360高等数学A答案
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参考答案
一、填空题（4分×6＝24分）
1. 1
2.)0(f '
3.)sin cos (212x c x c e y x
+= 4.[2,4] 5. 0 6.负号
二.选择题（4分×6＝24分）
1. D
2. C
3. B
4. B
5. B
6. B 三.（10分）
解：令n
a f n a f y ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡
+=)()1(，则
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
-+⋅=)(ln )1
(ln ln a f n a f n y ……………….2分
=∞
→y n ln lim =-+
∞
→n
a f n
a f n /1)
(ln )1
(ln lim
x
a f x
a f x /1)(ln )1
(ln lim
-+
∞
→………………4分
x
t 1=
t a f t a f t )
(ln )(ln lim
-+∞
→a t t f ='=|])([ln ……………………6分
)
()(|)()
(1a f a f t f t f a t '=
'=
= ………………………………………………8分
故 原极限＝)
()
(ln lim ln lim a f a f y
y
n e
e e
n '∞
→==→∞
………………………………………………10分
四.（10分）
解：3
2
3
13
2t dx x t S t
=
-
=⎰
……………………………………………………2分
3
13
2)1(2
32
1
22+
-=
--=
⎰
t t t t dx x S t
…………………………………………………… 4分
3
13
4)(2
3
21+
-=
+==t t S S t S S ，)10(≤≤t
则t t s 242
-=' ……………………………………………………6分 令0='s ，得2
1=t ……………………………………………………8分
比较4
1)21
(=
S ，3
1)0(=S ,3
2)1(=
S 大小可知：
当2
1=
t 时，阴影部分面积1S 与2S 之和最小；………………………………………………9分
当1=t 时，阴影部分面积1S 与2S 之和最大. ………………………………………………10分 五、（12分）
解：（1）若a 为f(x)的极值点，存在而)(,0x f a '≠，则由极值必要条件定理知
0)(='a f …………………………………………………………………2分
故a
e a
f a e a f a e a f ae
a f a a
a
a a f -=
''≠-=''-='+'''1)(),0(1)(,1)]([9)(2)
(即………4分
则无论a ＞0或a ＜0,都有点为极大值在故a x f a f )(,0)(<''…………………………6分
（2）若f(x)在X=0点有极值， 由点连续在点连续，知
在0)(0)(='=''x x f x x f ………………………………………7分
又因为11
lim
1lim
-=-=-→→x
x x
x e x
e ……………………………………………………………8分
所以在方程01)]([9)(2
)
(→-=
'+'''x x
e x
f e
x f x
x f 中令
得1)]0([9)0(2
)(-='+'''f e
f x f ……………………………………………………………10分 由极值必要条件定理知01)0(,0)0(<-=''='f f 故 因此的极大值点是)(0x f x =………………………………………………………………12分
六.（10分）
证明：对于任意数λ，显然0)]()([2
≥+x g x f λ，故………………………………………2分
⎰⎰⎰+=+b
a
b
a
b
a
dx x g x f dx x g
dx x g x f )()(2)()]
()([2
2
2
λλ
λ0)(2
≥+
⎰
b
a
dx x f …………….4分
上式是一个关于λ的一元二次不等式，其中⎰≥b
a
dx x g 0)(2
，为使不等式成立，必满足.6分
⎰⎰
⎰≤-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡b
a b
a
b a dx x f dx
x g dx x g x f 0)()(4)()(22
2
2
………………………………………10分
即