第二章 解析函数Analyticfunction第一讲

第二章解析函数

（Analytic function）

第一讲

授课题目：§2.1解析函数的概念

§2.2解析函数与调和函数的关系

教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数

与调和函数的关系.

学时安排：2学时

教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念

2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性

3、了解复变函数导数的定义

教学重点：函数解析的充分必要条件

教学难点：解析函数与调和函数的关系

教学方式：多媒体与板书相结合

P思考题：1、2、习题二：1-12

作业布置：

51

板书设计：一、解析函数的概念

二、函数解析的充分必要条件

三、解析函数与调和函数的关系

参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出

版社.

2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等

教育出版.

3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）

2005年5月.

4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教

育出版社，2008年4月.

课后记事：1、解析函数的概念基本掌握

2、函数解析的充分必要条件掌握不太好

3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活

4、加强课后辅导

教学过程：

§2.1 解析函数的概念

(The conception of analytic function )

一、复变函数的导数（Derivative of complex function ） 定义（Definition ）2.1 设)(z f w =是在0z 的某邻域内有定

义，对于邻域内任一点z z ∆+0.如果

z

z f z z f o z ∆-∆+→∆)()(lim 00 存在有限的极限值复数A ，则称)(z f 在0z 处可导，极限A 称为)(z f 在0z 处的导数，记作)('0z f ，或0

z z dz dw

=. 即

z z f z z f z f z ∆∆∆)()(lim )('0000-+=→

0)z ( |)(|)('0→+=∆∆∆∆z o z z f w 由此可得

()()()dz

z f z df z z f z z f z z f 00000 )()(''=记作

处可微。在处的微分，也称函数在为函数称∆说明：

（1）0→∆z 是按任意方式趋于零；

（2）()();00可微等价在可导与在z z f z z f

()()().z z f z

w z )(;

z z f z z f )(不可导在的极限不存在，称时，当处连续在处可导，则在若000043∆∆→∆ 若)(z f w =是在点0z 连续，但)(z f w =在点0z 不一定可导.

并且在复变函数中处处连续但又处处不可微的函数很多.

例1 设z z f Re )(=. 证明：)(z f 在z 平面上处处连续，但处

处不可导.

y

i x x y i x x x x z z z z z f z ∆+∆∆=∆+∆-∆+=∆-∆+=∆∆)Re()Re(,

对于复平面上任意一点证明 .lim ;0,0;1,00不存在时取纯虚数趋于当时取实数趋于当z f z f z z f z z ∆∆∆∆∆∆∆∆∆→⇒⎭

⎬⎫→→ ()().可导在复平面上任何点都不的任意性，不可导，由于在即z f z z z f 学生课堂练习：z z f =)(在z 平面上处处连续，但处处不可导.

二、 解析函数的概念与求导法则（Resolution and report the concept of function to laws ）

1、解析函数的概念（Analytic function concept ）

定义（Definition ）2.2 如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内

处处可导，则称)(z f 在0z 处解析.

如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数.

.)(,)(上解析在闭区域称那么

上每一点都属内解析，而闭区域在区域如果D z f G D G z f

注1 解析函数这一重要概念，是与区域密切相关的.

注2 )(z f 在区域D 内解析，指)(z f 在区域D 内处处可导.

注3 若函数在一点可导，则函数必然在这点连续.

注 4 函数在一点的可导性是一个局部概念，而解析性是一

个整体概念；

注 5 函数在一点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，

因此在此点可导；反之，在一点的可导性不能得到在这个点解析.

2、导数的四则运算法则（A derivative of the algorithms ）： 设)(z f 和)(z g 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：

)

(')()()(')]'()([)(')('))'()((z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f +=±=± []2)]([)(')()()(')()

(z g z g z f z g z f z g z f -='.

3、复合函数求导法则（Composite function to laws on ）：

设)(z f =ξ在z 平面上的区域D 内解析，

)(ξg w =在ξ平面上的区域1D 内解析，而且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ξ，则复合函数()z h z f g w ==)]([在D 内解析，并且有

)('))(('))]'(([)('z f z f g z f g z h ==

4、反函数的求导法则(Inverse function derivative rule)： 设)(z f w =是在区域D 内解析，且0)(≠'z f ，反函数

()w w f z ϕ==-)(1存在且连续，则 ()()()()w f z f w w z ϕϕϕ'='='=1

1

)(.

5、举例(For example)：