高中数学经典解题技巧和方法：三角变换与解三角形

高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形

一、三角变换及求值

解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形 （1）21sin (sin

cos )22

α

α

α±=±； （2）角的变换()βααβ=--；

（3）22sin cos sin()a b a b θθθϕ+=++。

2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型： （1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； （2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； （3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。

例1：已知向量)2,1(),cos ,(sin -==n A A m ,且0=⋅n m

(Ⅰ)求tan A 的值； (Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域 解析：（Ⅰ）由题意得m ·n=sinA-2cosA=0, 因为cosA ≠0,所以tanA=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

2213

()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).

22f x x x x x x =+=-+=--+

因为x ∈R,所以

[]

sin 1,1x ∈-.当

1sin 2x =

时，f(x)有最大值3

2，

当sinx=-1时，f(x)有最小值-3

所以所求函数f(x)的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦ 二、正、余弦定理的应用

解题技巧：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。

2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，

若有求角问题，应尽量避免求正弦值。

例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且

2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++

（Ⅰ）求A 的大小；

（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.

【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。 【思路点拨】（I ）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角

（II ）由（I ）知角C ＝60°-B 代入sinB+sinC 中，看作关于角B 的函数，进而求出最值

【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2

2(2)(2)a b c b c b c =+++

即 2

2

2

a b c bc =++ 由余弦定理得 2

2

2

2cos a b c bc A =+- 故 1

cos 2

A =-

，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得：

sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-31

cos sin 22

sin(60)

B B

B =

+=︒+ 故当B ＝30°时，sinB+sinC 取得最大值1。 【方法技巧】

(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a 替换sinA ，用b 替换sinB,用c 替换sinC 。sinA,sinB,sinC

的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。 (2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C ＝60° 三、三角函数的实际应用

例3：（2010·江苏高考·Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？

【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 【思路点拨】（1）分别利用,,H αβ

表示AB 、AD 、BD ，然后利用AD —AB=DB 求解；

（2）利用基本不等式求解.

【规范解答】（1）tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan H AB α=，tan h BD β=。

AD —AB=DB ，故得

tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24

124tan tan 1.24 1.20

h H αβα⨯===--。

因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。 （2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h

d AD DB d

αβ-=

===

， 2tan tan tan()()

1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d

αβαβαβ--

--====

--+⋅+-+⋅+ ()2()H H h d H H h d

-+

≥-，

（当且仅当()125121555d H H h =-=⨯=时，取等号）

故当555d =时，tan()αβ-最大。 因为02

π

βα<<<

，则02

π

αβ<-<

，由tan y x =的单调性可知：当555d =时，α-β最大。

故所求的d 是555m 。

例4．（2010·福建高考文科·Ｔ2）计算2

12sin 22.5-的结果等于（ ）

A.

1

2

B.22

C.33

D.32

【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。 【思路点拨】 直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。 【规范解答】选B ，()()2

2

12sin

22.5cos 452

-==

。 【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式：sin 2x 2sin x cos x =⋅，2222cos 2x 12sin x 2cos x 1cos x sin x =-=-=-的逆用公式为“降幂公式”

，即为1sin x cos x sin 2x 2⋅=，221cos 2x 1cos 2x

sin x ,cos x 22

-+==，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着

重要的作用。

例5．（2010 •海南宁夏高考•理科T16）在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，BD=1

2

DC,ADB ∠=120°，AD=2，若ADC ∆的面积为33-，则BAC ∠= .

【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.

【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.