二次函数的数形结合归纳

二次函数的数形结合
一、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）顶点坐标)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a
b x 2-= 当a
b x 2-=时，函数有最大(小)值为a b a
c 442- 抛物线的开口方向和大小 a 的符号，︱a ︱越大开口越小 抛物线的形状相同
︱a ︱相同
对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号
对称轴在y 轴右侧 a ，b 异号
正半轴 c ＞0
与y 轴的交点（0，c ）位置 原点 c=0
负半轴 c ＜0
与x 轴的交点的横坐标 ax 2+bx+c=0 的解
抛物线与x 轴有两个交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＞0
抛物线与x 轴有一个交点 顶点在x 轴上 抛物线与x 轴没有交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＜0
抛物线的顶点在y 轴上 b=0
抛物线的顶点在原点
3个交点 △＞0，c △＞0，c=0
抛物线与坐标轴有 2个交点
△=0，c ≠0 △＜0
1个交点
b=c=0
函数值恒为正（无论x 取何值，y 始终为正） a ＞0，△＜0 函数值恒为负（无论x 取何值，y 始终为负） a ＞0，△＜0 X 轴的对称抛物线是 y=-ax 2-bx-c 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）关于 Y 轴的对称抛物线是 y=ax 2-bx+c
原点的对称抛物线是 y=-ax 2+bx-c
抛物线在x 轴上截得的线段长度—————︱x 1-x 2︱=a
ac b 42- a ≠0；△=b 2-4ac=0
二、顶点式：y=a(x+m)2+k(a ≠0)的顶点是（－m ，k ），对称轴是x =－m. 当x =－m 时，函数有最大(小)值为 k
考虑平移时一般要用顶点式，平移规律是
抛物线y=a(x+m)2+k 关于x 轴y 轴或原点的对称抛物线——————关键是找到对称抛物线的顶点坐标和a 即可
如y=2(x+2)2-3关于x 轴的对称抛物线——
关于x 轴的对称抛物线——
关于原点的对称抛物线——
顶点在一定在什么特殊的函数上-------如何处理
三、交点式（两根式）：))((21x x x x a y --=，其中21,x x 是c bx ax ++2=0的两个实数根，图象与x 轴的两个交点坐标为（ ， ）和 （ ， ），对称轴是直线x= 图像上纵坐标相等的点关于对称轴对称
如（2,5），（-4,5）在图像上 对称轴是直线x=
1242-=- 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于（x 1,0），（x 2,0）
ax 2+bx+c ＞0——————
抛物线))((21x x x x a y --=关于x 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ---=
抛物线))((21x x x x a y --=关于y 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ++= 抛物线))((21x x x x a y --=关于原点的对称抛物线—— a ＞0———— a ＜0————。