2019年北京中考数学习题精选:与圆的有关计算-推荐
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2019年北京中考数学习题精选:与圆的有关计算
一、选择题
1.(2018北京市朝阳区一模)如图,正方形ABCD 的边长为2,以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E , 则图中阴影部分的面积为
(A )π4125+ (B )π
4123-
(C )π2125- (D )π
4125-
答案D
2.(2018北京东城区一模)如图,O 是等边△ABC 的外接圆,其半径为3. 图中阴影部分的面积是
A .π
B .3π
2
C .2π
D .3π 答案D
3、(2018北京朝阳区第一学期期末检测)如图,在△ABC 中,
∠BAC =90°,AB =AC =4,以点C 为中心,把△ABC 逆时针旋转45°,得到△A’B’C ,则图中阴影部分的面积为
(A) 2 (B) 2π (C) 4 (D) 4π
答案:B
4.(2018北京大兴第一学期期末)-在半径为12cm 的圆中,长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为 A. ︒10 B. ︒60 C. ︒90 D. ︒120 答案:B
5.(2018北京东城第一学期期末)A ,B 是
O 上的两点,OA =1, AB 的长是1
π3
,则∠AOB 的度数是
A .30
B . 60°
C .90°
D .120° 答案:B
6.(2018北京通州区第一学期期末)已知一个扇形的半径是1,圆心角是120°,则这个扇形的弧长是( ) A .
6π B .π C .3
π
D . 32π
答案:D
7.(2018北京西城区第一学期期末)圆心角为60︒,且半径为12的扇形的面积等于( ). A. 48π B.24π C.4π D.2π
答案:B
8.(2018北京朝阳区二模)如图,矩形ABCD 中,AB =4,BC =3,F 是AB 中点,以点A 为圆心,AD 为半径
作弧交
B
AB 于点E ,以点B 为圆心,BF 为半径作弧交BC 于点G ,则图中阴影部分面积的差S 1-S 2
为
(A )41312π
- (B )4912π
-
(C )4
136π
+
(D )6 答案:A
二、填空题
9.(2018北京海淀区二模)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,6OA =,
30B ∠=︒,则图中阴影部分的面积为 .
答案:6π
10.(2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测)如图,⊙O 的半径为3,正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,则劣弧AB 的长为 .
答案:π
11.(2018北京大兴第一学期期末)圆心角为160°的扇形的半径为9cm ,则这个扇形的面积是
cm 2
. 答案:36 π .
12.(2018北京房山区第一学期检测)如图,“吃豆小人”是一个经典的游戏形象,它的形状是一个扇形.若开口∠1=60°,半径为 6 ,则这个“吃豆小人”(阴影图形)的面积为 .
答案:5π
13.(2018北京丰台区第一学期期末)半径为2的圆中,60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 答案:
2
π3
F
C
B
A
14.(2018年北京海淀区第一学期期末)若一个扇形的圆心角为60°,面积为6π,则这个扇形的半径为
.
答案:6
15.(2018北京怀柔区第一学期期末)在学校的花园里有一如图所示的花坛,它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成,现在要在花坛正三角形以外的区域(图中阴影部分)种植草皮.草皮种植面积为 米2.
答案:
16.(2018北京密云区初三(上)期末)扇形半径为3cm ,弧长为πcm ,则扇形圆心角的度数为___________________. 答案:60︒
17.(2018北京平谷区第一学期期末)圆心角为120°,半径为6cm 的扇形的弧长是 cm (结果不取近似值). 答案:4π
18.(2018北京石景山区第一学期期末)如图,扇形的圆心角︒=∠60AOB ,半径为3cm .若点C 、D 是 弧AB 的三等分点,则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2
.
答案:2
π
19.(2018北京西城区二模)如图,等边三角形ABC 内接于⊙O ,若⊙O 的半径
为2,则图中阴影部分的面积等于 . 答案:43
π
三、解答题
20.(2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测)如图,AB 为⊙O 的直径,C 、F 为⊙O 上两点,且点C 为
弧BF 的中点,过点C 作AF 的垂线,交AF 的延长线于点E ,交AB 的延长线于点D .
(1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)如果半径的长为3,tan D=3
4
,求AE 的长.
答案:(1)证明:连接OC ,
∵点C 为弧BF 的中点, ∴弧BC =弧CF .
∴BAC FAC ∠=∠.…………… 1分
∵OA OC =, ∴OCA OAC ∠=∠.
∴OCA FAC ∠=∠.……………………2分
∵AE ⊥DE ,
∴90CAE ACE ︒
∠+∠=.
∴90OCA ACE ︒∠+∠=. ∴OC ⊥DE .
∴DE 是⊙O 的切线. …………………… 3分 (2)解:∵tan D=
OC CD =3
4
,OC =3, ∴CD =4.…………………………… 4分 ∴OD
.
∴AD= OD+ AO=8.…………………………… 5分 ∵sin D=
OC OD =AE AD =3
5
, ∴AE=
24
5
.……………………………6分
21.(2018北京顺义区初三上学期期末)制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”,再备料.下
图是一段管道,其中直管道部分AB 的长为3 000mm ,弯形管道部分BC ,CD 弧的半径都是1 000mm , ∠O =∠O ’=90°,计算图中中心虚线的长度.
答案:20. 901000
500180180
n r l πππ⨯=
==…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为 3000500230001000ππ+⨯=+…………………4分
=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分
22.(2018北京燕山地区一模)如图,在△ABC 错误!未找到引用源。
中,AB=AC ,AE 是BC 边上的高线,BM 平分∠ABC 交 AE 于点M ,经过 B ,M 两点的⊙O 交 BC 于点G ,交AB 于点F ,FB 为⊙O 的直径. (1)求证:AM 是⊙O 的切线 (2)当BE =3,cosC=5
2
时,求⊙O 的半径.
解: (1)连结OM. ∵BM 平分∠ABC
∴∠1 = ∠2 又OM=OB ∴∠2 = ∠3
∴ OM ∥ BC …………………………………2′ AE 是BC 边上的高线
∴AE ⊥BC,
∴AM ⊥OM
∴AM 是⊙
O 的切
线…………………………………3′
(2)∵AB=AC
∴∠ABC = ∠C AE ⊥BC, ∴E 是BC 中点 ∴EC=BE=3
∵cosC=52=AC EC ∴AC=25EC= 2
15
…………………………………4′
∵OM ∥ BC ,∠AOM =∠ABE ∴△AOM ∽△ABE ∴
AB
AO
BE OM =
又∠ABC = ∠C ∴∠AOM =∠C 在Rt △AOM 中cos ∠AOM = cosC=52 5
2=AO OM ∴AO=
OM 25
AB=OM 25+OB=OM 2
7
而AB= AC= 2
15
∴OM 27=215
OM=7
15
∴⊙O 的半径是7
15
…………………………………6′
23.(2018北京通州区一模)
答案
24.(2018北京延庆区初三统一练习)如图,AB是⊙O的直径,D是⊙O上一点,点E是AD的
中点,过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F.连接AE
并延长交BF于点C.
(1)求证:AB BC
=;
(2)如果AB=5,
1
tan
2
FAC
∠=,求FC的长.
证明:(1)连接BE.
∵AB是直径,
A
∴∠AEB =90°.
∴∠CBE +∠ECB =90°∠EBA +∠EAB =90°. ∵点E 是AD 的中点, ∴∠CBE =∠EBA .
∴∠ECB =∠EAB . ……1分 ∴AB =BC . ……2分 (2)∵FA 作⊙O 的切线, ∴FA ⊥AB . ∴∠FAC +∠EAB =90°. ∵∠EBA +∠EAB =90°, ∴∠FAC =∠EBA . ∵1
tan 2
FAC ∠=
AB =5,
∴AE =
BE = ……4分 过C 点作CH ⊥AF 于点H , ∵AB =BC ∠AEB =90°, ∴AC =2AE=25. ∵1tan 2
FAC ∠=
, ∴CH =2. ……5分 ∵CH ∥AB AB =BC=5, ∴
255FC
FC =
+. ∴FC=3
10.…6分
25.(2018北京西城区九年级统一测试)如图,⊙O 的半径为r ,ABC △内接于⊙O ,15BAC ∠=︒,
30ACB ∠=︒,D 为CB 延长线上一点,AD 与⊙O 相切,切点为A . (1)求点B 到半径OC 的距离(用含r 的式子表示). (2)作DH OC ⊥于点H ,求ADH ∠的度数及
CB
CD
的值. H
A
A
B C
解:(1)如图4,作BE ⊥OC 于点E .
∵ 在⊙O 的内接△ABC 中,∠BAC=15,
∴ =230BOC BAC ∠∠=︒.
在Rt △BOE 中,∠OEB=90,∠BOE=30,OB=r , ∴ 22
OB r
BE =
=. ∴ 点B 到半径OC 的距离为2
r
.……………………………………………2分 (2)如图4,连接OA .
由BE ⊥OC ,DH ⊥OC ,可得BE ∥DH . ∵ AD 与⊙ O 相切,切点为A ,
∴ AD ⊥OA .………………………………3分 ∴ 90OAD ∠=︒. ∵ DH ⊥OC 于点H , ∴ 90OHD ∠=︒.
∵ 在△OBC 中,OB=OC ,∠BOC=30,
∴ 180752
BOC
OCB ︒-∠∠=
=︒.
∵ ∠ACB=30, ∴ 45OCA OCB ACB ∠=∠-∠=︒. ∵ OA=OC ,
∴ 45OAC OCA ∠=∠=︒.
∴ 180290AOC OCA ∠=︒-∠=︒.
∴ 四边形AOHD 为矩形,∠ADH=90.…………………………………… 4分 ∴ DH =AO=r .
∵ 2r BE =
, ∴ 2
D B
E H
=.
∵ BE ∥DH ,
∴ △CBE ∽△CDH .
∴ 12
CB BE D DH C ==.…………………………………………………………… 5分
图4
26.(2018北京平谷区中考统一练习)如图,以AB 为直径作⊙O ,过点A 作⊙O 的切线AC ,连结BC ,交⊙O 于点D ,点E 是BC 边的中点,连结AE . (1)求证:∠AEB =2∠C ; (2)若AB =6,3
cos 5
B =
,求DE 的长.
(1)证明:∵AC 是⊙O 的切线, ∴∠BAC =90°. ······················· 1 ∵点E 是BC 边的中点, ∴AE=EC .
∴∠C =∠EAC , ....................... 2 ∵∠AEB =∠C +∠EAC , ∴∠AEB =2∠C . .. (3)
(2)解:连结AD .
∵AB 为直径作⊙O , ∴∠ABD =90°. ∵AB = 6,3cos 5
B =
, ∴BD =18
5
. (4)
在Rt △ABC 中,AB =6,3
cos 5
B =,
∴BC =10.
∵点E 是BC 边的中点,
∴BE =5. ········· 5 ∴7
5
DE =
. ······· 6 27.(2018北京顺义区初三练习)如图,等腰△ABC 是⊙O 的内接三角形,
AB =AC ,过点A 作BC 的平行线AD 交BO 的延长线于点D .
(1)求证:AD 是⊙O 的切线;
(2)若⊙O 的半径为15,sin ∠D =3
5
,求AB 的长.
(1)证明:连接AO ,并延长交⊙O 于点E ,交BC 于点F .
∵AB =AC , ∴=AB AC . ∴AE ⊥BC . ∵AD ∥BC ,
∴AE⊥AD.
∴AD是⊙O的切线.…………… 2分(2)解法1:∵AD∥BC,∴∠D=∠1.
∵sin∠D=3
5
,∴sin∠1=
3
5
.
∵AE⊥BC,
∴OF
OB
=
3
5
.
∵⊙O的半径OB=15,∴OF=9,BF=12.
∴AF=24.
∴AB
= 5分
3
解法2:过B作BH⊥DA交DA延长线于H.
∵AE⊥AD,sin∠D=3
5
,
∴OA
OD
=
3
5
.
∵⊙O的半径OA=15,∴OD=25,AD=20.
∴BD=40.
∴BH=24,DH=32.
∴AH=12.
∴AB
= 5分
28.(2018北京石景山区初三毕业考试)如图,AB是⊙O的直径,BE是弦,点D是弦BE上一点,连接
OD并延长交⊙O于点C,连接BC,过点D作FD⊥OC交⊙O的切线EF于点F.
(1)求证:
1
2
CBE F
∠=∠;
(2)若⊙O
的半径是D是OC中点,15
CBE
∠=°,求线段EF的长.
(1)证明:连接OE 交DF 于点H ,
∵EF 是⊙O 的切线,OE 是⊙O 的半径, ∴OE ⊥EF . ∴190F ∠+∠=°. ∵FD ⊥OC , ∴3290∠+∠=︒. ∵12∠=∠,
∴3F ∠=∠. ………………1分 ∵132CBE ∠=∠,
∴12
CBE F ∠=
∠. ………………2分
(2)解:∵15CBE ∠=°, ∴3230F CBE ∠=∠=∠=°.
∵⊙O
的半径是D 是OC 中点,
∴OD = 在Rt ODH ∆中,cos 3OD
OH
∠=
,
∴2OH =. ………………3分
∴2HE =. 在Rt FEH ∆中,tan EH F EF
∠=
. ………………4分
∴6EF ==-………………5分
29.(2018北京市朝阳区一模)
如图,在△ABC 中,AB =BC ,∠A =45°,以AB 为直径的⊙O 交CO 于点D .
(1)求证:BC 是⊙O 的切线;
(2)连接BD ,若BD =m ,tan ∠CBD =n ,写出求直径AB 的思路.
解(1)证明:∵AB =BC ,∠A =45°,
∴∠ACB =∠A =45°.
∴∠ABC =90°. …………………………………………………………1分 ∵AB 是⊙O 的直径,
∴BC 是⊙O 的切线. …………………………………………………2分 (2)求解思路如下:
①连接AD ,由AB 为直径可知,∠ADB =90°,进而可知∠BAD =∠CBD ;……3分 ②由BD =m ,tan ∠CBD =n ,在Rt △ABD 中,可求AD =
m
n
;………………………4分 ③在Rt △ABD 中,由勾股定理可求AB 的长. ……………………………………5分
30.(2018北京市朝阳区综合练习(一))如图,在⊙O 中,C ,D 分别为半径OB ,弦AB 的中点,连接CD 并延长,交过点A 的 切线于点E .
(1)求证:AE ⊥CE . (2)若AE =,sin ∠ADE =
3
1
,求⊙O 半径的长.
(1)证明:连接OA ,
∵OA 是⊙O 的切线,
∴∠OAE =90º. ………………………………1分 ∵ C ,D 分别为半径OB ,弦AB 的中点, ∴CD 为△AOB 的中位线. ∴CD ∥OA . ∴∠E =90º.
∴AE ⊥CE . …………………………………2分
(2)解:连接OD ,
∴∠ODB =90º. ………………………………………………3分 ∵AE =
,sin ∠ADE =
3
1, 在Rt △AED 中,23sin =∠=ADE
AE
AD .
∵CD ∥OA , ∴∠1=∠ADE . 在Rt △OAD 中,3
1
1sin ==∠OA OD .………………………4分 设OD =x ,则OA =3x , ∵2
2
2
OA AD OD =+, ∴()
()2
2
2323x x =+.
解得 231=
x ,23
2-=x (舍). ∴2
9
3==x OA . ………………………………………5分
即⊙O 的半径长为2
9
.
31. (2018北京门头沟区初三综合练习)如图,AB 为⊙O 直径,过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ,射线DC
切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ,连接AC 交DE 于点F ,作CH ⊥AB 于点H . (1)求证:∠D =2∠A ;
(2)若HB =2,cos D =3
5
,请求出AC 的长.
(1)证明:连接OC ,
∵射线DC 切⊙O 于点C , ∴∠OCP =90° ∵DE ⊥AP ,∴∠DEP =90° ∴∠P +∠D =90°,∠P +∠COB =90°
∴∠COB =∠D …………………1分 ∵OA =OC , ∴∠A =∠OCA
∵∠COB=∠A +∠OCA ∴∠COB =2∠A
∴∠D =2∠A …………………2分 (2)解:由(1)可知:∠OCP =90°,∠COP =∠D ,
∴cos ∠COP =cos ∠D =35
, …………………3∵CH ⊥OP ,∴∠CHO =90°, 设⊙O 的半径为r ,则OH =r ﹣2. 在Rt △CHO 中,cos ∠HOC =
OH OC =2r r =3
5
, ∴r =5, …………………4分 ∴OH =5﹣2=3,
∴由勾股定理可知:CH =4,∴AH =AB ﹣HB =10﹣2=8
.
在Rt △AHC 中,∠CHA =90°,∴由勾股定理可知:AC =…………………5分
32.(2018北京东城区一模) 如图,AB 为O 的直径,点C ,D 在O 上,且点C 是BD 的中点.过点C
作 AD 的垂线EF 交直线AD 于点E . (1)求证:EF 是O 的切线;
(2)连接BC . 若AB =5,BC =3,求线段AE 的长.
(1)证明:连接OC .
∵CD CB = ∴∠1=∠3. ∵OA OC =, ∴∠1=∠2. ∴∠3=∠2. ∴AE OC ∥. ∵AE EF ⊥, ∴OC EF ⊥. ∵ OC 是O 的半径,
∴EF 是
O 的切线. ----------------------2分
(2)∵AB 为
O 的直径,
∴∠ACB =90°.
根据勾股定理,由AB =5,BC =3,可求得AC =4. ∵AE EF ⊥ , ∴∠AEC =90°. ∴△AEC ∽△ACB . ∴
AE AC
AC AB =
. ∴
4
45
AE =. ∴16
5
AE =
. ----------------------5分 33.(2018北京怀柔区一模)如图,AC 是⊙O 的直径,点B 是⊙O 内一点,且BA=BC ,连结BO 并延长线交⊙O 于点D ,过点C 作⊙O 的切线CE ,且BC 平分∠DBE.
(1)求证:BE=CE ;
(2)若⊙O 的直径长8,sin ∠BCE=4
5
,求BE 的长.
23.
解:(1)∵BA=BC ,AO=CO, ∴BD ⊥AC. ∵CE 是⊙O 的切线,
A
∴CE ⊥AC.
∴CE ∥BD. ……………………………………1分 ∴∠ECB=∠CBD. ∵BC 平分∠DBE, ∴∠CBE=∠CBD. ∴∠ECB=∠CBE.
∴BE=CE. …………………………………………2分 (2)解:作EF ⊥BC 于F. …………………………3分 ∵⊙O 的直径长8, ∴CO=4.
∴sin ∠CBD= sin ∠BCE= 45=OC BC
. …………………………………………………………4分 ∴BC=5,OB=3. ∵BE=CE, ∴BF=
1522
BC =. ∵∠BOC=∠BFE =90°,∠CBO=∠EBF, ∴△CBO ∽△EBF.
∴
BE BF
BC OB =
. ∴BE=256
. ……………………………………………………………………………………5分
34.(2018北京房山区一模)如图,AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦,弦CD
与AB 、BF 分别相交于点E 、G ,过点F 的切线HF 与DC 的延长线相交于点H ,
且HF =HG .
(1)求证:AB ⊥CD ; (2)若sin ∠HGF =4
3
,BF =3,求⊙O 的半径长.
解:(1)连接OF . ∵OF =OB ∴∠OFB =∠B ∵HF 是⊙O 的切线
∴∠O F H =90°…………………………………………………………………1分 ∴∠HFB +∠OFB =90° ∴∠B +∠HFB =90° ∵HF =HG ∴∠HFG =∠HGF
E
又∵∠HGF =∠BGE ∴∠BGE =∠HFG ∴∠BGE +∠B =90° ∴∠GEB =90°
∴A B ⊥C D ………………………………………………………………………2分 (2)连接AF ∵AB 为⊙O 直径
∴∠A F B =90°…………………………………………………………………3分 ∴∠A +∠B =90° ∴∠A =∠BGE 又∵∠BGE =∠HGF
∴∠A =∠H G F …………………………………………………………………4分
∵sin ∠HGF =3
4
∴sin A =3
4
∵∠AFB =90°,BF =3 ∴ AB =4
∴ O A =O B =2…………………………………………………………………5分 即⊙O 的半径为2
35.(2018北京丰台区一模)如图,A ,B ,C 三点在⊙O 上,直径BD 平分∠ABC ,过点D 作DE ∥AB 交弦
BC 于点E ,过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F . (1)求证:EF =ED ;
(2)如果半径为5,cos ∠ABC =3
5
,求DF 的长.
(1)证明:∵BD 平分∠ABC ,∴∠1=∠2.
∵DE ∥AB ,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3. ∵BC 是⊙O 的切线,∴∠BDF =90°. ∴∠1+∠F =90°,∠3+∠EDF =90°.
∴∠F =∠EDF .∴
EF =DE . …….…….……………2分
(2)解:连接CD .
∵BD 为⊙O 的直径,∴∠BCD =90°. ∵DE ∥AB ,∴∠DEF =∠ABC . ∵cos ∠ABC =
35,∴在Rt △ECD 中,cos ∠DEC =CE DE =35
. 设CE =3x ,则DE =5x .
由(1)可知,BE = EF =5x .∴BF =10x ,CF =2x . 在
Rt △CFD 中,由勾股定理得DF =. ∵半径为5,∴BD =10. ∵BF ×DC = FD ×BD ,
∴1041025x x x =
,解得x =
∴DF ==5. …….…….……………5分
(其他证法或解法相应给分.)
36.(2018北京西城区二模)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是圆上一点,弦CD ⊥AB 于点E ,且DC=AD .过点A
作⊙O 的切线,过点C 作DA 的平行线,两直线交于点F ,FC 的延长线交AB 的延长线于点G . (1)求证:FG 与⊙O 相切; (2)连接EF ,求tan EFC ∠的值.
(1)证明:如图6,连接OC ,AC .
∵ AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,
∴ CE=DE ,AD=AC .
∵ DC=AD ,
∴ DC=AD= AC .
∴ △ACD 为等边三角形. ∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60. ∴ . ∵ FG ∥DA ,
∴ 180DCF D ∠+∠=︒.
∴ . ∴ . ∴ FG ⊥OC .
∴ FG 与⊙O 相切.……………………………………………………… 3分
(2)解:如图6,作EH ⊥FG 于点H .
设CE= a ,则DE= a ,AD=2a . ∵ AF 与⊙O 相切, ∴ AF ⊥AG . 又∵ DC ⊥AG , 可得AF ∥DC . 又∵ FG ∥DA ,
∴ 四边形AFCD 为平行四边形. ∵ DC =AD ,AD=2a , ∴ 四边形AFCD 为菱形.
图
6
∴AF=FC=AD=2 a,∠AFC=∠D = 60.
由(1)得∠DCG= 60
,sin60
EH CE
=⋅︒=,
1
cos60
2
CH CE a
=⋅︒=.
∴
5
2
FH CH CF a
=+=.
∵在Rt△EFH中,∠EHF= 90,
∴
2
tan
5
2
EH
EFC
FH a
∠===…………………………………… 5分。