第二章 解析函数Analyticfunction第一讲

第二章解析函数（Analytic function）第一讲授课题目：§2.1解析函数的概念§2.2解析函数与调和函数的关系教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数与调和函数的关系.学时安排：2学时教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性3、了解复变函数导数的定义教学重点：函数解析的充分必要条件教学难点：解析函数与调和函数的关系教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题二：1-12作业布置：51板书设计：一、解析函数的概念二、函数解析的充分必要条件三、解析函数与调和函数的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、解析函数的概念基本掌握2、函数解析的充分必要条件掌握不太好3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活4、加强课后辅导教学过程：§2.1 解析函数的概念(The conception of analytic function )一、复变函数的导数（Derivative of complex function ） 定义（Definition ）2.1 设)(z f w =是在0z 的某邻域内有定义，对于邻域内任一点z z ∆+0.如果zz f z z f o z ∆-∆+→∆)()(lim 00 存在有限的极限值复数A ，则称)(z f 在0z 处可导，极限A 称为)(z f 在0z 处的导数，记作)('0z f ，或0z z dz dw=. 即z z f z z f z f z ∆∆∆)()(lim )('0000-+=→0)z ( |)(|)('0→+=∆∆∆∆z o z z f w 由此可得()()()dzz f z df z z f z z f z z f 00000 )()(''=记作处可微。

在处的微分，也称函数在为函数称∆说明：（1）0→∆z 是按任意方式趋于零；（2）()();00可微等价在可导与在z z f z z f()()().z z f zw z )(;z z f z z f )(不可导在的极限不存在，称时，当处连续在处可导，则在若000043∆∆→∆ 若)(z f w =是在点0z 连续，但)(z f w =在点0z 不一定可导.并且在复变函数中处处连续但又处处不可微的函数很多.例1 设z z f Re )(=. 证明：)(z f 在z 平面上处处连续，但处处不可导.yi x x y i x x x x z z z z z f z ∆+∆∆=∆+∆-∆+=∆-∆+=∆∆)Re()Re(,对于复平面上任意一点证明 .lim ;0,0;1,00不存在时取纯虚数趋于当时取实数趋于当z f z f z z f z z ∆∆∆∆∆∆∆∆∆→⇒⎭⎬⎫→→ ()().可导在复平面上任何点都不的任意性，不可导，由于在即z f z z z f 学生课堂练习：z z f =)(在z 平面上处处连续，但处处不可导.二、 解析函数的概念与求导法则（Resolution and report the concept of function to laws ）1、解析函数的概念（Analytic function concept ）定义（Definition ）2.2 如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析.如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数..)(,)(上解析在闭区域称那么上每一点都属内解析，而闭区域在区域如果D z f G D G z f注1 解析函数这一重要概念，是与区域密切相关的.注2 )(z f 在区域D 内解析，指)(z f 在区域D 内处处可导.注3 若函数在一点可导，则函数必然在这点连续.注 4 函数在一点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注 5 函数在一点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一点的可导性不能得到在这个点解析.2、导数的四则运算法则（A derivative of the algorithms ）： 设)(z f 和)(z g 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：)(')()()(')]'()([)(')('))'()((z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f +=±=± []2)]([)(')()()(')()(z g z g z f z g z f z g z f -='.3、复合函数求导法则（Composite function to laws on ）：设)(z f =ξ在z 平面上的区域D 内解析，)(ξg w =在ξ平面上的区域1D 内解析，而且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ξ，则复合函数()z h z f g w ==)]([在D 内解析，并且有)('))(('))]'(([)('z f z f g z f g z h ==4、反函数的求导法则(Inverse function derivative rule)： 设)(z f w =是在区域D 内解析，且0)(≠'z f ，反函数()w w f z ϕ==-)(1存在且连续，则 ()()()()w f z f w w z ϕϕϕ'='='=11)(.5、举例(For example)：（1）如果a z f ≡)(（复常数），那么0d )(d =zz f ； （2）1d d =z z ，1d d -=n n nz z z ； （3）z 的任何多项式n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平面解析，并且有121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同.三、函数解析的一个充分必要条件（Analytic functions for a full ）可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理（Theorem ）2.1（可微的充要条件）设函数()()y x iv y x u z f ,,)(+=在区域D 内有定义，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的充要条件是：（1）()()y x v y x u ,,与在()y x ,处可微；(2)()()y x v y x u ,,与在()y x ,处满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann ） 条件（简称C-R 方程）xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== . 证明（必要性）设)(z f 在D iy x z ∈+=有导数ib a +=α，根据导数的定义，当D z z ∈∆+时（0≠∆z ）|)(|)()(z o z z f z z f ∆+∆=-∆+α|)(|))((z o y i x ib a ∆+∆+∆+=其中，y i x z ∆+∆=∆.比较上式的实部与虚部，得|)(|),(),(z o y b x a y x u y y x x u ∆+∆-∆=-∆+∆+|)(|),(),(z o y a x b y x v y y x x v ∆+∆+∆=-∆+∆+因此，由实变二元函数的可微性定义知，()()y x v y x u ,,与在()y x ,处可微，并且有a b b a y v x v y u x u ,, ,==-==∂∂∂∂∂∂∂∂即 xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== （充分性）设()()y x v y x u ,,与在()y x ,处可微，，并且有柯西-黎曼方程成立：xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== 设, ,b a x v x u ==∂∂∂∂则由可微性的定义，有：|)(|),(),(z o y b x a y x u y y x x u ∆+∆-∆=-∆+∆+|)(|),(),(z o y a x b y x v y y x x v ∆+∆+∆=-∆+∆+令y i x z ∆+∆=∆，当D z z ∈∆+（0≠∆z ）时，令ib a +=α，有 |)(|)()(z o z v i u z f z z f ∆+∆=∆+∆=-∆+α|)(|))((z o y i x ib a ∆+∆+∆+=则有 αα=∆∆+=∆-∆+→∆→∆)|)(|(lim )()(lim 00zz o z z f z z f z z所以，)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的.且说明：（1）解析函数的导数形式：（2）C-R 条件是复变函数可导的必要条件而非充分条件.例2 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+==+000),(),(222222y x y x y x v y x u y x xy 取方程：满足在点，则令R C y x v y x u y x iv y x u z f -+=)0,0(),(),,(),(),()( 0 0=-===∂∂∂∂∂∂∂∂x v y u y v x u.z )z (f ,z )z (f ),()y ,x (v )y ,x (u 不可导在从而连续不在不连续，所以复变函数在点、但0000== 定理（Theorem ）2.2设函数()()y x iv y x u z f ,,)(+=在区域D 内有定义，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：（1）()()y x v y x u ,,与在D 内可微；(2) ()()y x v y x u ,,与在D 内满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann ）条件（简称C-R 方程）xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== 推论 设函数()()y x iv y x u z f ,,)(+=在区域D 内有定义，则)(z f 在区域D 内解析的充分条件是：(1)()()y x v y x u ,,与的偏导数在D 内连续；(2)()()y x v y x u ,,与在D 内满足柯西-黎曼条件,简称C-R 方程xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== 例3 讨论函数()z z f Re =的可导性与解析性.，且，）因为解（01==v x u ，，，0 0 0 1====∂∂∂∂∂∂∂∂yv x v y u x u, .,z Re w R C 从而不解析不可导在整个复平面内处处立，因此方程在整个复平面不成所以=- 学生课堂讨论：讨论函数()2z z f =的可导性与解析性. 解 ()222y x z z f +==，所以 0),(,),(22=+=y x v y x y x u0,2,2====y x y x v v y u x u显然上述四个偏导在整个复平面上连续由R C -条件⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==000202y x y x ()2z z f =故只在0=z 处可导，从而在复平面上处处不解析. 例4 讨论函数()y ie y e z f x x sin cos +=的可导性与解析性解 因为y e v y e v y e u y e u yie y x v y e y x u x y x x x y x x x x cos ,sin ,sin ,cos sin ),(,cos ),(==-====上述的四个偏导数在整个复平面上连续，并且满足C-R 方程：xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== 所以函数()y ie y e z f x x sin cos +=在整个复平面处处可导，故也处处解析，并且有()()z f y ie y e xv i x u z f x x =+=∂∂+∂∂='sin cos 即 ()z z e e =' 例5 设)(z f 在区域D 内解析，证明：若)(z f 满足下列条件之一，则)(z f 在D 内为常数：（1）对每一个D z ∈，有)(z f '=0（2）)(Re z f 或)(Im z f 在D 内为常数（3）)z (f 在D 内为常数（4）)(z f 在D 内解析（5）)(z f 恒在D 内为实数（6）)(arg z f 在D 内为常数证明 注意：在区域D 内，若0====y x y x v v u u ,则在D 内v u ,为常数(1)由0====y x y x v v u u则在D 内v u ,为常数，从而)(z f 在D 内为常数.(2) 由)(Re z f 在D 内为常数，故0==∂∂∂∂yu x u，已知)(z f 在区域D 内解析，由R C -方程可知0==∂∂∂∂y v x v，则在D 内v u ,为常数，从而)(z f 在D 内为常数.同理，由)(Im z f 在D 内为常数，可证)(z f 在D 内为常数. (4) 设iv u z f +=)(,因为()z f 在D 内为解析，所以xv y u y v xu∂∂∂∂∂∂∂∂-== (1)因()iv u z f -=在D 内为解析，所以x v yu yv xu∂-∂∂∂∂-∂∂∂-==)()( （2）由（1）和（2）式得 ：0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yv x v y u x u 故)(z f 在D 内为常数. 本节重点掌握：（1） 复变函数解析与可导的关系；（2）解析函数的实部和虚部不是完全独立的，它们是C-R 方程的一组解.（3）函数在哪一点不满足C-R 方程，函数在那一点不可微.函数在哪个区域不满足C-R 方程，函数在那个区域不解析.§2.2 解析函数与调和函数的关系（The relation of analytic function and harmonic function ）一、调和函数的概念(The concept of harmonic functions) 定义（Definition ）2.3 如果二元实函数()y x ,ϕ在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程()0,=∆y x ϕ,则称()y x ,ϕ为区域D 内的调和函数.调和函数常出现在诸如流体力学、电学、磁学等实际问题中. 定理（Theorem ）2.3 若()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内解析,则在区域D 内()y x u ,与()y x v ,都是区域D 内的调和函数.证明：因()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内解析，所以()y x u ,与()y x v ,在区域D 内满足R C -方程x v y u y v x u∂∂∂∂∂∂∂∂-==在上述二式子分别对y 与x 求偏导数：222222x v xy u y v yx u∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-==因为xy u yx u ∂∂∂∂∂∂=22，于是有0222222=-=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂xy u yx u y v x v即()y x v ,是区域D 内的调和函数，同理()y x u ,也是区域D 内的调和函数.注意：此定理的逆不一定成立.共轭调和函数(Conjugate harmonic function)定义（Definition ）2.4 在区域D 内满足R C -方程x v y u y v x u∂∂∂∂∂∂∂∂-==的两个调和函数()y x u ,,()y x v ,中, ()y x v ,称为()y x u ,在区域D 内的共轭调和函数.由上面的讨论,我们已经证明了:定理（Theorem ）2.4若()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内解析的充分必要条件是在区域D 内,则在区域D 内()()()y x iv y x u z f ,,+=的虚部()y x v ,必为实部()y x u ,的共轭调和函数.注1：由此定理，利用一个调和函数和它的共轭调和函数作一个解析函数.二、解析函数与调和函数的关系（Analytic functions and functions of the relationship between ）.)y ,x (u u )y ,x (v D D )y ,x (iv )y ,x (u )z (f 的共轭调和函数必为内在内解析在=⇔+=.u v ,v ,u v u ,v u :R C D x y y x 的共轭调和函数必为的两个调和函数方程内满足在-==-现在研究反过来的问题：.D iv u ,D v ,u 内就不一定解析在则内的两个调和函数是任意选取的在区域若+例如.的共轭调和函数不是y x u y x v +=+=()()。