多面体与欧拉公式PPT教学课件(1)
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欧拉公式
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
北美驯鹿是可爱的动物，它们在广阔的 草原上生活。可是，它们经常受到狼的威 胁。于是，人们为保护驯鹿，捕杀草原上 的狼，驯鹿的家族繁盛起来。
可是，过了一些年，人们发现草原被驯 鹿糟蹋的很厉害，而且北美驯鹿有时成批 死亡。是什么原因呢？
科学家研究以后发现，北美驯鹿失去了天 敌狼之后，种群扩大了。草场不足，草原被破 坏，而且那些老弱病残的鹿不能被淘汰，加剧 了草场不足的困难。而且，没有狼的追杀，驯 鹿的运动少了，体质下降，因病而死数量增加。
1
2
3
4
图形编号 1 2 3 4
顶点数V 4 8 6 9
面数F 4 6 8 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
充以气体？
充以气体？
1简单多面体：
表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。
棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
2 欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E及面数间F 有关系V+F-E=2
二氧化碳
光 合 作 用
有机物
光 合 作 用
有机物
动物促进生态系统中的物质循环
据估计：在开花植物中，约有84％ 的植物是通过昆虫来帮助它们授粉 的
动物和植物的关系
自然界中的动物和植物在长期生存与发 展的过程中，形成了相互适应、相互依存 的关系
植物： 为各种动物制造营养物质， 并提供栖息场所
问题3:欧拉公式的应用
例2 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个．由根题据意欧有拉顶公点式数，可V=得60，6面0+数（=xx++yy)，－棱12数（E3×= 126（0）3×=260）
3欧拉公式 V+F-E=2 4 欧拉示性数 f(P)=V+F-E
不同类型的多面体欧拉示性数不同 带一个洞的多面体欧拉示性数等于0
5设正多面体的每个面的边数为n，每个顶点连的棱数为m 则 (1) E=nF／2
(2) E=mV／2
6 正多面体只有正四、六、八、十二、二十多面体五种
7 简单多面体各面内角和=(E-F)×3600=(V-2)×3600
于是，人们又把狼“请”了回来。狼还是吃
鹿，为了避免让狼捉到，狼一来鹿就跑，在这 种相互竞争中，鹿的数目不但没有减少，反而 更强壮了。
自然界就是这样的奇妙，狼成了鹿的医生了。
问题 为什么动物的数量不能无限增长呢？
生物与生物之间是相互依赖的，相 互制约的关系。
草
兔
问题1 兔子为什么要吃草
问题2 草（植物）中的营养物质从哪而来
问题3 光合作用所需要的原料
问题4 空气中的水份和二氧化碳会不会被耗尽
产生的能量供 动物生命活动
二氧化碳
分解
光 合 作 用
有机物
动物自身的物质 消化和吸收
动物
产生的能量供 动物生命活动
分解
二氧化碳
动物自身的物质
光
合
作
用
有机物
产生的能量供 动物生命活动
分解
二氧化碳
光 合 作 用
有机物
产生的能量供 动物生命活动
欧拉公式
学习目标
1 了解直棱住及正棱锥的直观图画法、 正多面体的概念、欧拉定理
2 了解正多面体的棱数与每个面的边数、面 数的关系及正多面体的棱数与每一个顶点的 棱数、面数的关系
3 了解欧拉示性数及欧拉公式的简单用途
4了解简单多面体各面的内角和=(E-F)×3600 =( V-2)×3600
新授课 问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
麻雀啄食和糟蹋农作物，曾被 列为主要害鸟。20世纪50～60 年代，我国开展了一场轰轰烈 烈的“剿灭麻雀”的全民运动。
“成果”：
仅一天，上海就消灭麻雀194432只！ 据不完全报道：从3月到11月上旬， 8个月的时间中全国捕杀麻雀19.6亿 只！
通过以上资料的分析，你认为人类能否 随意灭杀某种动物吗？为什么？ 人为的破坏动物的种类和数量，会导致 整个生态系统失去平衡
从而可以看出 动物在自然界有什么作用？
维持生态平衡
在生态系统中，各种生物的数量和 所占的比例总是维持在相对稳定的 状态，这种现象就叫生态平衡。
如果食物链或食物网中某一环节出 了问题，就会使整个生态失衡。
• 疑问：
• 在自然生态系统中，各种 动物的数量能不能无限的 增长？为什么？
“狼医生的故事”
问题2:欧拉公式的应用
例1、有没有棱数是7 的简单多面体？ 解：假设有一个简单多面体的棱数E=7。
根据欧拉公式得 V+F=E+2=9 因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4，所以只有两种 情形：
V=4，F=5或V=5，F=4。 但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有 四个顶点。所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
请支援我们 20万只青蛙，2 万只麻雀和5000条蛇。
疑问1 为什么古老城选择了用
自然方法处理蝗灾？
第三章 动物在生物圈中的作用
第一节 动物在自然界中的作用
疑问2 古老城中的青蛙、麻雀
和蛇都哪儿去了？
当地农民说：“青蛙和蛇对付蝗 虫很管用，可现在青蛙和蛇都让 人吃光了。”
另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即
1（5x+6y)= 1（3×60）
2
2
由以上两个方程可解出 x=12,y=20
答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20 个．
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
北美驯鹿是可爱的动物，它们在广阔的 草原上生活。可是，它们经常受到狼的威 胁。于是，人们为保护驯鹿，捕杀草原上 的狼，驯鹿的家族繁盛起来。
可是，过了一些年，人们发现草原被驯 鹿糟蹋的很厉害，而且北美驯鹿有时成批 死亡。是什么原因呢？
科学家研究以后发现，北美驯鹿失去了天 敌狼之后，种群扩大了。草场不足，草原被破 坏，而且那些老弱病残的鹿不能被淘汰，加剧 了草场不足的困难。而且，没有狼的追杀，驯 鹿的运动少了，体质下降，因病而死数量增加。
1
2
3
4
图形编号 1 2 3 4
顶点数V 4 8 6 9
面数F 4 6 8 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
充以气体？
充以气体？
1简单多面体：
表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。
棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
2 欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E及面数间F 有关系V+F-E=2
二氧化碳
光 合 作 用
有机物
光 合 作 用
有机物
动物促进生态系统中的物质循环
据估计：在开花植物中，约有84％ 的植物是通过昆虫来帮助它们授粉 的
动物和植物的关系
自然界中的动物和植物在长期生存与发 展的过程中，形成了相互适应、相互依存 的关系
植物： 为各种动物制造营养物质， 并提供栖息场所
问题3:欧拉公式的应用
例2 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个．由根题据意欧有拉顶公点式数，可V=得60，6面0+数（=xx++yy)，－棱12数（E3×= 126（0）3×=260）
3欧拉公式 V+F-E=2 4 欧拉示性数 f(P)=V+F-E
不同类型的多面体欧拉示性数不同 带一个洞的多面体欧拉示性数等于0
5设正多面体的每个面的边数为n，每个顶点连的棱数为m 则 (1) E=nF／2
(2) E=mV／2
6 正多面体只有正四、六、八、十二、二十多面体五种
7 简单多面体各面内角和=(E-F)×3600=(V-2)×3600
于是，人们又把狼“请”了回来。狼还是吃
鹿，为了避免让狼捉到，狼一来鹿就跑，在这 种相互竞争中，鹿的数目不但没有减少，反而 更强壮了。
自然界就是这样的奇妙，狼成了鹿的医生了。
问题 为什么动物的数量不能无限增长呢？
生物与生物之间是相互依赖的，相 互制约的关系。
草
兔
问题1 兔子为什么要吃草
问题2 草（植物）中的营养物质从哪而来
问题3 光合作用所需要的原料
问题4 空气中的水份和二氧化碳会不会被耗尽
产生的能量供 动物生命活动
二氧化碳
分解
光 合 作 用
有机物
动物自身的物质 消化和吸收
动物
产生的能量供 动物生命活动
分解
二氧化碳
动物自身的物质
光
合
作
用
有机物
产生的能量供 动物生命活动
分解
二氧化碳
光 合 作 用
有机物
产生的能量供 动物生命活动
欧拉公式
学习目标
1 了解直棱住及正棱锥的直观图画法、 正多面体的概念、欧拉定理
2 了解正多面体的棱数与每个面的边数、面 数的关系及正多面体的棱数与每一个顶点的 棱数、面数的关系
3 了解欧拉示性数及欧拉公式的简单用途
4了解简单多面体各面的内角和=(E-F)×3600 =( V-2)×3600
新授课 问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
麻雀啄食和糟蹋农作物，曾被 列为主要害鸟。20世纪50～60 年代，我国开展了一场轰轰烈 烈的“剿灭麻雀”的全民运动。
“成果”：
仅一天，上海就消灭麻雀194432只！ 据不完全报道：从3月到11月上旬， 8个月的时间中全国捕杀麻雀19.6亿 只！
通过以上资料的分析，你认为人类能否 随意灭杀某种动物吗？为什么？ 人为的破坏动物的种类和数量，会导致 整个生态系统失去平衡
从而可以看出 动物在自然界有什么作用？
维持生态平衡
在生态系统中，各种生物的数量和 所占的比例总是维持在相对稳定的 状态，这种现象就叫生态平衡。
如果食物链或食物网中某一环节出 了问题，就会使整个生态失衡。
• 疑问：
• 在自然生态系统中，各种 动物的数量能不能无限的 增长？为什么？
“狼医生的故事”
问题2:欧拉公式的应用
例1、有没有棱数是7 的简单多面体？ 解：假设有一个简单多面体的棱数E=7。
根据欧拉公式得 V+F=E+2=9 因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4，所以只有两种 情形：
V=4，F=5或V=5，F=4。 但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有 四个顶点。所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
请支援我们 20万只青蛙，2 万只麻雀和5000条蛇。
疑问1 为什么古老城选择了用
自然方法处理蝗灾？
第三章 动物在生物圈中的作用
第一节 动物在自然界中的作用
疑问2 古老城中的青蛙、麻雀
和蛇都哪儿去了？
当地农民说：“青蛙和蛇对付蝗 虫很管用，可现在青蛙和蛇都让 人吃光了。”
另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即
1（5x+6y)= 1（3×60）
2
2
由以上两个方程可解出 x=12,y=20
答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20 个．
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。