卷积及其性质

∫
+∞
−∞
f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ
§2.7 卷积及其性质
（）分配律：f1(t) ∗[ f2 (t) + f3(t)] = f1(t） f2 (t) + f1(t) ∗ f3(t) 1 ∗ 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应 h(t) = h1(t) + h2 (t) （ ）结合律： [ f1(t) ∗ f2 (t)]∗ f3(t) = f1(t) ∗[ f2 (t) ∗ f3(t)] 2 物理意义：若冲击响应为h1(t)，h2 (t)的两个系统相串联， 此两系统的组合可等效唯一个冲击响应 h(t) = h1(t) ∗h2 (t)的系统。
§2.7 卷积及其性质
（4）用序列阵表格求卷积和 由 y ( n) = x ( n) * h( n ) =
m =−∞ n +∞
∑ x ( n) h( n − m)
（对于双边序列）
= ∑ x ( n) h( n − m)
m =0
（对于因果序列）
得到 y (0) = x(0)h(0) y (1) = x(0)h(1) + x(1)h(0) y (2) = x(0)h(2) + x(1)h(1) + x(2)h(0) ...... y (n) = { y (0), y (1), y (2)......}
t −7
S4 = ∫ u (t − τ − 7)u (τ − 5)dτ = ∫ 1 ⋅1dτ = (t − 12) ⋅ u (t − 12)
−∞ 5
+∞
t −7
§2.7 卷积及其性质
于是 S (t ) = (t − 3)u(t − 3) − (t − 6)u(t − 6) − (t − 9)u(t − 9) + (t −12)u(t −12) 0, t − 3, = 3, 12 − t, 0, t <3 3<t < 6 6<t <9 9 < t < 12 t > 12
§2.7 卷积及其性质
3, 卷 积和的求取 方法 （1 ） 直接用解析 式求 （2 ）借 助图形求 观察 x1 ( n ) * x 2 ( n ) =
m = −∞
∑
+∞
x1 ( m ) x 2 ( n − m ) ， 同样分 四步求：
第一步，改 变求和变量 , x1 ( n ) → x1 ( m ), x 2 ( n ) → x 2 ( m ) 第二步, x 2 ( m )反转 → x 2 ( − m ) 第三步， x 2 ( − m ) → x 2 ( n − m ) 第四步，相 承与求和 举例说明。
表示微分 表示积分
§2.7 卷积及其性质
（6）与奇异函数的卷积 f (t ) ∗ δ (t ) = f (t ) f (t ) ∗ δ (t − t0 ) = f (t − t0 )
δ (t − t1 ) ∗ δ (t − t2 ) = δ (t − t1 − t2 ) f (t ) ∗ δ '(t ) = f '(t )
h(n), h(m)
h(n-m)
……
n,(m)
§2.7 卷积及其性质
所以
y (n)
0, n ≤ −1 n 1 − a − ( n +1) y ( n) = a , 0 ≤ n ≤ N −1 1 − a −1 n 1 − a− N , n ≥ N −1 a −1 1− a
∫
+∞
−∞
f1 (τ ) f 2 (t − τ ) dτ
i) 若 t < 0, f1 (t ) = 0，即 S (t ) =
∫
+∞
0
f1 (τ ) f 2 (t − τ ) dτ
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t < 0, f 2 (t )＝0，那么对于f 2 (t − τ ),t − τ < 0, f 2 (t − τ ) < 0 ∴ S (t ) = ∫
m = −∞
∑
+∞
x1 ( m ) x 2 ( n − m )
§2.7 卷积及其性质
例，已知两个序列 a n ( 0 < a < 1) , n ≥ 0 1, 0 ≤ n ≤ N − 1 x(n ) = , h(n ) = 0 , o th e r s 0, n < 0 求 卷 积 和 y (n) = x(n ) ∗ h(n ) 解： （1 ） 当 （2） 当 n ≤ − 1 时 ，y ( n ) = 0 ； 0 ≤ n ≤ N −1 时
∫
+∞ −∞ +∞
f 1 (τ ) f 2 ( t − τ ) d τ
1 ∫ − ∞ 2 [ u (τ − 2 ) − u (τ − 5 ) × 2 [ u ( t − τ − 1) − u ( t − τ − 7 ) ] d τ
§2.7 卷积及其性质
= ∫ u (t − τ − 1)u (τ − 2)dτ − ∫ u (t − τ − 1)u (τ − 5)dτ
2， 卷 积 及 分 的 求 取 方 法 （1 ） 函数计算法 1 [u (t − 2 ) − u (t − 5 )] 例 ， 已 知 f1 ( t ) = 2 f 2 ( t ) = 2 [ u ( t − 1) − u ( t − 7 ) ] 求 解： S ( t ) = f1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) S ( t ) = f1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = =
§2.7 卷积及其性质
（3） 利用性质求 例， 求卷积和 y (n) = [u (n + 2) − u (n − 3) ] * [u (n + 2) − u ( n − 3) ] 解： u (n + 2) − u ( n − 3) = δ (n + 2) + δ (n + 1) + δ (n) + δ (n − 1) + δ ( n − 2) 所以 y ( n) = [δ (n + 2) + δ ( n + 1) + δ (n) + δ ( n − 1) + δ (n − 2)] ∗ [δ (n + 2) + δ (n + 1) + δ (n) + δ (n − 1) + δ ( n − 2)] 因为
2
t −1
同理
S2 = ∫ u (t − τ − 1)u (τ − 5)dτ = ∫ 1 ⋅1dτ = (t − 6) ⋅ u (t − 6)
−∞ 5
+∞
t −1
S3 = ∫ u (t − τ − 7)u (τ − 2)dτ = ∫ 1⋅1dτ = (t − 9) ⋅ u (t − 9)
−∞ 2
+∞
δ ( n ) * δ ( n + m) = δ ( n + m )
于是 y ( n) = δ (n + 4) + 2δ (n + 3) + 3δ (n + 2) + 4δ ( n + 1) + 5δ (n) + 4δ ( n − 1) + 3δ (n − 2) + 2δ (n − 3) + δ (n − 4)
§2.7 卷积及其性质
沿每条对角线将各乘积项相加，即可得到各项y(n)之值，对于都是从n=0开始 的序列之卷积，很显然第一项是y(0)。但如果x(n)和h(n)的第一项不是从n=0开始， 则y(0)是含有行和列的第0行之交叉项的两条对角线之间各项的和。
−∞ −∞ +∞ +∞
− ∫ u (t − τ − 7)u (τ − 2)dτ + ∫ u (t − τ − 7)u (τ − 5)dτ
−∞ −∞
+∞
+∞
对于
S1 = ∫ u (t − τ − 1)u (τ − 2)dτ，通过积分限判断得
−∞
+∞
S1 = ∫ 1 ⋅1dτ = (t − 3) ⋅ u (t − 3)
t −∞
f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ
iii) 若t < 0, f1 (t ) = 0, f 2 (t ) = 0, 则 0, t < 0 S (t ) = t S (t ) = ∫0 f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ , t ≥ 0
§2.7 卷积及其性质
m =0
y (n) = （3） 当
∑
n
x(n)h(n − m ) =
m =0
∑
n
a
n−m
1 − a − ( n +1) = a 1 − a −1
n
n 〉N −1 时
m =0
y (n ) =
∑
N −1
x(n)h (n − m ) =
m =0
∑
N −1
a
n−m
1 − a−N = a 1 − a −1
n
§2.7 卷积及其性质
由此可见，函数式积分应特别注意积分结果存在的区间，稍不 留意就会出错。
§2.7 卷积及其性质
（2） 卷积积分的图解法
+∞
观察 S (t ) = ∫
−∞
f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ
实现卷积积分有四个步骤： 第一步，改变积分变量, f1 (t ) → f1 (τ )， f 2 (t ) → f 2 (τ ) 第二步, f 2 (τ )反转 → f 2 (−τ ) 第三步，f 2 (−τ )平移 → f 2 (t − τ ) 第四步，相承与积分 举例说明。
m=−∞
∑ x (m) x (n − m)
1 2
+∞
如果两个序列都是因果的，即 x1 (n) = x1 (n)u(n)，x2 (n) = x2 (n)u(n) 则有 x1 (n)* x2 (n) = ∑ x1 (m) x2 (n − m)
m= 0 n
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 和 的 性 质 卷积和的性质与卷积积分完全对应。特别地，有 （1 ） 卷 积 和 的 差 分 ∆ x1 ( n ) * x 2 ( n ) = x1 ( n ) * ∆ x 2 ( n ) = ∆ [ x1 ( n ) * x 2 ( n )] ∇ x1 ( n ) * x 2 ( n ) = x1 ( n ) * ∇ x 2 ( n ) = ∇ [ x1 ( n ) * x 2 ( n )] （2 ） 卷 积 和 的 累 加 x1 ( n ) *
df1 (t ) t 解：s (t ) = f1 (t ) * f1 (t ) = * ∫ f 2 (τ )dτ −∞ dt
§2.7 卷积及其性质
§2.7 卷积及其性质
二，离散卷积和 1，定义 两个序列x1 (n)，x2 (n) 得卷积和定义为 x1 (n)* x2 (n) =
§2.7 卷积及其性质
一，卷积积分 1 ，定义 设 f1 (t )和 f 2 (t )是定义在 ( −∞ , +∞ )区间上的两个函数， 则积分 S (t ) =
∫
+∞
−∞
f1 (τ ) f 2 (t − τ ) dτ
称为 f1 (t )和 f 2 (t )的卷积， 记为 f1 (t ) ∗ f 2 (t ) 对于 S (t ) =
i = −∞
∑
n
x 2 ( i ) = x1 ( n ) *
i = −∞
∑
n
x 2 (i ) =
i = −∞
∑ [ x (n) * x
1
n
2
( n )]
（3 ） 与 单 位 样 值 序 列 的 卷 积 和 x ( n ) * δ ( n ) = x ( n ), x ( n + m ) * δ ( n ) = x ( n + m ) x(n ) * δ (n + m ) = x(n + m )
∫
t
−∞
f1(τ ) ∗ f2 (τ )dτ = f1(t) ∗∫ f2 (τ )dτ = f2 (t) ∗∫ f1(τ )dτ
−∞ −∞
t
t
§2.7 卷积及其性质
推论 f1 (t ) ∗ f 2 (t )] = f1 (t )( j ) ∗ f 2 (t )(i − j ) [
(i )
> 0整数 i 和（i − j ） 为 < 0整数
f (t ) ∗ δ ( k ) (t ) = f ( k ) (t ) f (t ) ∗ δ ( k ) (t − t0 ) = f ( k ) (t − t0 ) f (t ) ∗ u (t ) = ∫
t −∞
f (τ )dτ
§2.7 卷积及其性质
例：求卷积s(t ) = f1 (t ) * f 2 (t )，其中f1 (t ) = 2[u (t − 1) − u (t − 3)] f 2 (t ) = u (t ) − 2u (t − 1) + u (t − 2)
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§2.7 卷积及其性质
(3) 交换律： f1(t) ∗ f2 (t) = f2 (t) ∗ f1(t) 物理意义： 串联的子系统可以任意交换位置。 （ ）卷积的微分： 4 df2 (t) df1(t) d + f2 (t) ∗ [ f1(t) ∗ f2 (t)] = f1(t) ∗ dt dt dt （ ）卷积的积分 5