自旋和角动量

e e L (SI)； M L = − L （CGS） (6.1.7) 2m 2mc e e 因而轨道运动的回转磁比率是 − (SI),或 − (CGS )。自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率 2m 2mc
ML = −
的两倍。 自旋是电子的一种固有的属性。千万不要认为，电子自旋是因为电子在作机械的自转引起。可 以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为 2.8 × 10-13cm，要想使 它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它的表面旋转速度将超过光速。这当然是不可能的。(请 读者自己证明)电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。电子自旋是电子的内禀属 性。电子的自旋磁矩是内禀磁矩。事实上，随着人们认识的深入，越来越发现对于某些粒子，除了 时空自由度还有其他的自由度。 例如质子和中子， 除时空、 自旋外， 还有同位旋。 夸克则还具有 “味” 和“色”等自由度。不过，自旋自由度是除时空自由度外的第一个新发现。值得指出的是，电子自 旋角动量与轨道角动量不同， 电子自旋的取值是± h / 2 ,而不是 h 的整数倍。 电子自旋的 g 因子 | g s | 是 2,轨道的 | g l | 为 1。当然，自然界中也存在着自旋取 h 整数值的粒子，我们在全同粒子一章中再 作讨论。
第六章
自旋和角动量
非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度 也和实验结果相符。但是，更进一步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂， 光谱线的精细结构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于以前的理论只涉及轨道角动量。 新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。 在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。本章只是根据电子具有自 旋的实验事实，在薛定谔方程中硬加入自旋。本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对 论量子力学中将证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程——狄拉克方程中。电子轨道 角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守恒量。 本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，建立包含自旋在内的非相对论量子力学 方程——泡利方程，然后讨论角动量的藕合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构，此 外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象做些探讨。
(6.2.10)
σ x 2 = σ y 2 = σ z 2 =1
(6.2.11)
ˆ 和B ˆ 的反对易关系为 定义任何算符 A ˆ, B ˆB ˆ ˆ] = A ˆ+B ˆA [A +
由(6.2.10)式得 (6.2.12)
ˆ x ,σ ˆ y ] + = σ xσ y + σ y σ x [σ
=
§6. 1 电子自旋
施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一。由 K 源射出的处 于 s 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片 PP 上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂 成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转。由于 这是处于 s 态的氢原子，轨道角动量为零，s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新 的磁矩。另外，由于实验上发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子 化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为 M ，则它在沿 z 方向的外磁场中的势能为 U= − M ⋅ B = − MB cos θ (6.1.1)
式中(SI)表示国际单位，CGS 表示 CGSE 单位。由于在许多量子力学参考书及文献中常用 CGSE 单
位，为方便读者，我们主要用 CGSE 单位但将 SI 单位的结果也写在这里。(6.1.4)式中，电子带的电 荷是-e,质量是 m。由于 s 取值量子化，因此， M S 在空间任意方向上的投影也只能取两个值
M sz = ±
eh = ± M B （SI） 或 2m
M 2mc
(6.1.5)
MB 是玻尔磁子。由(6.1.5)式可见，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是
M sz M e e =− （SI） ； sz = − Sz m Sz mc
（CGS）
(6.1.6）
这个比值称为电子自旋的回转磁比率。另外，由于轨道角动量和轨道磁矩满足
ˆ z 的矩阵是 应对角矩阵，且矩阵对角线上的元素就是它的本征值。由于(6.2.7)式， σ
σz = 0 − 1
1
0
(6.2.17)
ˆ x 、σ ˆ y 在σ ˆ x 与σ ˆ x 与σ ˆ y 也只能是 2×2 矩阵，令 ˆ z 表象的矩阵形式，注意 σ ˆ z 反对易， σ 为求出 σ
同理，
1 1 ˆ y (σ ˆ yσ ˆz −σ ˆ zσ ˆy)=0 ˆ yσ ˆz −σ ˆ zσ ˆ y )σ ˆy + σ (σ 2i 2i ˆ y ,σ ˆ z ]+ = 0 [σ ˆ z ,σ ˆ x ]+ = 0 [σ
(6.2.13)
(6.2.14) (6.2.15)
ˆ x 、σ ˆ y 、σ ˆ z 之间相互反对易。 σ
b d
(6.2.19)
a ∗ b
0 a = 0, d = 0, σ x = ∗ b
又因 σ x = 1 , 故有
2
b 0
（6.2.20）
σx
即 b =1， b = e ,若取 α = 0 ，则
2
iα
2
b 2 = 0
0 2 =1 b
(6.2.21)
ˆ ×J ˆ = ihJ ˆ J
(6.2.1)
在量子力学中，千万不要有一种误解，即角动量就是 r × p ， r × p 只是轨道角动量，是角动量的一 种，它也满足(6.2.1)式。在量子力学中，角动量的定义是通过对易关系给出的。按定义，凡满足对易 关系(6.2.1)式的算符称为角动量。自旋既然是角动量，自旋算符必须满足
2 2 2
(6.2.4)
S 2 = Sx + Sy + Sz =
2 2 2
3 2 h 4
(6.2.5)
若将任何角动量平方算符的本征值记为 J 2 = j ( j + 1)h 2 ， j 称为角动量量子数，则自旋角动量量子 数 s 满足
S 2 = s ( s + 1)h 2 =
ˆ ，令 为方便起见，引入算符 σ
(6.2.25)
表示式(6.2.24)的 σ x 、 σ y 、 σ z 称为泡利矩阵。
ˆ 算符对易关系(6.2.9)式，在 σ z 表象中给出的一种可能的矩阵。 应该指出，泡利矩阵只是满足 σ
它不是唯一的。在(6.2.21)式中， b = e 泡利矩阵固定了 α = 0 ，这只是一种最方便的取法，而不是
σx = 1 0
利用(6.2.17)式、(6.2.22)及 (6.2.10)式,可求得 σ y 为
0 1
(6.2.22)
σy =
1 (σ z σ x − σ xσ z ) 2i
=
综合上述,最后得出
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 − i − = 2i 0 1 1 0 1 0 0 1 i 0
3 2 h , 4
s = 1/ 2
(6.2.6)
ˆ = hσ ˆ S 2
即
(6.2.7)
ˆ = hσ ˆ = hσ ˆ = hσ ˆx ，S ˆy ，S ˆz S x y z 2 2 2 ˆ 满足的对易关系是 由公式(6.2.2)及(6.2.7)式可得 σ ˆ ×σ ˆ = 2iσ ˆ σ
写成分量形式是
§6. 2 电子的自旋算符和自旋函数
电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色: (1)它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。 (2)它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当 h → 0 时，自旋效应消失，这可 以从(6.1.3)式看出。 (3)它是角动量， 满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向的投影只 取± h / 2 两个值。 根据电子自旋的上述特点，可以找出自旋算符的矩阵表示，以及自旋算符的本征函数。首先， 自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。其次，既然是算符，它的性质 就应该由算符所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量算符 J 满足的对易关系 是
ˆ ×S ˆ = ihS ˆ S
写成分量形式是
(6.2.2)
ˆ S ˆ ˆ ˆ ˆ S x y − S y S x = ihS z ˆ S ˆ ˆ ˆ ˆ S y z − S z S y = ihS x ˆ S ˆ ˆ ˆ ˆ S z x − S x S z = ihS y
(6.2.3)
ˆ 与S ˆ 对易（或称 σ ˆ x 、σ ˆ y 、σ ˆ 与σ ˆ z 算符的矩阵形式。由于 S ˆz 对 现在来找在特定表象下，σ z
2 2
ˆ 的矩阵必然是 易） ，在它们的共同表象中， S z
Sz =
h 1 0 2 0 − 1
(6.2.16)
ˆ 只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是 2×2 的矩阵，而且在 S ˆ 自身表象中， S ˆ 对 这是因为 S z z z
iα
ˆ z ，只固定了 z 轴，在 x-y 平面中没有确定,还具有相角不确定性。角 唯一的取法。事实上，只取定 σ
度 α 是相角不确定性的反映。泡利矩阵选定了 α = 0 ，是一种特定的选择。 另外， 还应该指出， 泡利矩阵非常有用。 因为任何 2×2 的厄米矩阵都可以表示为单位矩阵及 σ x 、
σ y 、 σ z 三个矩阵的线性组合。这些矩阵在处理自旋问题以及相对论性的狄拉克方程中特别有用。
(1) 每个电子都具有自旋角动量 S ，S 在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间的任意 方向取为 z 方向，则
S z =± h /2
(2) 每个电子均具有自旋磁矩 M S ，它与自旋角动量之间的关系是
(6.1.3)
MS =−
e S (SI) m
或
M S =-
e S (CGS) mc
(6.1.4.)
ˆ 在空间中任意方向的投影只能取± h / 2 两个值。因此，任意选定 x、y、z 坐标后， S ˆ 、S ˆ 、 由于 S x y
ˆ 三个算符的本征值都是± h / 2 ； S 2 、 S 2 、 S 2 的值都是 h 2 / 4 ，即 S z x y z Sx = Sy = Sz = h2 / 4
σx = c d
∗
a
b
(6.2.18)
ˆ 厄米，因此 σ ˆ x 也厄米，在(6.2.18)式中必有 c = b ,再由 a、b、c、d 是待求的矩阵元。由于 S x
σ xσ z + σ z σ x = ∗ b

= 得
a
b 1 0 1 0 a + ∗ d 0 − 1 0 − 1 b − b a + ∗ − d − b b =0 − d
(6.2.23)
σx = , σ y = i 1 0
相应地
0 1
0 − i 1 0 , σz = 0 0 − 1
(6.2.24)
Sx =
h 0 1 h 0 − i h 1 0 ,Sy = , Sz = 2 1 0 2 i 0 2 0 1
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按(6.1.1)式，原子在 z 方向所受的力是 ∂U ∂B Fz = − =M cos θ ∂z ∂z 实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于 cos θ =+1 和 cos θ =-1 两个值。
旋角动量的说法，他们认为:
(6.1.2)
为了解释施特恩一格拉赫实验， 乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电子具有自
(6.2.8)
(6.2.9)
ˆ xσ ˆ y −σ ˆ yσ ˆ x = 2iσ ˆz σ ˆ yσ ˆz −σ ˆ zσ ˆ y = 2iσ ˆx σ ˆ zσ ˆx −σ ˆ xσ ˆ z = 2iσ ˆy σ ˆ x 、σ ˆ y 、σ ˆ z 的本征值为 ± 1 ，而且 由(6.2.7)式可见， σ