，即可求出切线方程；（2）根据导数和函数单调性及最值，即可求出．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝cos x +14x 2﹣1，则f ′（x ）＝﹣sin x +12x ，∴切线的斜率k ＝f ′（π）=π2，∵f （π）＝﹣2+π24， ∴曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程为y +2−π24=π2（x ﹣π），即2πx ﹣4y ﹣8﹣π2＝0．证明：（2）当a ≥1时，f ′（x ）＝﹣sin x +a2x ，当x ∈[0，2]时，sin x ≥0，则﹣sin x ≤0，a 2≥0， ∴f ′（x ）＝﹣sin x +a2x ≤0，在[0，2]上恒成立，∴f （x ）在[0，2]上单调递增，∴f （x ）≤f （2）＝cos2+a ﹣a ＝cos2＜0，故对任意的x ∈[0，2]，f （x ）≤0．【点评】本题考查了导数和几何意义和导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BĈ，AD ̂和线段AB ，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，A （2，π3），B （1，2π3），C （1，4π3），D （2，−π3），弧BC ̂，AD ̂所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧BĈ，曲线M 2是弧AD ̂． （1）分别写出M 1，M 2的极坐标方程：（2）点E ，F 位于曲线M 2上，且∠EOF =π3，求△EOF 面积的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．曲线是弧BĈ， 解：（1）由题意可知：M 1的极坐标方程为ρ=1(2π3≤θ≤4π3)． 记圆弧AD 所在圆的圆心（2，0）易得极点O 在圆弧AD 上．设P （ρ，θ）为M 2上任意一点，则在△OO 1P 中，可得ρ＝4cos θ（−π3≤θ≤π3）． 所以：M 1，M 2的极坐标方程为ρ=1(2π3≤θ≤4π3)和ρ＝4cos θ（−π3≤θ≤π3）． （2）设点E （ρ1，α），点F （ρ2，α−π3），（0≤α≤π3），所以ρ1＝4cos α，ρ2=4cos(α−π3)．所以S △EOF =12ρ1⋅ρ2⋅sin π3=4√3cosα(cosαcos π3+sinαsin π3)=2√3sin(2α+π6)+√3． 由于0≤α≤π3，所以12≤sin(2α+π6)≤1． 故S △EOF ∈[2√3，3√3]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．一、选择题23．已知f（x）＝|x2+2﹣t|+|2x+t﹣3|（x＞0）．（1）若f（1）＝2，求实数t的取值范围；（2）求证：f（x）≥2．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得（3﹣t）（t﹣1）≥0，解出即可；（2）利用绝对值不等式及基本不等式即可得证．解：（1）∵f（1）＝|3﹣t|+|t﹣1|≥|3﹣t+t﹣1|＝2，取等号的条件为（3﹣t）（t﹣1）≥0，解得1≤t≤3，即实数t的取值范围为[1，3]；（2）证明：易知f(x)=|x2+2−t|+|2x+t−3|≥|x2+2−t+2x+t−3|=|x2+2x−1|，∵x＞0，∴x2+2x =x2+1x+1x≥3√x2⋅1x⋅1x3=3，∴|x2+2x−1|≥2，∴f（x）≥2．【点评】本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大．。
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={0，2，4，6}，则集合A ∩B 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【命题意图】本题主要考查集合的交集运算，考查子集个数问题，基础题． 【解析】方法一：由集合A ={1，2，3，4，5}，B ={0，2，4，6}，得A ∩B ={2，4}， 则A ∩B 的子集有{2}，{4}，{2，4}，∅，共4个，故选B ．方法二：由集合A ={1，2，3，4，5}，B ={0，2，4，6}，得A ∩B ={2，4}，含有2个元素，则A ∩B 的子集有224=个，故选B ．【点评】先求出集合的交集，再写出子集，或根据含有n 个集合的子集的个数为2n 判断． 2．若复数z 2i1ia +=-的实部为0，其中a 为实数，则|z |=（ ）A ．2 BC ．1D ．2【答案】A【命题意图】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 【解析】∵z ()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a +++-+===+--+且z 的实部为0，∴a =2， 则z =2i ，则|z |=2．故选A ．【点评】利用复数代数形式的乘除运算化简，根据实部为0求出a ，再由复数模的计算公式求解．3．已知向量()1OA k =-u u u r ，，()12OB =u u u r ，，()20OC k =+u u u r，，且实数k >0，若A 、B 、C 三点共线，则k =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【命题意图】本题考查向量共线、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】∵向量()1OA k =-u u u r ，，()12OB =u u u r ，，()20OC k =+u u u r，，且实数k >0，AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r （2，2﹣k ），BC OC OB =-=u u u r u u u r u u u r（k +1，﹣2）， 由于A 、B 、C 三点共线，故AB uuu r ∥BC uuu r ，∴1222k k+-=-，解得k=-2或k=3, 由k >0，解得k =3．故选D ．【点评】由A 、B 、C 三点共线，得AB uuu r ∥BC uuu r，结合坐标运算，由此能求出k ．4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n =a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈N *），其中a 1=1，a 2=1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．33100C ．12D ．67100【答案】B【命题意图】本题主要考查了古典概率计算公式、斐波那契数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】根据斐波那契数列的定义，可得：每三个数中有一个偶数，可得：从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率33100=．故选B ． 【点评】由斐波那契数列的定义，可得：每三个数中有应该偶数，即可得出结论．5．设a =0.3b =，c =log ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c【答案】D【命题意图】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】∵000.31a <=<=，30.3020221b ==>=0.30.3log log 10c =<=，∴ b >1>a >0>c ，∴b >a >c ，故选D ．【点评】利用指数函数对数函数的单调性判断大小即可得出．6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值为（ ）A ．2和6B ．4和6C ．2和7D ．4和7【答案】C【命题意图】本题考查茎叶图，中位数和平均值，考查识图能力，是基础题． 【解析】由选项可知x >0，y <9，再由茎叶图可知： 甲队的数据中位数为：16202+=18，乙队的数据中位数为：19102y++， 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则19102y++=18，解得y =7，x 甲16=（7+12+16+20+20+x +31），x 乙16=（8+9+19+17+27+28）=1086， x 甲x =乙，解得x =2，故选C ．【点评】根据茎叶图，利用中位数和平均值的计算公式可得答案．7．若双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的焦距为1，﹣2），则此双曲线的方程为（ ）A ．2214x y -= B ．2214y x -=C ．221416x y -= D ．221164x y -= 【答案】B【命题意图】本题考查了双曲线的方程、几何性质，属于基础题．【解析】由题意可得c =a 2+b 2=c 2=5，…①．∵渐近线经过点（1，﹣2），∴（1，﹣2）在直线by x a=-上．∴b =2a …②．由①②可得12a b =⎧⎨=⎩，则此双曲线的方程为：2214y x -=．故选B ． 【点评】根据a ,b ,c 的关系和点在渐近线上联立方程组求解即可．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32【答案】B【命题意图】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，还原直观图是解题的关键，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 【解析】根据几何体的三视图可得为几何体的直观图为： 如图所示：请旋转一下角度再看所以V =3×4×4﹣41134432⨯⨯⨯⨯⨯=16．故选B ． 【点评】首先把三视图还原几何体的直观图，进一步求出几何体的体积． 9．已知函数()π(0)3f x Asin x b A ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最大值、最小值分别为3和﹣1，关于函数f （x ）有如下四个结论：①A=2，b=1；②函数f（x）的图象C关于直线5π6x=-对称；③函数f（x）的图象C关于点2π3⎛⎫⎪⎝⎭，对称；④函数f（x）在区间π5π66⎛⎫⎪⎝⎭，内是减函数．其中，正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的性质，整体的思想，属于中档题．【解析】根据函数f（x）=A sin（xπ3+）+b的最大值为3，最小值为﹣1，可得31A bA b+=⎧⎨-+=-⎩；解得A=2，b=1，故f（x）=2sin（xπ3+）+1．故①正确；直线5π6x=-代入xππ32+=-，故函数f（x）的图象C关于直线5π6x=-对称；②正确；点2π3⎛⎫⎪⎝⎭，代入，得f（xπ3+）=2sinπ+1=1；故函数f（x）的图象C不关于点2π3⎛⎫⎪⎝⎭，对称；③不正确；当x∈π5π66⎛⎫⎪⎝⎭，时，xπ3+∈（π2，7π6）．故函数f（x）在区间π5π66⎛⎫⎪⎝⎭，内是减函数．④正确；∴正确的结论个数是：3个；故选C．【点评】利用正弦函数的最值，求得A和b的值．结合正弦函数性质对命题逐一判断即可．10．函数f（x）=cos x•ln x）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题考查函数图象的判定，考查了函数的奇偶性，属于基础题．【解析】因为()()))()f x cos x lnx cosx lnx f x -=-⋅=-⋅=-，∴函数f （x ）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A ，D ；当x =π时，()))ππππ0f cos ln ln=⋅=>，故排除C ．故选B ．【点评】利用函数的奇偶性和特殊点的函数值，运用排除法得解．11．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，∠ABC =90°，AB =BC =AA 1=2，BB 1和B 1C 1的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ）A B ．25C ．45D 【答案】B【命题意图】本题考查了直三棱柱的定义，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题，考查了计算能力，属于基础题．【解析】分别以直线BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz ，则：A （2，0，0），E （0，0，1），C （0，2，0），F （0，1，2），∴()()201012AE CF =-=-u u u r u u u r ，，，，，，∴2cos 5AE CF AE CF AE CF⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，，∴AE 与CF 夹角的余弦值为25．故选B ． 【点评】建立空间直角坐标系，然后可求出()()201012AE CF =-=-u u u r u u u r，，，，，，然后可求出25cos AE CF =u u u r u u u r ，，从而可得出AE 与CF 夹角的余弦值．12．函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f '（x ）为其导函数，若xf '（x ）+f （x ）=（1﹣x ）e x ，且f （2）=0，则f （x ）>0的解集为（ ） A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（1，2） D ．（1，4）【答案】B【命题意图】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解题的关键是进行合理的构造．属于中档题. 【解析】令g （x ）=xf （x ），则g ′（x ）=xf ′（x ）+f （x ）=（1﹣x ）e x ，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）>0，故g （x ）单调递增，当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）<0，故函数单调递减， 又因为f （2）=0，所以g （2）=2f （2）=0，g （0）=0， 由f （x ）>0可得，xf （x ）>0即g （x ）>0， 所以0<x <2． 故选B ．【点评】构造函数，结合已知可求函数g （x ）的单调性，然后结合特殊点g （0）=g （2）=0及单项即可求解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin （απ4+）13=，则sin2α= ． 【答案】79-【命题意图】本题主要考查利用二倍角公式以及诱导公式花间求值，属于基础题． 【解析】根据π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故sin2α=﹣cos （2απ2+）=﹣cos2（απ4+）=22π4sin α⎛⎫+- ⎪⎝⎭179=-，故答案为79-． 【点评】利用诱导公式和二倍角公式把要求的式子化为 22π4sin α⎛⎫+- ⎪⎝⎭1，再代值求解． 14．在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a +b ）（sin A ﹣sin B ）=（a ﹣c ）sin C ，b =2，则△ABC 的外接圆面积为 ． 【答案】4π3【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． 【解析】∵△ABC 中，由（a +b ）（sin A ﹣sin B ）﹣（a ﹣c ）sin C =0， 利用正弦定理可得：（a +b ）（a ﹣b ）﹣（a ﹣c ）c =0，即 a 2+c 2﹣b 2=a ，∴cos B 222122a c b ac +-==，∴B π3=． ∵b =2，∴设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得2R b sinB == 解得R =△ABC 的外接圆面积S =πR 24π3=． 故答案为：4π3． 【点评】由条件利用正弦定理可得 a 2+c 2﹣b 2=a ，求得B 的值．利用正弦定理，圆的面积公式即可求解． 15的球内，则该圆柱的最大体积为 ．【答案】4π【命题意图】本题考查圆柱的内接球，考查求圆柱体积的最大值，比较综合，属于中高档题．【解析】作出轴截面如图．设圆柱体的底面半径为r，则球心到底面的距离（即圆柱高的一半）为d，则d=，则圆柱的高为hV=πr2h=2πr=r=≤=4π，当且仅当r2=6﹣2r2，即r=4π．故答案为：4π．【点评】解题关键是准确作出轴截面，设圆柱体的底面半径为r，由勾股定理用R与r表示出圆柱的高，从而得到其体积的表达式，再结合基本不等式，可得到圆柱体积的最大和此时底面半径的值．16．设椭圆C：2222x ya b+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|=2a，点A是椭圆C上的动点，且|P A|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是．【命题意图】本题主要考查椭圆的几何性质，属于难题．【答案】[45，1）【解析】要使|P A|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，只需3|F1F2|≥（|P A|+|AF1|）max恒成立，根据椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，所以|P A|+|AF1|=|P A|+2a﹣|AF2|≤|PF2|+2a，当且仅当P，F2，A三点共线时，取等号，F2在线段P A上，又点P的轨迹是以O圆心，半径为2r的圆上，所以点P到圆内点F2的最大距离为半径与|OF2|的和，即|PF2|≤2a+c，所以|P A|+|AF1|≤|PF2|+2a≤2a+c+2a=4a+c，所以6c≥4a+c，即5c≥4a，所以可得离心率e45ca=≥，又e <1，所以离心率的范围：[45，1），故答案为：[45，1）． 【点评】由|P A |+|AF 1|≤3|F 1F 2|恒成立，当且仅当，P ，F 2，A 三点共线时，取等号又点P 的轨迹是以O 圆心，半径为2r 的圆上，所以点P 到圆内点F 2的最大距离为半径与|OF 2|的和，可得6c ≥4a +c ，进而可得离心率的范围．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．已知数列{a n }，a 1=4，（n +1）a n +1﹣na n =4（n +1）（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n 11n n a a +=⋅，求数列{b n }前n 项和为T n ．【命题意图】本题主要考查数列的通项公式，以及用裂项相消法求数列前n 项和．考查了整体思想，转化思想的应用，逻辑思维能力和数学运算能力．【解析】（1）根据题意，由（n +1）a n +1﹣na n =4（n +1）（n ∈N *），可得 2a 2﹣a 1=8， 3a 3﹣2a 2=12， ……na n ﹣（n ﹣1）a n ﹣1=4n ．以上各项相加，可得na n ﹣a 1=8+12+…+4n ， ∴na n =4+8+12+…+4n ()442n n +=， ∴a n =2n +2，（n ∈N *）． （2）由（1）知，b n ()()111122244n n a a n n +===⋅++（1112n n -++）．故T n =b 1+b 2+…+b n14=（1123-）14+（1134-）14++L （1112n n -++）14=（111111233412n n -+-++-++L ）14=（1122n -+） ()82nn =+．【点评】（1）根据递推式结合累加法求出数列{a n }的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后用裂项相消法计算出前n 项和T n ． 18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量y i 和月销售单价x i （i =1，2，3，…，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x （元/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量y （万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：y =-$4x +105，y =$4x +53和y =-$3x +104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用y =ax 2+bx +c 模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为20.375y x =-+$0.875x +90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R 2分别为0.9702和0.9524，请用R 2说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）≈80.91．【命题意图】本题考查线性回归方程，考查利用导数求最值，是中档题． 【解析】（1）已知变量x ，y 具有负相关关系，故乙不对． ∵456789 6.56x +++++==，898382797467796y +++++==，代入甲和丙的回归方程验证甲正确；（2）由于0.9702>0.9524，且R 2越大，残差平方和越小，拟合效果越好， 故选用20.375y x =-+$0.875x +90.25更好；（3）由题意可知，320.3750.87590.25z x y x x x ==-++$，即3237361884z x x x =-++，则z ′297361844x x =-++．令z ′=0，解得x 79=（舍去）或x 79=．令079x +=，当x ∈（0，x 0）时，z 单调递增，当x ∈（x 0，+∞）时，z 单调递减．∴当x =x 0时，商品的月销售额预报值最大，80.91≈，∴x ≈9.77． ∴当x ≈9.77时，商品的月销售额最大．【点评】（1）由变量x ，y 具有负相关关系，说明乙不对，求出样本点的中心坐标，验证甲与丙得答案； （2）根据R 2越大，残差平方和越小，拟合效果越好进行判断即可； （3）求出z 关于x 的函数关系式，再利用导数求最值．19．如图，四边形ABCD 为长方形，AB =2BC =4，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，将△ADF 沿AF 折到△AD 'F 的位置，将△BCE 沿CE 折到△B 'CE 的位置，使得平面AD 'F ⊥底面AECF ，平面B 'CE ⊥底面AECF ，连接B 'D '．（1）求证：B 'D '∥平面AECF ； （2）求三棱锥B '﹣AD 'F 的体积．【命题意图】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．【解析】（1）作D ′M ⊥AF 于M ，作B ′N ⊥EC 于点N ， ∵AD ′=D ′F =2，B ′C =B ′E =2，∠AD ′F =∠CB ′E =90°，∴M ，N 为AF ，CE 的中点，且''D M B N ==∵平面AD ′F ⊥底面AECF ，平面AD ′F ∩底面AECF =AF ， D ′M ⊥AF ，D ′M ⊂平面‘F ，∴D ′M ⊥底面AECF ，同理：B ′N ⊥底面AECF ，∴D ′M ∥B ′N ， ∴四边形D ′B ′NM 是平行四边形，∴B ′D ′∥MN ，∵B ′D ′⊄平面AECF ，MN ⊂平面AECF ，∴B ′D ′∥平面AECF ． （2）设点B ′到平面AD ’F 的距离为h ，连结NF ， ∵D ′M ∥B ′N ，D ′M ⊂平面AD ′F ，B ′N ⊄平面AD ′F ， ∴B ′N ∥平面AD ′F ，∴B ′到平面AD ′F 的距离与点N 到平面AD ′F 的距离相等， ∵N 为CE 中点，EF =2，∴NF ⊥CE ， ∵AF ∥CE ，∴NF ⊥AF ，∵平面AD ′F ⊥底面AECF =AF ，NF ⊂底面AECF ， ∴NF ⊥平面AD ′F ，∴点N 到平面AD ′F 的距离为NF =∴点B ′到平面AD ′F 的距离h =∵S △AD ′F 12222=⨯⨯=，故三棱锥B '﹣AD 'F 的体积V B ′﹣AD ′F '11233AD F S h =⋅=⨯=V【点评】（1）作D ′M ⊥AF 于M ，作B ′N ⊥EC 于点N ，可证得四边形D ′B ′NM 是平行四边形，进而证明B ′D ′∥平面AECF ．（2）设点B ′到平面AD ’F 的距离为h ，连结NF ，B ′到平面AD ′F 的距离与点N 到平面AD ′F 的距离相等，进而求出三棱锥B '﹣AD 'F 的体积．20．在平面直角坐标系xOy 中，过点F （2，0）的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径，设点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点A （2，4）的任意直线l 与曲线C 交于点M ，B 为AM 的中点，过点B 作x 轴的平行线交曲线C 于点D ，B 关于点D 的对称点为N ，除M 以外，直线MN 与C 是否有其它公共点？说明理由．【命题意图】本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系和中点坐标的关系，属于中档题． 【解析】（1）如图，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，交直线x =﹣2于P '，设动圆的圆心为E ，半径为r ，则E 到y 轴的距离为r ，在梯形OFPH 中，由中位线性质可得PH =2r ﹣2， 所以|PP '|=2r ﹣2+2=2r ，又|PF |=2r ， 所以|PF |=|PP '|，由抛物线的定义知，点P 是以F （2，0）为焦点，以直线x =﹣2为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为：y 2=8x ；（2）由A （2，4）可得A 在求出C 上，（i 当直线l 的斜率存在时，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）（x 1≠2），则y 12=8x 1，AM 的中点B （122x +，142y +），即B （12x +1，12y+2），在方程y 2=8x 中，令y 12y =+2，得x 18=（12y+2）2，所以D （211(2)82y +，122y +）， 设N （x 2，y 2），由中点坐标公式可得x 214=（12y +2）2122x +-，又y 12=8x 1，代入化简x 212y =， 所以N （12y ，12y +2），直线MN 的斜率为：11121111122422282y y y y y y y x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=--， 所以直线MN 的方程为：y 14y =（x ﹣x 1）+y 1①， 将x 1218y =代入①化简可得：y 14y =x 12y +②，将x 28y =代入②式整理可得y 2﹣2y 1y +y 12=0，△=4y 12﹣4y 12=0，所以直线MN 与抛物线相切，所以除M 点外，直线MN 与C 没有其他的公共点．（ii ）当直线MN 的斜率不存在时．M （2，﹣4），B （2，0），D （0，0），N （﹣2，0）， 直线MN 的方程为：y =﹣x ﹣2代入抛物线的方程可得x 2﹣4x +4=0，△=42﹣4×4=0， 所以除M 点外，直线MN 与C 没有其他的公共点． 综上所述，除M 点外直线MN 与C 没有其他的公共点．【点评】（1）设P 的坐标，过P 做y 轴的垂线交于点H ，及与直线x =﹣2交于一点，得E 到y 轴的距离为半径r ，由梯形的中位线可得P 到定点F 的距离等于到定直线x =﹣2的距离，根据抛物线的定义可得P 的轨迹为抛物线，并且焦点F （2，0），准线为x =﹣2的抛物线；（2）根据直线l 的斜率存在和不存在进行讨论，设M 的坐标，可得中点B 的坐标，由题意可得D 的坐标，进而可得N 的坐标，求出直线MN ，与抛物线方程联立，由判别式为0可得直线除M 点外，没有其他的公共点．21．已知函数f （x ）=（x ﹣1）ln x +ax 2+（1﹣a ）x ﹣1． （1）当a =﹣1时，判断函数的单调性； （2）讨论f （x ）零点的个数．【命题意图】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及零点个数的判断，体现了分类讨论思想及转化思想的应用．【解析】（1）a =﹣1时，f （x ）=（x ﹣1）ln x ﹣x 2+2x ﹣1，()1'23f x lnx x x=--+， 令h （x ）()1'23f x lnx x x==--+，则()()()2221111'2x x h x x x x +-=-+=， 易得函数h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 故h （x ）≤h （1）=0即f ′（x ）≤0， 所以f （x ）在（0，+∞）上单调递减；（2）根据f （x ）=（x ﹣1）ln x +ax 2+（1﹣a ）x ﹣1可得f （1）=0，即x =1为函数f （x ）的一个零点， 设g （x ）=ln x +ax +1，则f （x ）的零点个数即为g （x ）的不为1的零点个数加上1，（i ）当a =﹣1时，由（1）知f （x ）单调递减，且x =1是f （x ）的零点，故f （x ）有且只有1个零点1； （ii ）当a ≥0时，g （x ）单调递增且g （1）>0，g （x ）=ln x +ax +1()()22131111x ax a x ax x x -++-<++=++，0<x <1，因为ax 2+（a +3）x ﹣1<（a +4）x 2+（a +3）x ﹣1=[（a +4）x ﹣1]（x +1）， 所以g （14a +）<0， 综上可知，g （x ）在（0，+∞）上有1个零点且g （1）=9， 所以f （x ）有2个零点 （iii ）又()1'ax g x x +=，所以当﹣1<a <0时，g （x ）在（0，1a-）上单调递增，在（1a -+∞，）上单调递减，故g （x ）的最大值g （1a -）=ln （1a-）>0， 又g （x ）()()21211111x x ax x x --<++<+=++0，且g （13）<0，g （1e ）a e=<0， 所以g （x ）在（0，1a-）上有1个零点，在（1a -+∞，）上有1个零点且x =0也是零点， 此时f （x ）共有3个零点，（iv ）又()1'ax g x x +=，所以当a <﹣1时，g （x ）在（0，1a-）上单调递增，在（1a -+∞，）上单调递减，故g （x ）的最大值g （1a -）=ln （1a-）<0， 故g （x ）没有零点，此时f （x ）只有1个零点，综上可得，当a ≤﹣1时，f （x ）有1个零点；当﹣1<a <0时，f （x ）有3个零点，当a ≥0时，f （x ）有2个零点．【点评】（1）把a =﹣1代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求单调性；（2）对函数求导，结合导函数可判断函数的单调性，利用函数的性质及零点判定定理即可求解． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为x tcos y tsin αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ． （1）求C 2的直角坐标方程；（2）直线C 1与C 2相交于E ，F 两个不同的点，点P的极坐标为()π，若2|EF |=|PE |+|PF |，求直线C 1的普通方程．【命题意图】本题主要考查了极坐标参数方程普通方程的互化、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】（1）曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．即ρ2=4ρsin θ，可得普通方程为x 2+y 2=4y ． （2）点P的极坐标为()π，可得直角坐标为（﹣0）．把直线C 1的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，α为倾斜角），代入C 2方程可得：t 2﹣（cos α+4sin α）t +12=0，△24sin )αα=+-48>0，可得：sin （απ3+）>，或sin （απ3+）<α为锐角．可得：sin （απ3+）>，解得：0<απ3<．则t1+t2α+4sinα，t1t2=12．∴|EF|==|PE|+|PF|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=8|sin（απ3 +）|，∴=8|sin（απ3+）|，∴化为sin（απ3+）=1，∴απ6=+2kπ，k∈Z．α满足0<απ3<．可得απ6=．∴直线C1的参数方程为：12xy t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化为普通方程为x=0．【点评】（1）曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．即ρ2=4ρsinθ，进而转化可得普通方程．（2）点P的极坐标为()π，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为x tcosy tsinαα⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（α+4sinα）t+12=0，△>0，由α为锐角．利用根与系数的关系可得：|EF|==4，|PE|+|PF|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=8|sin（απ3+）|，解出α即可得出直线方程．[选修4–5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c=1．证明：（1）111a b c++≥9；（2）ac +bc +ab ﹣abc 827≤． 【命题意图】本题主要考查基本不等式，属于中档题． 【解析】（1）()111111332229a b a c b c a b c a b c a b c b a c a c b ⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++≥+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时，等号成立； （2）∵a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c =1， ∴c =1﹣a ﹣b ，1﹣a >0，1﹣b >0，1﹣c >0，∴ac +bc +ab ﹣abc =（a +b ﹣ab ）c +ab =（a +b ﹣ab ）（1﹣a ﹣b ）+ab =（b ﹣1）（a ﹣1）（a +b ）=（1﹣a ）（1﹣b ）（1﹣c ）()()()31118[]327a b c -+-+-≤=， ∴ac +bc +ab ﹣abc 827≤，当且仅当13a b c ===时，等号成立．。
2020年广东省深圳市高考文科数学模拟试卷及答案解析
2020年广东省深圳市高考文科数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．设集合A＝{0，3}，B＝{m+2，m2+2}，若A∩B＝{3}，则集合A∪B的子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8
2．在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（）
A．x2+y2＝25B．x2+y2＝5
C．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25D．（x+3）2+（y+4）2＝25
4．函数f（x）＝ln的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）A．0B．1C．2D．4
5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）
A．若a3＞0，则a2016＞0B．若a4＞0，则a2017＞0
C．若a3＞0，则S2017＞0D．若a4＞0，则S2016＞0
6．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）
A．A ＝B．A＝2+C．A ＝D．A＝1+
7．三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四
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广东省深圳市2020年普通高中高三年级3月线上统一测试数学文科试题(含解析)
2020年高考模拟高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6}，则集合A∩B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．若复数z＝的实部为0，其中a为实数，则|z|＝（）A．2B．C．1D．3．已知向量，，，且实数k＞0，若A、B、C三点共线，则k＝（）A．0B．1C．2D．34．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*），其中a1＝1，a2＝1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A．B．C．D．5．设，，c＝log0.3，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为（）A．2和6B．4和6C．2和7D．4和77．若双曲线（a＞0，b＞0）的焦距为，且渐近线经过点（1，﹣2），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．12B．16C．24D．329．已知函数的最大值、最小值分别为3和﹣1，关于函数f （x）有如下四个结论：①A＝2，b＝1；②函数f（x）的图象C关于直线对称；③函数f（x）的图象C关于点对称；④函数f（x）在区间内是减函数．其中，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．410．函数的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为（）A．B．C．D．12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）＝（1﹣x）e x，且f（2）＝0，则f（x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（1，4）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin（α+）＝，则sin2α＝．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sin A﹣sin B）＝（a﹣c）sin C，b＝2，则△ABC的外接圆面积为．15．已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为．16．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|＝2a，点A是椭圆C上的动点，且|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，a1＝4，（n+1）a n+1﹣na n＝4（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}前n项和为T n．18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量y i和月销售单价x i（i ＝1，2，3，…，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元/件）456789月销售量y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：＝﹣4x+105，＝4x+53和＝﹣3x+104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用y＝ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为+0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2分别为0.9702和0.9524，请用R2说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据：≈80.91．19．如图，四边形ABCD为长方形，AB＝2BC＝4，E、F分别为AB、CD的中点，将△ADF 沿AF折到△AD'F的位置，将△BCE沿CE折到△B'CE的位置，使得平面AD'F⊥底面AECF，平面B'CE⊥底面AECF，连接B'D'．（1）求证：B'D'∥平面AECF；（2）求三棱锥B'﹣AD'F的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x 轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1．（1）当a＝﹣1时，判断函数的单调性；（2）讨论f（x）零点的个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6}，则集合A∩B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】求出集合的交集，写出子集，判断即可．解：已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6}，则集合A∩B＝{2，4}则子集共有{2}，{4}，{2，4}，∅，4个故选：B．2．若复数z＝的实部为0，其中a为实数，则|z|＝（）A．2B．C．1D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0求得a值，进一步得到z，再由复数模的计算公式求解．解：∵z＝＝的实部为0，∴a＝2，则z＝2i，则|z|＝2．故选：A．3．已知向量，，，且实数k＞0，若A、B、C三点共线，则k＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】求出＝＝（2，2﹣k），＝＝（k+1，﹣2），由A、B、C 三点共线，得∥，由此能求出k．解：∵向量，，，且实数k＞0，＝＝（2，2﹣k），＝＝（k+1，﹣2），∵A、B、C三点共线，∴∥，∴，由k＞0，解得k＝3．故选：D．4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*），其中a1＝1，a2＝1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，可得：每三个数中有应该偶数，即可得出结论．解：从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，可得：每三个数中有一个偶数，可得：从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率＝．故选：B．5．设，，c＝log0.3，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．解：∵b＞1＞a＞0＞c，∴b＞a＞c，故选：D．6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为（）A．2和6B．4和6C．2和7D．4和7【分析】利用中位数和平均值的计算公式可得答案．解：由所有选项可知x＞0，y＜9，再由茎叶图可知：甲队的数据中位数为：＝18，乙队的数据中位数为：，若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，即＝16，解得y＝7，＝（7+12+16+20+20+x+31），乙＝（8+9+19+17+27+28），甲＝乙，解得x＝2，甲故选：C．7．若双曲线（a＞0，b＞0）的焦距为，且渐近线经过点（1，﹣2），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】依题意可得a2+b2＝c2＝5，b＝2a．解得，即可求解．解：依题意可得a2+b2＝c2＝5，…①．∵渐近线经过点（1，﹣2），∴（1，﹣2）在直线上．∴b＝2a…②．由①②可得，则此双曲线的方程为：．故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．12B．16C．24D．32【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：请旋转一下角度再看所以V＝3×4×4﹣4×＝16．故选：B．9．已知函数的最大值、最小值分别为3和﹣1，关于函数f （x）有如下四个结论：①A＝2，b＝1；②函数f（x）的图象C关于直线对称；③函数f（x）的图象C关于点对称；④函数f（x）在区间内是减函数．其中，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得A和b的值．结合正弦函数性质对命题逐一判断即可．解：由于函数f（x）＝A sin（x+）+b的最大值为3，最小值为﹣1，可得；∴A＝2，b＝1，故f（x）＝2sin（x+）+1．故①正确；直线代入x+＝﹣，故函数f（x）的图象C关于直线对称；②正确；点代入，得x+＝π；故函数f（x）的图象C关于点对称；③正确；当x∈时，x+∈（，）．故函数f（x）在区间内是减函数．④正确；∴正确的结论个数是：4个；故选：D．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：，∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AD；当x＝π时，，故排除C．故选：B．11．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可以点B为原点，直线BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可求出，然后可求出，从而可得出AE与CF夹角的余弦值．解：分别以直线BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：A（2，0，0），E（0，0，1），C（0，2，0），F（0，1，2），∴，∴＝，∴AE与CF夹角的余弦值为．故选：B．12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）＝（1﹣x）e x，且f（2）＝0，则f（x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（1，4）【分析】令g（x）＝xf（x），结合已知可求函数g（x）的单调性，然后结合特殊点g （0）＝g（2）＝0及单项即可求解．解：令g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x）＝（1﹣x）e x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数单调递减，又因为f（2）＝0，所以g（2）＝2f（2）＝0，g（0）＝0，由f（x）＞0可得，xf（x）＞0即g（x）＞0，所以0＜x＜2．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin（α+）＝，则sin2α＝﹣．【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，运算求得结果．解：∵，∴sin2α＝﹣cos（2α+）＝﹣cos2（α+）＝2﹣1＝﹣，故答案为﹣．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sin A﹣sin B）＝（a﹣c）sin C，b＝2，则△ABC的外接圆面积为．【分析】△ABC中，由条件利用正弦定理可得a2+c2﹣b2＝a，求得cos B＝的值，即可求得B的值．利用正弦定理，圆的面积公式即可求解．解：∵△ABC中，由（a+b）（sin A﹣sin B）﹣（a﹣c）sin C＝0，利用正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣c）c＝0，即a2+c2﹣b2＝a，∴cos B＝＝，∴B＝．∵b＝2，∴设△ABC的外接圆半径为R，可得2R＝＝，可得R＝，可得△ABC的外接圆面积S＝πR2＝．故答案为：．15．已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为4π．【分析】作出轴截面，设圆柱体的底面半径为r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，我们可以用R与r表示出圆柱的高，进而得到其体积的表达式，然后结合基本不等式，即可得到圆柱体积的最大和此时底面半径的值．解：作出轴截面如右．设圆柱体的底面半径为r，则球心到底面的距离（即圆柱高的一半）为d，则d＝，则圆柱的高为h＝2，则圆柱的体积V＝πr2h＝2πr2＝πr2＝π≤π＝4π，当且仅当r2＝6﹣2r2，即r＝时，圆柱的体积取最大值，且为4π．故答案为：4π．16．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|＝2a，点A是椭圆C上的动点，且|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是[，1）．【分析】设P的坐标，由题意可得|PF1|≤|PA|+|AF1，所以由|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立可得|PF1|≤3|F1F2|，将P的坐标代入即P的横坐标的方程可得离心率的取值范围．解：因为|OP|＝2a，所以P在以原点为圆心，以2a为半径的圆上，设P坐标为（x，y），即P满足的方程为：x2+y2＝4a2，由题意可|PF1|≤|PA|+|AF1，所以由|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立可得|PF1|≤3|F1F2|，可得（x+c）2+y2≤9×4c2，即4a2+2cx+c2≤36c2恒成立，﹣2a≤x≤2a，所以4a2+4ac+c2≤35c2，整理可得：35e2﹣4e﹣4≥0，解得e，又因为椭圆的离心率e＜1故答案为：[，1）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，a1＝4，（n+1）a n+1﹣na n＝4（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}前n项和为T n．【分析】本题第（1）题根据递推式可用累加法求出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后用裂项相消法计算出前n项和T n．解：（1）依题意，由（n+1）a n+1﹣na n＝4（n+1）（n∈N*），可得2a2﹣a1＝8，3a3﹣2a2＝12，•••na n﹣（n﹣1）a n﹣1＝4n．各项相加，可得na n﹣a1＝8+12+…+4n，∴na n＝4+8+12+…+4n＝，∴a n＝2n+2，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝＝＝（﹣）．故T n＝b1+b2+…+b n＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量y i和月销售单价x i（i ＝1，2，3，…，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元/件）456789月销售量y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：＝﹣4x+105，＝4x+53和＝﹣3x+104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用y＝ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为+0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2分别为0.9702和0.9524，请用R2说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据：≈80.91．【分析】（1）由变量x，y具有负相关关系，说明乙不对，求出样本点的中心坐标，验证甲与丙得答案；（2）由R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好，可得选用+0.875x+90.25更好；（3）求出z关于x的函数关系式，再由导数求最值．解：（1）已知变量x，y具有负相关关系，故乙不对．∵，，代入甲和丙的回归方程验证甲正确；（2）∵0.9702＞0.9524，且R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好，∴选用+0.875x+90.25更好；（3）由题意可知，，即，则z′＝．令z′＝0，解得x＝（舍去）或x＝．令，当x∈（0，x0）时，z单调递增，当x∈（x0，+∞）时，z单调递减．∴当x＝x0时，商品的月销售额预报值最大，∵，∴x≈9.77．∴当x≈9.77时，商品的月销售额最大．19．如图，四边形ABCD为长方形，AB＝2BC＝4，E、F分别为AB、CD的中点，将△ADF 沿AF折到△AD'F的位置，将△BCE沿CE折到△B'CE的位置，使得平面AD'F⊥底面AECF，平面B'CE⊥底面AECF，连接B'D'．（1）求证：B'D'∥平面AECF；（2）求三棱锥B'﹣AD'F的体积．【分析】（1）作D′M⊥AF于M，作B′N⊥EC于点N，从而M，N为AF，CE的中点，且，推导出D′M⊥底面AECF，B′N⊥底面AECF，D′M∥B′N，四边形D′B′NM是平行四边形，B′D′∥MN，由此能证明B′D′∥平面AECF．（2）设点B′到平面AD’F的距离为h，连结NF，B′到平面AD′F的距离与点N 到平面AD′F的距离相等，求出点B′到平面AD′F的距离h＝，由此能求出三棱锥B'﹣AD'F的体积．解：（1）证明：作D′M⊥AF于M，作B′N⊥EC于点N，∵AD′＝D′F＝2，B′C＝B′E＝2，∠AD′F＝∠CB′E＝90°，∴M，N为AF，CE的中点，且，∵平面AD′F⊥底面AECF，平面AD′F∩底面AECF＝AF，D′M⊥AF，D′M⊂平面‘F，∴D′M⊥底面AECF，同理：B′N⊥底面AECF，∴D′M∥B′N，∴四边形D′B′NM是平行四边形，∴B′D′∥MN，∵B′D′⊄平面AECF，MN⊂平面AECF，∴B′D′∥平面AECF．（2）解：设点B′到平面AD’F的距离为h，连结NF，∵D′M∥B′N，D′M⊂平面AD′F，B′N⊄平面AD′F，∴B′N∥平面AD′F，∴B′到平面AD′F的距离与点N到平面AD′F的距离相等，∵N为CE中点，EF＝2，∴NF⊥CE，∵AF∥CE，∴NF⊥AF，∵平面AD′F⊥底面AECF＝AF，NF⊂底面AECF，∴NF⊥平面AD′F，∴点N到平面AD′F的距离为NF＝，∴点B′到平面AD′F的距离h＝，∵S△AD′F＝，∴三棱锥B'﹣AD'F的体积V B′﹣AD′F＝＝＝．20．在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x 轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．【分析】（1）设P的坐标，过P做y轴的垂线交于点H，及与直线x＝﹣2交于一点，得E到y轴的距离为半径r，又是梯形的中位线可得P到定点F的距离等于到定直线x ＝﹣2的距离，由抛物线的定义可得，P的轨迹为抛物线，并且焦点F（2，0），准线为x＝﹣2的抛物线；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，设M的坐标，可得中点B的坐标，由题意可得D的坐标，进而可得N的坐标，求出直线MN，与抛物线方程联立，由判别式为0可得直线除M点外，没有其他的公共点．解：（1）如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线x＝﹣2于P'，设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可得PH＝2r﹣2，所以|PP'|＝2r﹣2+2＝2r，又|PF|＝2r，所以|PF|＝|PP'|，由抛物线的定义知，点P是以F（2，0）为焦点，以直线x＝﹣2为准线的抛物线，所以曲线C的方程为：y2＝8x；（2）由A（2，4）可得A在求出C上，（i当直线l的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠2），则y12＝8x1，AM的中点B（，），即B（+1，+2），在方程y2＝8x中，令y＝+2，得x＝（+2）2，所以D（，），设N（x2，y2），由中点坐标公式可得x2＝（+2）2﹣，又y12＝8x1，代入化简x2＝，所以N（，+2），直线MN的斜率为：＝，所以直线MN的方程为：y＝（x﹣x1）+y1①，将x1＝代入①化简可得：y＝x+②，将x＝代入②式整理可得y2﹣2y1y+y12＝0，△＝4y12﹣4y12＝0，所以直线MN与抛物线相切，所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．（ii）当直线MN的斜率不存在时．M（2，﹣4），B（2，0），D（0，0），N（﹣2，0），直线MN的方程为：y＝﹣x﹣2代入抛物线的方程可得x2﹣4x+4＝0，△＝42﹣4×4＝0，所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．综上所述，除M点外直线MN与C没有其他的公共点．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1．（1）当a＝﹣1时，判断函数的单调性；（2）讨论f（x）零点的个数．【分析】（1）把a＝﹣1代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；（2）先对函数求导，然后结合导可判断函数的单调性，然后结合函数的性质及零点判定定理即可求解．解：（1）a＝﹣1时，f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x2+2x﹣1，，令h（x）＝，则＝，易得函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故h（x）≤h（1）＝0即f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（2）由f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1可得f（1）＝0，即x＝1为函数f（x）的一个零点，设g（x）＝lnx+ax+1，则f（x）的零点个数即为g（x）的不为1的零点个数加上1，（i）当a＝﹣1时，由（1）知f（x）单调递减，且x＝1是f（x）的零点，故f（x）有且只有1个零点1；（ii）当a≥0时，g（x）单调递增且g（1）＞0，g（x）＝lnx+ax+1＜＝，0＜x＜1，因为ax2+（a+3）x﹣1＜（a+4）x2+（a+3）x﹣1＝[（a+4）x﹣1]（x+1），所以g（）＜0，综上可知，g（x）在（0，+∞）上有1个零点且g（1）＝9，所以f（x）有2个零点（iii）又，所以当﹣1＜a＜0时，g（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣）上单调递减，故g（x）的最大值g（﹣）＝ln（﹣）＞0，又g（x）＜＝0，且g（）＜0，g（）＝＜0，所以g（x）在（0，﹣）上有1个零点，在（﹣）上有1个零点且x＝0也是零点，此时f（x）共有3个零点，（iv）又，所以当a＜﹣1时，g（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣）上单调递减，故g（x）的最大值g（﹣）＝ln（﹣）＜0，故g（x）没有零点，此时f（x）只有1个零点，综上可得，当a＜﹣1时，f（x）有1个零点；当﹣1＜a＜0时，f（x）有3个零点，当a≥0时，f（x）有2个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．【分析】（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，利用互化公式可得普通方程．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＞0，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．利用根与系数的关系可得：|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，解出α即可得出．解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，可得普通方程：x2+y2＝4y．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＝﹣48＞0，可得：sin（α+）＞，或sin（α+）＜﹣，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．则t1+t2＝4cosα+4sinα，t1t2＝12．∴|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，∴8＝8|sin（α+）|，∴化为：sin（α+）＝1，∴α＝+2kπ，k∈Z．α满足0＜α＜．可得α＝．∴直线C1的参数方程为：，可得普通方程：x﹣y+2＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．【分析】（1）利用乘一法，结合基本不等式即可求证；（2）ac+bc+ab﹣abc）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），再利用基本不等式即可求证．【解答】证明：（1）＝，当且仅当时，等号成立；（2）∵a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，∴c＝1﹣a﹣b，1﹣a＞0，1﹣b＞0，1﹣c＞0，∴ac+bc+ab﹣abc＝（a+b﹣ab）c+ab＝（a+b﹣ab）（1﹣a﹣b）+ab＝（b﹣1）（a﹣1）（a+b）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），∴ac+bc+ab﹣abc≤，当且仅当时，等号成立．。
广东省深圳市2020届高三下学期第一次调研考试数学(文)试题Word版含答案
广东省深圳市2020届高三下学期第一次调研考试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤，则A B =I （ ） A ． {}2,4 B ．{}4,6 C ．{}6,8 D ．{}2,82.若复数()12a ia R i+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A ． -3 B ． -2 C ．2 D ．33. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A ．14 B ． 13 C ． 12 D ． 234.设30.330.2,log 0.2,log 0.2a b c ===，则,,a b c 大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C. b c a >> D ．c b a >> 5. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1cos ,1,24C a c ===，则ABC ∆的面积为（ ）A B 14 D ．186. ）A C. 2 D 7.将函数sin 64y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ）A ．,02π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 函数()21cos 21x xf x x +=-g 的图象大致是（ ） A ． B ．C. D ．9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为()02h h <<的平面截该几何体，则截面面积为 （ ）A ．4πB ．2h π C. ()22h π- D ．()24h π-10. 执行如图所示的程序框图，若输入2017p =，则输出i 的值为（ ） A ． 335 B ．336 C. 337 D ．33811. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为（ ） A ．83π B ．53π C. 43π D ．23π 12. 若()32sin cos f x x a x =+在()0,π上存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()0,+∞ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知向量()()1,2,,3p q x ==，若p q ⊥，则p q += ． 14. 已知α是锐角，且cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 15.直线30ax y -+=与圆()()2224x y a -+-=相交于M N 、两点，若23MN ≥a 的取值范围是．16.若实数,x y 满足不等式组4023801x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =-的最大值为12，最小值为0，则实数k = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()*21,1n n n n S a n n N b a =-+∈=+． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ．18. 如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G ，2,3,AB BD AE EAD EAB ===∠=∠．（1）证明：平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）若060EAG ∠=，求三棱锥F BDE -的体积．19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求,a b 的值；（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20.已成椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3．5过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是AB 中点，且Q 点的坐标为2,05⎛⎫⎪⎝⎭，当QM AB ⊥时，求直线l 的方程． 21.已知函数()()()1ln 3,,f x ax x ax a R g x =+-+∈是()f x 的导函数，e 为自然对数的底数． （1）讨论()g x 的单调性；（2）当a e >时，证明：()0a g e ->；（3）当a e >时，判断函数()f x 零点的个数，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线E 的参数方程为2cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l 与曲线E 相交于点A B 、两点，且OA OB ⊥，求证：2211OAOB+为定值，并求出这个定值．23.选修4-5：不等式选讲已知()(),3f x x a g x x x =+=+-． （1）当1a =，解不等式()()f x g x <；（2）对任意[]()()1,1,x f x g x ∈-<恒成立，求a 的取值范围．广东省深圳市2020届高三下学期第一次调研考试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12：DD二、填空题13. 4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 16. 3 三、解答题17.解:（1）当1n =时，11112112a S a a ==-+=，易得110,1a b ==；当2n ≥时，()1121211n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+⎡⎤⎣⎦， 整理得121n n a a -=+，∴()111212n n n n b a a b --=+=+=，∴数列{}n b 构成以首项为11b =，公比为2等比数列， ∴数列{}n b 的通项公式()12*n n b n N -=∈； （2）由（1）知12n n b -=，则12n n nb n -=g ， 则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，①∴12321222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，② 由①-②得：0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯L12221212n n n n n n -=-⨯=--⨯-， ∴()121n n T n =-+. 18.解：（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，∵,,AD AB BD AC DG GB =⊥=， 在EAD ∆和EAB ∆中，,AD AB AE AE ==，EAD EAB ∠=∠，∴EAD EAB ∆≅∆， ∴ED EB =，∴BD EG ⊥， ∵AC EG G =I ， ∴BD ⊥平面ACFE ， ∵BD ⊂平面ABCD ， ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）解法一：连接,EG FG ，∵BD ⊥面,ACFE FG ⊂平面ACFE ，∴FG BD ⊥， 在平行四边形ACFE 中，易知0060,30EGA FGC ∠=∠=，∴090EGF ∠=，即FG EG ⊥，又因为,EG BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以FG ⊥平面BDE ，所以点F 到平面BDE 的距离为3FG =，∵122BDE S ∆==g ∴三棱锥F BDE -的体积为133=g . 解法二：∵//,EF 2GC EF GC =，∴点F 到平面BDE 的距离为点C 到平面BDE 的距离的两倍，所以2F BDE C BDE V V --=，作EH AC ⊥，∵平面ACFE ⊥平面,ABCD EH ⊥平面ABCD ，∴1132322C BDE E BCD V V --==⨯⨯=， ∴三棱锥F BDE -19.解析：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-， 当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为：0.5,02000.860,200400140,400x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）由（1）可知：当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知：0.121000.30.81000.050.2b a +⨯+=⎧⎨+=⎩，∴0.0015,0.0020a b ==； （3）由题意可知：当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==， 当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==， 当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 故250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）由题意可知：225a b +=，又222c e a b c a ===+，∴a b ==，所以椭圆C 的方程为22:132x y C +=； （2）①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM AB ⊥，所以，方程为0x =， ②若直线l 的斜率存在，设其方程为()()11222,,,,y y kx A x y B x =+， 将直线方程与椭圆方程联立可得222132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即()22231260k x kx +++=， 可得1222122372480k x x k k -⎧+=⎪+⎨⎪∆=->⎩，设()00,M x y ，则00222664,2232323k k x y k k k k --==+=+++g ，由QM AB ⊥可知00125y k x =--g ，化简得23520k k ++=， 解得1k =-或23k =-，将结果代入272480k ∆=->验证，舍掉23k =-， 此时，直线l 的方程为20x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或20x y +-=. 21.解（1）对函数()f x 求导得()()1ln g x f x a x x'==+， ()2211a ax g x x x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上为减函数； ②当0a >时，解()0g x '>可得1x a >，故()g x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2） ()2a a g e a e -=-+，设()2x h x e x =-，则()2x h x e x '=-， 易知当x e >时，()0h x '>，()220x e h x e x e e =->->；（3）由（1）可知，当a e >时，()g x 是先减再增的函数， 其最小值为111ln ln 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而此时()1110,0aa a g e e g e --⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，且11a a e e a -<<，故()g x 恰有两个零点12,x x ，∵当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=>；当()12,x x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()2,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，∴()f x 在12,x x 两点分别取到极大值和极小值，且110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()1111ln 0g x a x x =+=知111ln a x x =-， ∴()()11111111ln 3ln 2ln f x ax x ax x x =+-+=++， ∵1ln 0x <，∴111ln 2ln x x +≤-，但当111ln 2ln x x +=-时，11x e =，则a e =，不合题意，所以()10f x <，故函数()f x 的图象与x 轴不可能有两个交点.∴函数()f x 只有一个零点.22.解：（1）曲线E 的普通方程为22143x y +=， 极坐标方程为22211cos sin 143ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴所求的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=；（2）不妨设设点,A B 的极坐标分别为()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则()()2211222211cos sin 14311cos sin 14232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即22212222111cos sin 43111sin cos 43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， ∴221211712ρρ+=，即2211712OA OB+=（定值）. 23.解：（1）当1a =，()1f x x =+，由()()f x g x <可得13x x x +<+-，即310x x x +-+->， 当3x ≤-时，原不等式等价于20x -->，即2x <-，∴3x ≤-，当31x -<<-时，原不等式等价于40x +>，即4x >-，∴31x -<<-， 当1x ≥-时，原不等式等价于20x -+>，即2x <，∴12x -≤<， 综上所述，不等式的解集为(),2-∞；（2）当[]1,1x ∈-时，()3g x =，∴3x a +<恒成立，∴33a x -<+<，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立， ∴a 的取值范围22a -<<.。
深圳市2020年普通高中高三年级统一测试文科数学试卷含答案
点共线，则 k
A． 0
B．1
C． 2
D． 3
4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以
生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那 么兔子对数依次为：1，1， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ，13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ，144 ……，这就 是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 an an1 an2 (n 3, n Ν ) ，其中 a1 1 ， a2 1 .若从该数列的前100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为
（1）求数列 {an } 的通项公式；
1 （2）若 bn = an an+1 ，求数列{bn}前 n 项和为Tn ．
解：（1）由 (n +1)an+1 − nan = 4(n +1) (n N) 可得，
2a2 − a1 = 8 ，
………………………………1 分
3a3 − 2a2 = 12 ，
4a4 − 3a3 = 16 ，
归直线方程分别为： yˆ 4x 105 ， yˆ 4x 53和 yˆ 3x 104 ，其中有且仅有一位实习
员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确 的，并说明理由；
（ 2 ） 若 用 y ax2 bx c 模 型 拟 合 y 与 x 之 间 的 关 系 ， 可 得 回 归 方 程 为
深圳市 2020 年普通高中高三年级统一测试数学（文科）试题 第 2 页（共 6 页）
其中，正确的结论个数是
A．1
B． 2
C． 3
10．函数 f (x) cos x ln( x2 1 x) 的图象大致为
深圳市2020届高三年级第一次调研考试文科数学试题(含答案)
=
2 2
3=
3 ，………11 分
h=2 6 ．
3
…………………………………………………12 分
解法二：通过证明或计算可得四棱锥 A1 − ABC 为正四面体，其高的公式 h =
6 a（ a 为 3
棱长）．
解法三：可利用 B1C
⊥ 平面 A1BC1 计算VC−A1B1C1
= 2VB1 − A1C1O
=
(2)设存在椭圆上的一点 P(x0 , y0 ) ，满足 OA + OB + OP = 0 ，
设
A(
x1,
y1 ),
B(
x2
,
y2
)
，则
x0
y0
= =
−( x1 −( y1
+ +
x2 ), y2 ),
-------------5
分
联立 x2 + y2 = 1与 y = x + m(m 0) ，消去 y 并整理，得 2
BC1 B1C = O ， A1B1 = A1C ． （1）求证： B1C ⊥ 平面 A1BC1 ； （2）若 BC = 2 ，求点 C 到平面 A1B1C1 的距离．
解：（1）证明：连接 A1O ，………1 分 侧面 BCC1B1 为正方形，
BC1 ⊥ B1C ， ……………………2 分
AB = A1B1 ， A1B1 = A1C ，
频率 组距
频率 组距
0.0150
0.0150
0.0125 0.0100 0.0075 0.0050 0.0025
0.0125 0.0100 0.0075 0.0050 0.0025
O 20 40 60 80 100 男生参赛成绩（百分制）
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2﹣x，x∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，1}D．{﹣1，0}2．若平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．43．设i为虚数单位，已知，则|z1|，|z2|的大小关系是（）A．|z1|＜|z2|B．|z1|=|z2|C．|z1|＞|z2|D．无法比较4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（）A．1.78小时 B．2.24小时 C．3.56小时 D．4.32小时5．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列说法错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．x=是f（x）的一条对称轴C．f（x）在（﹣，）上单调递增D．|f（x）|的值域是[0，1]6．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．48．函数f（x）=xcosx在[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知﹣＜α＜，且sinα+cosα=，则α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．10．已知A，B，C是球面上三点，且AB=6，BC=8，AC=10，球心O到平面ABC的距离等于该球半径的，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．12．已知a＞0，若函数且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1]B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．下列四个函数中：①y=﹣；②y=log2（x+1）；③y=﹣；④y=．在（0，+∞）上为减函数的是．（填上所有正确选项的序号）14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负．若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）16．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．18．某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅，其中A户型住宅每套面积为100平方米，B户型住宅每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，表是这24套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A户型 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9 3.2 2.9 3.1 3.4 3.3 3.4 3.5 B户型 3.6 3.7 3.7 3.9 3.8． 3.9 4.2 4.1 4.1 4.2 4.3 4.5 （Ⅰ）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；（Ⅱ）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会．小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格．为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，经过点A（0，1），其左、右焦点分别为F1、F2，且•=0．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（﹣，0）的直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，且与圆O：x2+y2=r2（r ＞0）相切于点Q，求r的值及△OPQ的面积．21．已知函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立，求m+n的最大值．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C1：x2+y2=4，C2：（x+）2+（y﹣1）2=4，C3：（θ为参数）有一公共点P（0，2）．（Ⅰ）分别求C1与C2，C1与C3异于点P的公共点M、N的直角坐标；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C 的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2﹣x，x∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，1}D．{﹣1，0}【考点】交集及其运算．【分析】把A中元素代入B求出y的值，确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：把x=﹣1，0，1代入得：y=2，0，即B={2，0}，∵A={﹣1，0，1}，∴A∩B={0}，故选：A．2．若平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的共线的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，可得m﹣4=2（﹣1），解得m=2．故选：B．3．设i为虚数单位，已知，则|z1|，|z2|的大小关系是（）A．|z1|＜|z2|B．|z1|=|z2|C．|z1|＞|z2|D．无法比较【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则分别化简z1，z2，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：z1====﹣i，∴|z1|=1．∵，∴|z2|==1，则|z1|=|z2|．故选：B．4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（）A．1.78小时 B．2.24小时 C．3.56小时 D．4.32小时【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，利用同一组数据所在区间的中点值乘以对应的频率，再求和即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间为=0.12×2×1+0.20×2×3+0.10×2×5+0.08×2×7=3.56（小时）．故选：C．5．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列说法错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．x=是f（x）的一条对称轴C．f（x）在（﹣，）上单调递增D．|f（x）|的值域是[0，1]【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x，由三角函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：∵f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴f（x）的最小正周期T==π，选项A正确；由2x=kπ可得x=，k∈Z，∴x=是f（x）的一条对称轴，选项B正确；由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得kπ+≤x≤kπ+π，∴函数的单调递增区间为[kπ+，kπ+π]，k∈Z，C错误；|f（x）|=|cos2x|，故值域为[0，1]，D正确．故选：C6．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC），k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得当直线经过点A（0，2）时，直线的斜率取最大值2，当直线经过点B（0，﹣2）时，直线的斜率取最小值﹣2，故选：A．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，由题意解答．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；故答案为：．8．函数f（x）=xcosx在[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；余弦函数的图象．【分析】根据奇偶函数图象的对称性排除A、C；利用特殊点排除D，从而得到答案．【解答】解：由f（x）=xcosx为奇函数知，其图象关于原点对称，排除A、C；又f（π）=πcosπ=﹣π＜0，故排除D；故选B．9．已知﹣＜α＜，且sinα+cosα=，则α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知可得sin（）=，从而可得sin （）=，结合α的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值得解．【解答】解：因为：sinα+cosα=，所以：sin（）=，所以：sin（）=．又因为：﹣＜α＜，可得：，所以：=，解得：．故选：A．10．已知A，B，C是球面上三点，且AB=6，BC=8，AC=10，球心O到平面ABC的距离等于该球半径的，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】求出三角形ABC的外心，利用球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意AB=6，BC=8，AC=10，∵62+82=102，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是AC的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离，设球的半径为R，球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，所以R2=（R）2+52，解得R2=，∴球的表面积为4πR2=π．故选：C．11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦AB所在直线方程为，可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程和抛物线方程联立消去x可得到关于y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦AB的中点坐标为，而弦AB的垂直平分线方程可写出为y﹣2=﹣x，弦中点坐标带入该方程便可求出p的值．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A（x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．12．已知a＞0，若函数且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1]B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，然后画出a=1及a=2时的分段函数的简图，由图判断a=1及a=2时满足题意，结合选项得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）+2a的零点的个数等价于方程f（x）=﹣2a根的个数，即函数y=f（x）的图象与直线y=﹣2a交点的个数，利用特殊值验证法：当a=1时，y=f（x）的图象如图：满足题意；当a=2时，y=f（x）的图象如图：满足题意．结合选项可知，a的范围是D．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．下列四个函数中：①y=﹣；②y=log2（x+1）；③y=﹣；④y=．在（0，+∞）上为减函数的是①④．（填上所有正确选项的序号）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据单调性的定义，对数函数和指数函数的单调性，以及不等式的性质即可判断每个函数在（0，+∞）上的单调性，从而写出在（0，+∞）上为减函数的序号．【解答】解：∵x∈（0，+∞）；①x增大时，增大，﹣减小，即y减小，∴该函数在（0，+∞）上为减函数；②x增大时，x+1增大，log2（x+1）增大，即y增大，∴该函数在（0，+∞）上为增函数；③x增大时，x+1增大，减小，增大，∴该函数在（0，+∞）上为增函数；④x增大时，x﹣1增大，减小，即y减小，∴该函数在（0，+∞）上为减函数；∴在（0，+∞）上为减函数的是①④．故答案为：①④．14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负．若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是全胜．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意可得，共有6胜6负，由甲，乙，丙的成绩，运用补集思想即可求出丁的成绩．【解答】解：由题意可得，甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负，则共需进行=6场，∵每场都会产生胜方和负方，∴比赛共产生6胜6负，∵甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，已有3胜6负，∴丁队的比赛成绩是全胜，即3胜．故答案为：全胜．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．16．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先由正弦定理，有=，进而根据双曲线的几何性质，可得|CB|=2c=4，|AB|﹣|CA|=2a=6，代入，即可得到答案．【解答】解：根据正弦定理：在△ABC中，有=，又由题意C、B分别是双曲线的左、右焦点，则|CB|=2c=10，且△ABC的顶点A在双曲线的右支上，又可得|AB|﹣|AC|=2a=6，则===．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）通过a1+a3=8，a2+a4=12与等差中项的性质可知a2=4，a3=6，进而可知公差及首项，利用等差数列的求和公式计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）裂项可知=﹣，进而并项相加并与已知条件比较即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵a1+a3=8，a2+a4=12，∴a2=4，a3=6，∴等差数列{a n}的公差d=a3﹣a2=6﹣4=2，首项a1=a2﹣d=4﹣2=2，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列，于是其前n项和为S n=2•=n（n+1）；（Ⅱ）由（I）可知，==﹣，∴++…+=1﹣+﹣+…+﹣=，又∵++…+=，∴=，即n=999．18．某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅，其中A户型住宅每套面积为100平方米，B户型住宅每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，表是这24套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A户型 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9 3.2 2.9 3.1 3.4 3.3 3.4 3.5 B户型 3.6 3.7 3.7 3.9 3.8． 3.9 4.2 4.1 4.1 4.2 4.3 4.5 （Ⅰ）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；（Ⅱ）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会．小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格．为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由表格数据，能作出茎叶图，并能求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数．（Ⅱ）若选择A户型抽签，求出成功购房的概率；若选择B户型抽签，求出成功购房的概率．由此得到该员工选择购买A户型住房的概率较大．【解答】解：（Ⅰ）由表格数据，作出茎叶图：A户型销售价格的中位数是=3.0，B户型销售价格的中位数是=4.0．（Ⅱ）若选择A户型抽签，则每平方米均价不得高于3.2万元，有能力购买其中的8套住房，∴成功购房的概率是=，若选择B户型抽签，每平方米均价不得高于4.0万元，有能力购买其中的6套住房，成功购房的概率是，∵，∴该员工选择购买A户型住房的概率较大．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取BC中点M，连结AM，由AB=AC得AM⊥BC，由菱形和等边三角形的性质得出BC⊥B1M，故BC⊥平面AB1M，故而AB1⊥BC；（II）利用勾股定理的逆定理得出AM⊥B1M，从而B1M⊥平面ABC，故而B1M为棱柱的高，根据棱柱的体积列方程解出AB．【解答】解：（I）取BC中点M，连结AM，B1M，∵AB=AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，∵侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°，∴B1M⊥BC，又AM⊂平面AB1M，B1M⊂平面AB1M，AM∩B1M=M，∴BC⊥平面AB1M，∵AB1⊂平面AB1M，∴BC⊥AB1．（II）设AB=x，则AC=x，BC=x，∵M是BC的中点，∴AM=，BB1=，B1M=，又∵AB1=BB1，∴AB1=，∴AB12=B1M2+AM2，∴B1M⊥AM．由（I）知B1M⊥BC，AM⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，AM∩BC=M，∴B1M⊥平面ABC，∴V==，∴x=2，即AB=2．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，经过点A（0，1），其左、右焦点分别为F1、F2，且•=0．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（﹣，0）的直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，且与圆O：x2+y2=r2（r ＞0）相切于点Q，求r的值及△OPQ的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），由椭圆E经过点A（0，1），•=0，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+），联立，得（2k2+1）x2+4x+6k2﹣2=0，由此利用根的判别式、直线与圆相切、两点间距离公式，结合已知条件能求出r的值及△OPQ的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，其左、右焦点分别为F1、F2，∴设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），∵椭圆E经过点A（0，1），∴b=1，∵•=0，且AF1=AF2，∴b=c=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆E的方程是．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+），联立，整理，得（2k2+1）x2+4x+6k2﹣2=0，①∴，∵直线l与椭圆相切，∴△=0，解得k=±1，代入方程①中，得到，解得x=﹣，代入直线l的方程中，得y=，即P（﹣，），又∵直线l与圆x2+y2=r2相切，∴r===，∵|OP|==，∴|PQ|===，S△OPA=．21．已知函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立，求m+n的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，建立方程关系即可求a，b的值；（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性，极值和最值与导数的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=e x+a，∵函数f（x）在点（0，1）处的切线与x轴平行，∴f′（0）=0，即f′（0）=e0+a=1+a=0，则a=﹣1，又f（0）=1+b=1，则b=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x﹣x，则不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立等价为e x≥mx+n，即e x﹣mx﹣n≥0，设g（x）=e x﹣mx﹣n，则g′（x）=e x﹣m，当m≤0时，g′（x）＞0恒成立，则g（x）在R上递增，没有最小值，故不成立，当m＞0时，由g′（x）=0得x=lnm，当g′（x）＜0时，得x＜lnm，当g′（x）＞0时，得x＞lnm，即当x=lnm时，函数取得最小值g（lnm）=e lnm﹣mlnm﹣n=m﹣mlnm﹣n≥0，即m﹣mlnm≥n，2m﹣mlnm≥m+n，令h（m）=2m﹣mlnm，则h′（m）=1﹣lnm，令h′（m）=0得m=e，当0＜m＜e时，h（m）单调递增，当m＞e时，h（m）单调递减，故当m=e时，h（m）取得最大值h（e）=e，∴e≥m+n，故m+n的最大值为e．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连结EF，BE，说明AB是⊙O是直径，推出∠ABE=∠C，然后证明C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）利用切割线定理求解BD，利用C、E、F、D四点共圆，得到AE•AC=AF•AD，然后求解AE．【解答】（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径，所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，∴C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，所以，BC是圆的切线，DB2=DF•DA=4，即BD=2，所以，AB==2，因为D为BC的中点，所以BC=4，AC==2，因为C、E、F、D四点共圆，所以AE•AC=AF•AD，即2AE=12，即AE=．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C1：x2+y2=4，C2：（x+）2+（y﹣1）2=4，C3：（θ为参数）有一公共点P（0，2）．（Ⅰ）分别求C1与C2，C1与C3异于点P的公共点M、N的直角坐标；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C 的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出圆C3的普通方程，解方程组得出交点坐标；（2）求出过三点的圆的普通方程，转化为极坐标方程．【解答】解：（I）圆C3的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4．联立方程组，解得或．联立方程组，解得或．∴M（﹣，﹣1），N（，﹣1）．（II）M，N的中垂线方程为x=0，故过点M，N，O三点的圆圆心在y轴上，设圆的半径为r，则（r﹣1）2+=r2，解得r=2．∴圆心坐标为（0，﹣2）．∴经过三点O、M、N的圆C的直角坐标方程为x2+（y+2）2=4．即x2+y2+4y=0．∴经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ=0，即ρ=﹣4sinθ．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为5，求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8，即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，若x＜﹣1，则有﹣x﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求．若x＞3，则有x+1+x﹣3≥x+8，求得x≥10．综上可得，x的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|+|x﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，∴函数f（x）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，解得a=2，或a=﹣8．2020年7月30日第21页（共21页）。
2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(文科)试题及参考答案与评分标准
{bn} n
Tn
1 (n 1)an 1 nan 4(n 1) (n N )
2a2 a1 8
1
3a3 2a2 12
4a4 3a3 16
17 2 1
nan (n 1)an 1 4n (n 2)
2
nan a1 8 12 +4n
3
(4+4n)n
nan =4+8 12 +4n= 2
4
an =2n 2(n 2)
ac bc ab abc
(a b ab)c ab
(a b ab) 1 a b ab
(b 1)(a 1) (1 b) (1 c) 3 8
3
27
ac bc ab abc 8 . 27
abc1
10
3
a, b, c
abc1
c 1a b 1a 0 1b 0 1c 0
AD F
BCE CE
B CE
B CE
AECF
BD .
B D / / AECF
B AD F
AB CD
ADF AD F
20
1 2
12 xOy
C. C
A(2,4) C D,B
F (2,0)
y
, FP
P
l
C
M , B AM
Bx
D
NM
MN C
21
12
f x x 1 ln x ax2 1 a x 1.
a1 fx
B (0, 2)
C (1, 2)
D (1, 4)
4
13 sin(
)1
sin 2
43
14 ABC
ABC
b2
ABC
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷1（含答案解析）
2020年⼴东省深圳市⾼考数学⼀模试卷1（含答案解析）2020年⼴东省深圳市⾼考数学⼀模试卷1⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x<4}，B={x|x≥?1}，则A∩B=()A. {x|0≤x<4}B. {1,2，3}C. {0,1，2，3，4}D. {0,1，2，3}2.已知复数z=3+2i，则|2?3iz|=()A. 1B. √13C. √1313D. 133.已知⾓α的顶点与原点O重合，始边与x轴的⾮负半轴重合，它的终边过点P(?35,45 )，则sin(α+π)=()A. ?35B. 35C. ?45D. 454.设x，y满⾜约束条件{x+y?2≤0x?2y+1≤02x?y+2≥0，则z=3x+y的最⼤值为()A. ?3B. 4C. 2D. 55.函数f(x)是R上的偶函数且在(?∞,0)上是增函数，⼜f(3)=1，则不等式f(x?1)<1的解集为()A. {x|x<2}B. {x|?2C. {x|x4}D. {x|x>3}6.如图所⽰，⽹络纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该⼏何体的体积为()A. 2B. 83C. 6D. 87.已知圆锥的母线长为5，⾼为4，则圆锥的表⾯积为()A. 30πB. 18πC. 24πD. 27π8.如图，三棱锥A?BCD中，AB⊥底⾯BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为()A. √2B. √3C. 2D. √59.关于函数f(x)=2sin(2x+π6)，下列说法正确的是()A. 若x1,x2是函数f(x)的零点，则x1?x2是π的整数倍B. 函数f(x)的图象关于直线x=?π12对称C. 函数f(x)的图象与函数y=2cos(2x?π3)的图象相同D. 函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π6个单位长度得到10.在长⽅体ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=√2，则异⾯直线AD1与DB1所成⾓的余弦值为()A. √36B. √1515C. ?√1515D. ?√3611.已知F1，F2是椭圆与x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，且满⾜|AF1|=2|BF1|，|AB|=|BF2|，则该椭圆的离⼼率是()A. 12B. √33C. √32D. √5312.函数f(x)=2ln x?x的最⼤值为()A. ?1B. 2ln2?2C. 1D. 4ln2?4⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.曲线y=xe x?1在点(1,1)处切线的斜率等于__________．14.已知向量a?，b? 满⾜|a?+b? |=|a??b? |，则a??b? =_______．15.已知F1，F2是双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，A，B是双曲线的左右顶点，M是以F1，F2为直径的圆与双曲线的渐近线的⼀个交点，若∠AMB=45°，则该双曲线的离⼼率是______．16.在△ABC中，D为边BC上⼀点，BD=12DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的⾯积为3?√3，则∠BAC=_______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.等差数列{a n}中，a3=1,a11=9,(1)求该等差数列的通项公式a n(2)求该等差数列的前n项和S n18.某产品的三个质量指标分别为x，y，z，⽤综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4，则该产品为⼀等品.先从⼀批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利⽤上表提供的样本数据估计该批产品的⼀等品率．(2)在该样本的⼀等品中，随机抽取2件产品，①⽤产品编号列出所有可能的结果;②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发⽣的概率．19.如图，四棱锥P?ABCD的底⾯ABCD是平⾏四边形，PA⊥底⾯ABCD，∠PCD=90°，PA=AB=AC=2(I)求证：AC⊥CD；(Ⅱ)点E在棱PC的中点，求点B到平⾯EAD的距离．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线y=x?1与C交于A，B两点，且|AB|=8．(1)求p的值；(2)如图，过原点O的直线l与抛物线C交于点M，与直线x=?1交于点H，过点H作y轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线MN过定点．21. 已知函数f(x)=e x ?1?x ?ax 2，当x ≥0时，f(x)≥0恒成⽴，求实数a 的取值范围．22. 在直⾓坐标系xOy 中，直线l 的参数⽅程为{x =2?3ty =√3t,(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C 1的极坐标⽅程为ρ=4cosθ．(1)求l 的极坐标⽅程和C 1的直⾓坐标⽅程；(2)若曲线C 2的极坐标⽅程为θ=π6，C 2与l 的交点为A ，与C 1异于极点的交点为B ，求|AB|．23. 设f(x)=|2x ?1|+|x +1|．(1)解不等式f(x)≤3；(2)若不等式m|x|≤f(x)恒成⽴，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】可解出集合A ，然后进⾏交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．【解答】解：A ={0,1，2，3}；∴A ∩B ={0,1，2，3}．故选D ．2.答案：A解析：【分析】把复数z =3+2i 代⼊|2?3i z|，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．【解答】解：∵z =3+2i ，∴|2?3i z|=|2?3i 3+2i |=|2?3i||3+2i|=1．故选：A ．3.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的定义，求出⾓的终边上的点到原点的距离，利⽤任意⾓的三⾓函数公式求出α的三⾓函数值．【解答】解：∵α的顶点在原点，始边与x 轴的⾮负半轴重合，⼜终边过点(?35,45)，∴|OP|=√(?35)2+(45)2=1，，，故选C ．4.答案：B解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想⽅法，是基础题．由约束条件作出可⾏域，化⽬标函数为直线⽅程的斜截式，数形结合得到最优解，代⼊最优解的坐标得答案．【解答】解：由约束条件{x +y ?2≤0x ?2y +1≤02x ?y +2≥0作出可⾏域如图，由{x +y ?2=0x ?2y +1=0，解得{x =1y =1，即B(1,1)，化⽬标函数z =3x +y 为y =?3x +z ，由图可知，当直线y =?3x +z 过B(1,1)时，直线在y 轴上的截距最⼤，此时z 有最⼤值为3×1+1=4．故选：B ．5.答案：C解析：解：函数f(x)是R 上的偶函数且在(?∞,0)上是增函数，可得f(x)=f(|x|)，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，不等式f(x ?1)<1=f(3)，即为f(|x ?1|)3，即为x ?1>3或x ?1解得x>4或x即解集为{x|x>4或x故选：C．由题意可得f(x)=f(|x|)，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，不等式f(x?1)<1=f(3)，可得|x?1|> 3，解不等式即可得到所求解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运⽤：解不等式，运⽤偶函数的性质：f(x)=f(|x|)，以及转化思想是解题的关键，属于中档题．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查空间⼏何体的三视图及四棱锥体积的计算，难度⼀般，属于中档题．将三视图还原成⼏何体，再根据三棱锥体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知：该四棱锥的底⾯为上底和下底分别为1和2且⾼为2的直⾓梯形，有⼀条棱和底⾯垂直，⼏何体的⾼为2，故体积为V=13×(1+2)×22×2=2，故选：A．7.答案：C解析：【分析】本题考查的知识点是圆锥的表⾯积，熟练掌握圆锥的⼏何特征是解答的关键．由题意得到圆锥的底⾯半径为3，代⼊圆锥的表⾯积公式求解．解：由题意知圆锥的底⾯半径为3，则圆锥的表⾯积为π×3×5+π×32=24π．8.答案：B解析：|AE|2=|AC|2+|CE|2=|AB|2+|BC|2+|CE|2=1+1+1=3，故|AE|=√3．9.答案：C解析：本题考查三⾓函数的图像与性质，属中档题．【解答】解：由题意知函数y =f (x )的图象与x 轴的相邻两交点间的距离为π2，故A 错误；函数y =f (x )的图象关于点(?π12,0)对称，故B 错误；函数f (x )=2sin (2x +π6)=2sin [(2x ?π3)+π2]=2cos (2x ?π3)，故C 正确；函数f (x )的图象可由函数y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度得到，故D 错误，故选C ．10.答案：B解析：【分析】本题考查异⾯直线所成⾓的余弦值的求法，考查空间中线线位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，属于基础题．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出异⾯直线AD 1与DB 1所成⾓的余弦值．【解答】解：在长⽅体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=√2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建⽴空间直⾓坐标系，则A(2,0，0)，D 1(0,0，√2)，D(0,0，0)，B 1(2,2，√2)， AD 1 =(?2,0，√2)，DB 1 =(2,2，√2)，设异⾯直线AD 1与DB 1所成⾓为θ，则cosθ=|AD1???????? ?DB 1???????? ||AD 1|?|DB 1|=√6?√10=√1515．∴异⾯直线AD 1与DB 1所成⾓的余弦值为√1515．故选：B ．11.答案：B本题考查椭圆的简单性质的应⽤，考查数形结合以及转化思想的应⽤，属于中档题利⽤已知条件，画出图形，通过三⾓形的边长关系，结合余弦定理，求解椭圆的离⼼率即可．【解答】解：作出图形，如下：由题意可得：|F1B|+|BF2|=2a，|AB|=|BF2|，可得|AF1|=a，|AF2|=a，|AB|=|BF2|=32a，|F1F2|=2c，在△ABF2中，由余弦定理得cos∠BAF2=94a2+a2?94a22×32a×a=13，在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠BAF2=a2+a2?4c22×a×a =1?2(ca)2，所以13=1?2(ca)2，所以e=ca=√33．故选：B．12.答案：B解析：【分析】本题考查利⽤导数研究函数的单调性，利⽤导数求函数的最值，依题意，f′,(x)=2x ?1=2?xx，(x>0)，所以x∈(0,2)时，f′(x)>0，函数f(x)递增，x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)递减，即可求得结果．【解答】解：f′,(x)=2x ?1=2?xx，(x>0)，所以x∈(0,2)时，f′(x)>0，函数f(x)递增，x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)递减，所以函数f(x)=2ln x?x的最⼤值为f(2)=2ln2?2，故选B．13.答案：2解析：由y =xe x?1可得：y′=&e x?1+xe x?1，所以y′|x=1=e 0+e0=2，所以曲线y =xe x?1在点(1,1)处切线的斜率k =2．14.答案：0解析：【分析】本题考查了向量的模、向量的数量积．只需对模两边平⽅即可．【解答】解：由|a ? +b ? |=|a ? ?b ? |，得a ? 2+b ? 2+2a ? ?b ? =a ? 2+b ? 22a b ，∴a ? ?b ? =0．故答案为0．15.答案：√5解析：解：双曲线C ：x 2a 2y 2b 2=1(a >0,b >0)的⼀条渐近线⽅程为：bx ?ay =0，以F 1，F 2为直径的圆：x 2+y 2=c 2，可得{bx ?ay =0x 2+y 2=c 2，不妨设M(a,b)，可知MB ⊥x 轴．∠AMB =45°，所以∠MAB =45°，∴k MA =b?0a?(?a)=1，可得b =2a ，可得c 2?a 2=4a 2，解得e =√5．故答案为：√5．利⽤双曲线的渐近线与圆联⽴⽅程，求出M 的坐标，通过∠AMB =45°，得到直线的斜率关系，转化求解双曲线的离⼼率即可．本题考查双曲线的简单性质的应⽤，考查计算能⼒转化思想的应⽤．16.答案：60°解析：【分析】本题主要考查解三⾓形中的边⾓关系及其⾯积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能⼒以及相应的运算能⼒．先根据三⾓形的⾯积公式利⽤△ADC 的⾯积求得DC ，进⽽根据三⾓形ABC 的⾯积求得BD 和BC ，进⽽根据余弦定理求得AB.最后在三⾓形ABC 中利⽤余弦定理求得cos∠BAC ，求得∠BAC 的值．【解答】解：由△ADC 的⾯积为3?√3可得S △ADC =12?AD ?DC ?sin60°=√32DC =3?√3 S △ABC=32(3?√3)=12AB ?AC ?sin∠BAC 解得DC =2√3?2，则BD =√3?1,BC =3√3?3．AB 2=AD 2+BD 2?2AD ?BD ?cos120°=4+(√3?1)2+2(√3?1)=6， AB =√6，AC 2=AD 2+CD 2?2AD ?CD ?cos60°=4+4(√3?1)2?4(√3?1)=24?12√3AC=√6(√3?1)则cos∠BAC =BA 2+AC 2?BC 22AB?AC=√3?9(4?2√3)26?6(3?1)=√3?612(3?1)=12．故∠BAC =60°．故答案为60°．17.答案：解：(1)∵a 11=a 3+8d ，∴d =1∴a n =a 3+(n ?3)d =n ?2， (2)∵a n =n ?2，∴a 1=?1，∴S n =(a 1+a n )n2=n (n?3)2．解析：本题考查等差数列： (1)考查等差数列的通项公式； (2)考查等差数列的前n 项和．18.答案：解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的⼀等品率为610，从⽽可估计该批产品的⼀等品率为0.6．(2)?①在该样本的⼀等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为： {A 1,A 2}，{A 1,A 4}，{A 1,A 5}，{A 1,A 7}，{A 1,A 9}，{A 2,A 4}{,A 2,A 5}，{A 2,A 7}，{A 2,A 9}， {A 4,A 5}，{A 4,A 7}，{A 4,A 9}，{A 5,A 7}，{A 5,A 9}，{A 7,A 9}，共15种．②在该样本的⼀等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为：A1，A2，A5，A7，则事件B发⽣的可能结果为：{A1,A2}，{A1,A5}，{A1,A7}，{A2,A5}，{A2,A7}，{A5,A7}，共6种．所以P(B)=615=25．解析：本题考查了随机事件，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题．(1)⽤综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表⽰，则样本的⼀等品率可求；(2)①直接⽤列举法列出在该样品的⼀等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；②列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利⽤古典概型概率计算公式求解．19.答案：(Ⅰ)证明：因为PA⊥底⾯ABCD，所以PA⊥CD，因为∠PCD=90°，所以PC⊥CD，所以CD⊥平⾯PAC，所以CD⊥AC.…(4分)(Ⅱ)解：因为PA=AB=AC=2，E为PC的中点，所以AE⊥PC，AE=√2．由(Ⅰ)知AE⊥CD，所以AE⊥平⾯PCD．作CF⊥DE，交DE于点F，则CF⊥AE，则CF⊥平⾯EAD．因为BC//AD，所以点B与点C到平⾯EAD的距离相等，CF即为点C到平⾯EAD的距离．…(8分)在Rt△ECD中，CF=CE×CDDE =2√33．所以，点B到平⾯EAD的距离为2√3.…(12分)解析：(I)证明CD⊥平⾯PAC，可得AC⊥CD；(Ⅱ)作CF⊥DE，交DE于点F，则CF⊥AE，则CF⊥平⾯EAD.因为BC//AD，所以点B与点C到平⾯EAD的距离相等，CF即为点C到平⾯EAD的距离，利⽤等⾯积可得结论．本题考查线⾯垂直的性质与判定，考查点B到平⾯EAD的距离，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属于中档题．20.答案：(1)解：由{y 2=2pxy=x?1,消x可得y2?2py?2p=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，∴y1+y2=2p，y1y2=?2p，∴弦长|AB|=√12+12√(y1+y2)2?4y1y2 =√2√4p2+8p=8，解得p=2或p=?4(舍去)，∴p=2；(2)证明：由(1)可得y2=4x，设M(14y02,y0)，∴直线OM的⽅程y=4y0x，当x=?1时，y H=?4y，则y H=y N=?4y，代⼊抛物线⽅程y2=4x，可得x N=4y，∴N(4y02,?4y0)，∴直线MN的斜率k=y0+4y04y02=4y0y02?4，直线MN的⽅程为y?y0=4y0y02?4(x?14y02)，整理可得y=4y0y02?4(x?1)，故直线MN过点(1,0)．解析：本题考查抛物线的标准⽅程和直线与抛物线的位置关系，属中档题．(1)根据弦长公式即可求出p的值；(2)由(1)可得y2=4x，设M(14y02,y0)，根据题意求出点N的坐标，即可表⽰出直线MN的⽅程，即可求直线过定点．21.答案：解：f′(x)=e x?1?2ax，令?(x)=e x?1?2ax，则?′(x)=e x?2a．1)当2a≤1时，在[0,+∞)上，?′(x)≥0，?(x)递增，?(x)≥?(0)，即f′(x)≥f′(0)=0，∴f(x)在[0,+∞)为增函数，∴f(x)≥f(0)=0，∴a ≤12时满⾜条件； 2)当2a >1时，令?′(x)=0，解得x =ln2a ，当x ∈[0,ln2a)上，?′(x)<0，?(x)单调递减，∴x ∈(0,ln2a)时，有?(x)∴f(x)在区间(0,ln2a)为减函数，∴f(x)2]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应⽤以及分类讨论思想，转化思想，属难题．求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，进⽽得出实数a 的取值范围．22.答案：解：(1)直线l 的参数⽅程为{x =2?3t,(t 为参数)，转换为直⾓坐标⽅程为：x +√3y ?2=0．设代⼊x +√3y ?2=0，整理得直线l 的极坐标⽅程为，曲线C 1的极坐标⽅程为ρ=4cosθ．转换为直⾓坐标⽅程为：(x ?2)2+y 2=4，(2)曲线C 2的极坐标⽅程为θ=π6，曲线C 2与l 的交点为A ，则：ρA cos π6+√3ρA sin π6?2=0，解得：ρA =2√33，与C 1异于极点的交点为B ，所以：ρB =4cos π6=2√3，则：|AB|=|ρA ?ρB |=4√33．解析：本题考查的知识要点：参数⽅程直⾓坐标⽅程和极坐标⽅程之间的转换，三⾓函数关系式的恒等变换，直线⽅程的求法及应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒．属于基础题型． (1)直接利⽤转换关系，把参数⽅程直⾓坐标⽅程和极坐标⽅程之间进⾏转换，(2)利⽤线的关系建⽴⽅程组，求出极径，进⼀步求出结果．23.答案：解：(1)当x当?1≤x≤12时，f(x)=?(2x?1)+(x+1)=?x+2≤3，解得x≥?1，故?1≤x≤12；当x>12时，f(x)=(2x?1)+(x+1)=3x≤3，解得x≤1，故12综上所述，满⾜f(x)≤3的解集为{x|?1≤x≤1}．(2)当x=0时，可知对于?m∈R，不等式均成⽴；当x≠0时，由已知可得：m≤f(x)|x|=|2x?1|+|x+1||x|=|2?1x|+|1+1x|≤|(2?1x)+(1+1x)|=3，当x≤?1或x≥12时，等号成⽴，综上所述，使得不等式恒成⽴的m的取值范围为m≤3．解析：(1)通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；(2)问题转化为m≤f(x)|x|，再根据绝对值的性质求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，以及分类讨论思想，是⼀道中档题．。
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绝密★启用前 试卷类型：（A ）
深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试
数 学（文科） 2020．3
本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{1 2 3 4 5}A =，，，，
，{0 2 4 6}B =，，，，则集合A B I 的子集共有
3．已知向量(1, )OA k =-u u u r ，(1, 2)OB =u u u r ，(2, 0)OC k =+u u u r
，且实数0k >,若A 、B 、C 三
点共线，则k = 4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是)Ν,3(21*--∈≥+=n n a a a n n n ，其中11=a ，
12=a .若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为
5．设2
3
.0=a ，3.0)2(=b ，2log 3.0=c ，则下列正确的是
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
A ．2
B
C ．1
D
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
A ．
3
1 B ．
100
33 C ．
2
1 D ．
100
67 A ．c b a >> B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为
7．若双曲线
22
22
1
x y
a b
-=（0
a>，0
b>）的焦距为25，且渐近线经过点(1,2)
-，则此双曲线的方程为
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为
9．已知函数
π
()sin()(0)
3
f x A x b A
=++>的最大值、
最小值分别为3和1
-，关于函数()
f x有如下四个结论：
①2
A=，1
b=；
②函数()
f x的图象C关于直线
5π
6
x=-对称；
③函数()
f x的图象C关于点
2π
(,0)
3
对称；
④函数()
f x在区间
π5π
(,)
66
内是减函数．
A．2和6B．4和6C．2和7D．4和7
A．
2
21
4
x
y
-=B．
2
21
4
y
x-=C．
22
1
416
x y
-=D．
22
1
164
x y
-= A．12B．16
C．24D．32
其中，正确的结论个数是 10
．函数()cos )f x x x =⋅的图象大致为
11．已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为 12．函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，()f x '为其导函数，若()()(1)x
xf x f x x e '+=-，
且(2)0f =，则()0f x >的解集为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分． 13．若π
1
sin()43
α+=
，则sin2α=________. 14．在ABC ∆中，角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )a b A B +-=()sin a c C -， 2b =，则ABC ∆的外接圆面积为________.
15
的球内，则该圆柱的最大体积为________.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
A
B ．
25
C ．
45
D
A ．(0, 1)
B ．(0, 2)
C ．(1, 2)
D ．(1, 4)
A .
16. 设椭圆C :)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，其焦距为c 2，O 为坐
标原点，点P 满足a OP 2=,点A 是椭圆C 上的动点，且2113F F AF PA ≤+恒成立，则椭圆C 离心率的取值范围是________.
三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
第17 ～2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）
已知数列，14a =，1(1)4(1)n n n a na n ++-=+()n *
∈N .
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 前n 项和为n T .
18．（本小题满分12分）
某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量i y 和月销售单价i
x (1,2,3,,6)i =L 数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回
归直线方程分别为：ˆ4105y
x =-+，ˆ453y x =+和1043ˆ+-=x y ，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
（2）若用c bx ax y ++=2模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为
25.90875.0375.0ˆ2++-=x x y
，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R 分别为9702.0和9524.0，请用2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好；
（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01.0）
参考数据：91.806547≈.
{}n a
19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为长方形，24AB BC ==，E 、F 分别为AB 、
CD 的中点，将ADF ∆沿AF 折到AD F '∆的位置，将BCE ∆沿CE 折到B CE '∆的位置，使得平面AD F '⊥底面
AECF ，平面B CE '⊥底面AECF ，连接B D ''.
（1）求证：B D ''//平面AECF ； （2）求三棱锥B 'AD F '-的体积.
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，过点)0,2(F 的动圆恒与y 轴相切,FP 为该圆的直径，设点P 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点)4,2(A 的任意直线l 与曲线C 交于点M ,B 为AM 的中点，过点B 作x 轴的平行线交曲线C 于点D ,B 关于点D 的对称点为N ，除M 以外，直线MN 与C 是否有其它公共点？说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数()()()21ln 1 1.f x x x ax a x =-++-- （1）当1a =-时，判断函数的单调性； （2）讨论()f x 零点的个数.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,
sin ,
cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜
角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
θρsin 4=．
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若
PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明： （1）
111
9a b c
++≥； （2）8.27
ac bc ab abc ++-≤。