怎样寻找相似三角形

怎样寻找相似三角形

证明线段的比例式（或等积式）的常用方法是利用相似三角形，但不少同学证题时，不会寻找相似三角形，特别是当图形比较复杂时，更感到眼花缭乱，无从下手．为帮助同学们正确快速寻找相似三角形，本文介绍几种策略．

一、三点定型法

基本方法就是找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论．

例1 如图所示，AD 是直角三角形ABC 斜边上的高，DE⊥DF，且DE 和DF 交AB 、AC 于E 、F ． 求证：.AF BE AD BD

=

二、等线段代换法

有时求证比例式中的四条线段都在图形的同一条直线上，不能组成三角形，或即使四条线段能构成两个三角形，但这两个三角形根本不相似，这时，我们可以根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替，再用三点定型法确定相似三角形．

例2 如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE⊥AC

且交AC 于F ，过F 作FG∥AB，交AE 于G ．

求证：AG 2=AF ⋅FC ．

三、等式代换法

当用三点定型法不能确定三角形，或虽然能确定三角形，但这两个三角形不可能相似，同时也无等线段代换时，可考虑用等比代换法，即用“中间比”进行转换，然后再用“三点定型法”确定三角形．

例3 如图，在ABC △中，090BAC ∠=，AD BC ⊥，E 为AC 中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：::AB AC DF AF =．

参考答案

例1：

分析：横找：这两个比的前项中的线段AF、BE有四个不同端点，不能构成三角形；竖找：这个等式左边的线段AF、AD有三个不同的端点，构成⊿AFD，右边的线段BE、BD的三个端点，构成⊿BED，于是只要证明⊿AFD∽⊿BED就行了，易证∠1=∠B，∠2=∠3，证明略．

例2：

分析：欲证AG2=AF⋅FC，只要证AG FC

AF AG

=，应用三点定型法，定不出两个三角

形，此路不通．但由已知条件可先证明BF=AG（由ADF

△≌BCE

△，得AE=BE，由

//

GF AB，得AG=BF），试把BF代换AG，得BF FC

AF BF

=，由这个比例式可定出ABF

△

和BCF

△，显然Rt ABF

△∽BCF

△，证明略．

例3：

分析：用“三点定型法”确定ABC

△和ADF

△，但它们不会相似，也无等线段

可代换，于是考虑等比代换．不难发现AB BD

AC AD

=，此时只要证

DF BD

AF AD

=，用三点

定型法可确定FDB

△和FAD

△，从而需证FDB

△∽FAD

△，只要证123

C

∠=∠=∠=∠，证明略．