2015年英国数学奥林匹克试题及其解答

99 ≥ j＞i + 1时，有 (j − 1) − (i − 1)，(j − 1) − (i − 1) = j − i＞1，故P 、P 不能相互看 到。且显然无三点共线。
s − 98，t − 98 = 1
最后，我们只需选取合适的P s，t ，使得
s − 0，t − 0 = 1 ，且无三
线共点。
s − i，t − i ＞1，1 ≤ i ≤ 97
M＞N ⇔ ( ) ( ) ＞ ( ) ( ) ⇔ f(−1)＜0
⇔ (b − a )(b − a ) … (b − a )＜0 也就等价于“恰有奇数个b ＜a ”，也即为“有奇数个班级男生比女生多”。
综上所述，命题得证。
三、如图，⊙O、⊙P 内切于 A，⊙O 的一条动弦 BC 与⊙P 相切，求证：△ABC 的内心 轨迹也是一个圆，且与⊙O、⊙P 切于点 A。
A
P
O
C
B
证明：如图，设⊙O、⊙P 半径分别为R、r。设 BC 切⊙P 于 T，延长 AT 交⊙O 于 K，由 于⊙O、⊙P 关于点 A 位似，故 K 为弧 BC 中点，且 = 。进而知△ABC 的内心 I 在 AK 上， 且KB = KC = KI。又KI = KB = KT · KA = (AK − AT) · AK = · AK · AK，故
文武光华
2015 年英国数学奥林匹克试题及其解答
解答人：文武光华数学工作室 田开斌
一、数列{x }：x = 2014，x = √
√
，求x 的值。
解答：易知tan = √2 + 1。设x = tan θ ，n ∈ N ，则
tan θ = x = √
√
·
=
=−
= tan θ −
于是知θ = θ − 。故θ = θ − × 2014 = θ − 。于是知
任取素数100＜p ＜p ＜ … ＜p ，根据中国剩余定理，同余方程组 x ≡ 1(mod 98)
x ≡ i(mod p )，i = 1、2、 … 、97
有无穷多组整数解。任取其一个正整数解x = s，则p |(s − i)（i = 1、2、 … 、97），且
s − 98，s = 98，s = 98，1 = 1， s，p = i，p = 1， s − 98，p =
x = tan θ = tan θ −
= tan θ −
=
=
·
综上所述，知x
( ) =−
·( )
=− 。
二、一所学校有奇数个班级，每个班级有奇数名学生。每个班选出一个学生组成校队， 求证以下两个命题是等价的：
（1）校队中有奇数个男生的选法比有奇数个女生的选法多； （2）有奇数个班级男生比女生多。
证明：设有n个班级，第k（k = 1、2、 … 、n）个班级中有a 名男生，b 名女生。令
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综上所述，上述构造的P 、P 、 … 、P 即是一个长为100的圈。
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i − 98，p = 1。也即s、s − 98、p 、p 、 … 、p 两两互素。于是根据中国剩余定理， 同余方程组：
y ≡ 98 + 1(mod s − 98) y ≡ 1(mod s)
y ≡ i (mod p )，i = 1、2、 … 、97 有无穷多组正整数解。取其一个合适的正整数解y = t，使得点P s，t 不在P 、P 、 …、 P 中任两点的连线上（事实上，P 、P 、 … 、P 两两的连线与直线x = s只有有限个交点， 因此可以取一个合适的t，使得格点 s，t 不在这些直线上）。此时 s − 98，t − 98 = s − 98，1 = 1； s − 0，t − 0 = s，1 = 1；p | s − i，t − i ，即 s − i，t − i ＞1 （1 ≤ i ≤ 97）。
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KI =
· AK。于是知 =
= 1 − 。这即说明点 I 的轨迹与⊙O 关于点 A 位似，
故点 I 的轨迹也是一个圆，且与⊙O、⊙P 切于点 A。
A
P
I
O
C
T
B
K
四、给定两个格点P、Q，如果线段PQ内没有其它格点，我们称P、Q可以相互看到。 若n个格点P 、P 、 … 、P 满足以下条件，我们称它们构成一个长为n的圈：
f(x) = (a x + b )(a x + b ) … (a x + b )
（*）
容易知道，f(x)的奇次项系数之和为“校队中有奇数个男生的选法种数”，记为M；偶
次项系数之和为“校队中有偶数个男生的方法种数”，注意到校队中共有奇数名学生，故
也即是“有奇数个女生的方法种数”，记为N。 因为M = ( ) ( )，N = ( ) ( )，故
（1）对于1 ≤ i ≤ n − 1，P 、P 可以相互看到，同时P 、P 也可以相互看到； （2）若1 ≤ i、j ≤ n，|j − i|＞1，则P 、P 不能相互看到； （3）没有三点共线。 问是否存在长为100的圈。（2015 年英国数学奥林匹克试题） 解答：根据定义，格点 a，b 、 c，d 可以相互看到的充要条件为 a − c，b − d = 1。 为简单起见，我们先取点P k − 1，(k − 1) （k = 1、2、 … 、99）。 对于1 ≤ i ≤ 98，有 (i + 1) − i，(i + 1) − i = 1，即P 、P 可以相互看到；而当