差分方程 PPT

dx ax bxy dt 假定食肉鱼的出生率与群体规模y(t)成正比，而 真正能活下来的小鱼只是那些找到食物部分（与 食用鱼相遇部分），所以它的有效出生率是与两 种鱼规模成正比。我们假定它的自然死亡率也与 群体规模y成正比，即 dy cy dxy dt 在人类没有捕捞的情况下，两种互相制约的鱼类的 群体规模增长规律性可用常微分方程组描述 （Volterra模型） 参考文献：电子科技大学数学系，《实用数值计算 方法》，高等教育出版社，2000年
dx x bx (1 ) cx dt K
当x = K ( 1 – c / b)时，达到平衡。捕捞率（单位时间 内捕捞量与渔场中鱼量之比）可以人为地控制，以 保证在鱼量稳定的条件下获得最大捕捞量。这需要 求函数y = cx在条件 x bx (1 ) cx 0 K 下的极大值。结果为c = b/2，此时渔场中渔量稳定 值为最大鱼量的一半K / 2，最大捕捞量为bK/4。 参考文献： 费培之、程中瑗，《数学模型实用教程》，四川大 学出版社，1998
1 龄鱼 1.2200
2 龄鱼 0.2970
3 龄鱼 0.1010
4 龄鱼 0.0329
推导在没有人类捕捞的条件下，各年龄组的鱼数量在 第一到第五年内的变化规律. 设各年龄组的鱼群数量分别为 Nj(t)，(j = 1，2，3，4)。 在没有人类捕捞的情况下，每个年龄组的鱼群在第k年 到每k+1年的一年时间内数量变化应服从如下规律
N2(k+1)=N1(k) e 0.8 N3(k+1)=N2(k) e 0.8 N4(k+1)=N3(k) e 0.8
5
1.2210 N1 (k 1) N0 (k ) 11 1.2210 N0 (k )
11
N0 (k ) 1.10910 [0.5N3 (k ) N 4 (k )]e
问题1：根据常微分方程组右端常数分别讨 论：y的变化对x的影响，x的变化对y的影响。
dx d t x b xy d y y d xy dt
问题2：当x>0，y>0时Volterra模型在相平面 上的轨线满足一阶常微分方程
dy y(c dx) dx x(a by)
…… K=0，1，2，3，
0.8
2 3
五、树群增长的数学模型
将某树群的树分为三类：幼树、成树和老树。树龄从 0—10年为幼树；树龄从10—40年为成树；树龄在40年 以上为老树。在没有采伐的条件下，假定在第一个单 位时间（2年）内，树群的生长满足下列条件
1)幼树中的1/5成长为成树，每一棵幼树平均繁殖1/2棵新树； 2)成树中的1/15成长为老树，每一棵成树平均繁殖一棵新树； 3)老树中的1/15要老死，每一棵老树平均繁殖1/5棵新树。
dN j rN j ( k t k 1) dt N (t ) t k N j (k ) j
( j=1,2,3,4)
这一初值问题的解为 N j (t ) N j (k )e0.8(t k ) k t k 1 根据鱼群变化规律，得 差分方程组如下：
差分方程与微分方程
一、人口模型 二、鱼类生存竞争的数学模型 三、捕鱼模型 四、鱼的种群数量发展规律 五、树群增长的数学模型 六、动物饲养的数学模型 七、常微分方程初值问题的数值求解方法
Βιβλιοθήκη Baidu. 离散形式马尔萨斯（Malthus）模型（1798）
P(n)表示某人口群体在第n年的总数，设初始年为零， 记为P(0)，令增量ΔP(n)=P(n+1) - P(n).马尔萨斯认为， 人口的增长速度与人口的总数成正比，即 ΔP(n)=b P(n)
dN bN dt 设在时刻t = 0有初值 N (0) = N 0 ，在以后的任何时刻 群体总数由微分方程解函数描述
N (t ) N0e
bt
4. Logistic模型 verhulst模型的连续形式是微分方程
dN bN cN 2 dt
或
dN N bN (1 ) dt k
在这一模型中,常数 k被称为环境容量. 参考文献：萧礼、张志军编译，《模型数学》—— 连续动力系统和离散动力系统，科学出版社，1998
其中，b表示出生率与死亡率之差。于是
得一阶差分方程
P(n 1) P(n) P(n) P(n) bP(n)
P(n+1) = (1+b)P(n) 反复递推,得
P(n 1) (1 b) P(n) (1 b)(1 b) P(n 1) (1 b) 2 P(n 1) (1 b) P(0) 当b>0时，随着n的增大，P(n)无限增大，就象马尔萨斯所说的， “人口按几何级数增大”。
设x1(k)为在第k个单位时间内幼树的数量；x2(k)为在第k 个单位时间内成树的数量；x3(k)为在第k个单位时间内 老树的数量。于是可推出在没有砍伐条件下的树群数 量变化的差分方程组.
对于有砍伐的情形 ， 将上面的数学模型作修改。
六、动物饲养的数学模型
农场饲某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其 分为三个年龄组：第一组0~5岁；第二组6~10岁；第三 组11~15岁。从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年 龄组动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组动 物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年 龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为 0.5和0.25。假设现有三个年龄段的动物各1000头， 1)建立动物各年龄段数量预测的数学模型； 2)计算5年后、10年后、15年后、20年后各年龄段动物 数量； 3)如果每五年平均向市场供应动物数c=[s1 s2 s3]T，在 20年后农场动物不至灭绝的前提下，c应取多少为好？
问题3. 取参数a =1，b =0.01，c =0，d =0.02。 取初值为x(0)=20，y(0)=20。求该问题的数值 解并作图，结合图形分析两个生物种群数量变 化的规律。
渔业资源是一种再生资源。在渔场中捕鱼从 长远利益来看，既希望能使渔声中鱼量保持 稳定，同时又获得最大捕鱼量和最优的经济 效益。假设如下： (1)无捕捞时，鱼量变化符合Logistic模型； (2)有捕捞时，鱼量变化与捕捞量有关。 记时刻t渔场中的鱼量为x(t)。记渔场资源限制 的最大鱼时为K，鱼的自然净相对增长率为b， 单位时间的捕鱼量与渔场中的鱼量成正比， 比例常数c是捕捞率。在捕捞过程中，渔场中 鱼量满足常微分方程
(1997年全国大学生数学建模竞赛题) 假设某类鱼群按生长的规律被分为四个年龄组，即 一龄鱼、二龄鱼、三龄鱼、四龄鱼.规定每年的前八个 月为捕捞期，后四个月为产卵期.三龄鱼和四龄鱼在每 年 的 9—12 月 产 卵 并 孵 化 . 每 一 条 四 龄 鱼 平 均 产 卵 1.109×10 5，而每条三龄鱼平均产卵数为四龄鱼的一 半。孵化成活率为： 成活的小鱼数 1.221011 鱼卵数 1.221011 鱼卵数 由卵孵化成活的小鱼到了次年的一月成为一龄鱼.各年 龄组的鱼的死亡率均为 ，当年存活下来的一龄鱼到了 次年一月时，将成为二龄鱼。同理，存活下来的二龄 鱼和三龄鱼到了次年一月，分别变为三龄鱼和四龄鱼. 而四龄鱼到年底产卵之后便死亡.已知第一年年初时各 龄鱼的条数
n1
2.verhulst模型（1840） 比利时人口学家verhulst将马尔萨斯模型修改为 P(n +1) = (1+ b) P(n) – c (P(n)) 2 他认为个体的存活机会依赖于自身应付同其它人竞争 冲突的能力。c是竞争冲突常数。 考虑这一模型的数值计算求解。取b = c = 0.1， P(0) = 0.8计算，可以得出人口总数随时间变化逐渐增 大并稳定在一个不变的水平上。如果取P(0)=1.5计算， 可以得出人口总数随时间变化逐渐减少并稳定在同一 水平上。 3.连续形式马尔萨斯模型 设某生物群体的总数N随时间t连续变化（这种假定对 诸如原子、细菌、记忆细胞等总数充分大的群体是合 理的），并设N(t)关于t可微，则马尔萨斯模型可以用 微分方程表示
2.蚂蚁群体问题
蚂蚁群体的死亡率同当时的数目成 正比。如果不出生幼蚁，则在一周 末总数减少一半。然而，由于要产 幼蚁，出生率也同群体总数成正比 变化。并且两周内蚁群总数翻一番。 试确定每周该群体的出生率，将连 续解同用差分方程所得离散解作比 较。
本世纪二十年代，意大利生物学家（D’Ancona）在研 究互相依赖、互相制约的各种鱼类总数增长情况时， 发现在第一次世界大战期间食肉的鱼类占鱼类总数的 百分比急剧增加，他认为这是由于战争时期整个捕鱼 量大大减少的缘故。但是为什么捕鱼量的减少会对食 肉鱼有利呢？生物学家将此问题求教于一位意大利数 学家（Volterra）。 Volterra将鱼分成两类：食用鱼及食肉鱼，分别以x(t) y(t) 表示它们在时刻t时的总数。假定食用鱼有充分的食物， 而食肉鱼是以食用鱼为食物的。 如果不存在食肉鱼，食用鱼x(t)的增长应服从马尔萨斯 模型，但是有食肉鱼的存在，则被食肉鱼吃掉是食用 鱼死亡一个重要原因。两种鱼相遇（发生被吃现象） 机会与两个群体规模乘积成正比，所以在马尔萨斯模 型的基础上增加一项：- bxy，即
1.储蓄问题
银行帐户的钱数增长服从马尔萨斯法则。设b是 利率，令P(n)为第n年开始时帐单上的钱的总数， 则有 P(n + 1) = P(n) + bP(n)= (1 + b)P(n) (1)假设某公司有200万元存在银行，如果以年 计息b=0.04请分别计算一年后、两年后、……、 第六年后银行帐户上的存款数目；如果利息不 变，按月计息b应该为多少？ (2）依照下列利率：1%，2%，5%，7%，13% 按年计息使一笔存款达到本金的两倍分别计算 所用的时间是多久。