第十五章 量子物理 习题解答

n=1: E1 = −13.6ev
n=2:
E2
=
E1 22
=
−3.4ev
≈
−5.44 ×10−19
J
n=4 n=3
n=3:
E3
=
E1 32
=
−1.51ev
≈
−2.416 ×10−19
J
n=4:
E4
=
E1 42
=
−0.85ev
≈
−1.36 ×10−19
J
n=2
跃迁谱线波长 λ = c = hc ，则虚线光谱的波长分别为 ν ∆E
ν1 −ν 0 = Ua1 = 2 ，整理后的答案 C。 ν 2 −ν 0 Ua2
15.4 光电效应和康普顿效应都包含有光子和电子的相互作用过程。对此，下面几种说法中 正确的是【D】
（A）两种效应中电子和光子组成的系统都服从动量守恒定律和能量守恒定律； （B）两种效应都相当于电子和光子的弹性碰撞过程； （C）两种效应都属于电子吸收光子的效应； （D）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于光子和电子的弹性碰撞过程。 分析：光电效应与康普顿效应的物理本质是相同的，都是个别光子与个别电子的相互作用。 但二者有明显差别。其一，入射光的波长不同。入射光若为可见光或紫外光，表现为光电效应； 若入射光是 X 光，则表现为康普顿效应。其二，光子和电子相互作用的微观机制不同。在光电
=
3 2
kT
，
动量
p2
= ( mv )2
=
1 mv2 ⋅ 2m = 2
Ek
⋅ 2m ，德布罗意波长 λ
=
h p
=
h Ek ⋅ 2m
注意：动能 Ek = p2 2m 同样适用于非相对论性的微观粒子（低速运动）。
15.10 能量为 19.2ev 的光子，被处于基态的氢原子吸收，使氢原子电离并发射一个光电子，
2
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§15.4 ～15. 7
15.7 根据波尔的氢原子理论，氢原子在 n=5 轨道上的角动量与其在第一激发态的轨道上的
角动量之比为【B】
（A）5；
（B）5/2；
（C）5/3；
（D）5/4。
分析：根据波尔的氢原子理论，氢原子的轨道角动量 L = n h ，第一激发态（n=2），由题 2π
意可得答案 B。
15.8 关于不确定关系 ∆X∆Px ≥ ，下面说法中正确的是：【D】
（1）粒子的动量不可能确定； （2）粒子的坐标不可能确定； （3）粒子的动量和坐标不可能同时确定； （4）不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其他粒子。
（A）（1），（2）； （B）（2），（4）； （C）（1），（4）； （D）（3），（4）。 分析：见第十五章复习提纲 P.41“不确定关系的物理意义”
=
− 13.6 ev ，则需要吸收的能量为： n2
∆E
=
En
−
E1
= 13.6(1−
1 n2
)
≤ 12.9eV
，得
n
≤
4.4
，由此可知基态氢原子最高可被激发到
n=4
的激
发态。
（2）可能发出的谱线一共有 6 条，如图所示，其中属于巴耳末系（从各激发态向第一激发
态 n=2 的跃迁）的有两条，如图中虚线所示（见第十五章复习提纲 P.34 图）。
≈ 230nm 。
15.6 波长为 0.01nm 的 x 射线在石墨上发生康普顿散射，今在散射角为 90º 的方向上观察到
散射光。求：（1）散射 x 光线的波长；（2）反冲电子的动能和动量大小。
解：波长改变量为 ∆λ = h (1− cosθ ) = h = 0.0024nm （电子的康普顿波长）
m0c
15.2 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出功电势为 U0（使电 子从金属表面逸出需做功 e U0），则此单色光的波长 λ 必须满足【B】
（A） λ ≥ hc ； （B） λ ≤ hc ； （C） λ ≤ eU 0 ；
eU 0
eU 0
hc
（D） λ ≥ eU 0 。 hc
分析：光电效应方程 hν
分析：见第十五章复习提纲 P.59
15.17 一电子被限制在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，其波函数为
= φ2 (x)2 sin 2π x, (0源自< x < a) aa
求：（1）出现粒子概率最大处的坐标；（2）出现粒子概率为零处的坐标。
解：概率密度
ϕ2 (x)
2
=
2 sin 2 a
2πx , (0 a
a a
2
见第十五章复习提纲 P.52 图（n=2 的情况）
6
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§15.1 ～15. 3
15.1 若某黑体的温度 T 提高一倍，则其辐出度提高 15 倍，其辐射谱峰值波长减少 0.5 倍。 分析：见第十五章复习提纲 P.6“斯特藩-玻耳兹曼定律”和“维恩位移定律”。 总辐出度与温度的四次方成正比，因此温度 T 提高一倍（变为 2T），辐出度变为 24=16M(T)， 即提高了 15 倍；而辐射谱峰值波长与温度成反比，温度 T 提高一倍（变为 2T），峰值波长 λ 变 为 1/2 λ ，减少了 0.5 倍。
p Ek ⋅ 2m0
15.11 用动能为 12.9ev 的电子轰击基态氢原子，试问：（1）氢原子最高将被激发到哪个能 级？（2）受到激发的氢原子向低能级跃迁时可能发出哪些谱线（在能级图上画出）？其中属于 巴耳末线系的有几条？其波长各为多少？
解：（1）设基态氢原子能被激发到能级 En， En
=
E1 n2
；
根据狭义相对论 ( mc2 )2 = p2c2 + ( m0c2 )2 ，且 mc2 = Ek + m0c2
则反冲电子的动量为 p = Ek 2 + 2m0c2Ek ≈ 8.5×10−23 kg ⋅ m / s c
计算中取电子静质量 m0 = 9.11×10−31kg
（本题还可根据动量守恒分别求出电子 x 和 y 方向的分动量，由矢量合成求解总动量，过程略）
=
1 mv2 2
+W
，根据题意可知 hν
≥W
= eU0 ，即能产生光电效应的单
色光的频率需满足ν ≥ eU0 ，再由 λ = c 可求波长 λ 满足的条件。
h
ν
15.3 用频率为 ν 1 和 ν 2 的两种单色光，先后照射某金属表面时均能产生光电效应，若该金
属的截止频率为 ν 0，测得两次照射时的遏止电压为 U a1 = 2U a2 ，则 ν 1 和 ν 2 的关系为【C】
λ32
=
hc E3 - E2
≈ 658nm ； λ42
=
hc E4 - E2
≈ 488nm 。
n=1
§15.8～15. 9
15.12 提出概率波遵循的动力学方程的科学家是【C】 （A）海森堡； （B）德布罗意； （C）薛定谔； （D）玻恩。
分析：量子力学中描述微观粒子运动状态的方程为薛定谔方程。其解为描述微观粒子运动 的概率波波函数。
表面上进行光电效应实验。
求：（1）光电子的最大初动能；（2）遏止电压；（3）钨的红限波长。
解：（1）由光电效应方程 hν
=
1 mv2 2
+W
可知，光电子的最大初动能
Ek
= hν
−W
。其中逸
出功 W
=
5.4eV
，则
Ek
=
hν
−W
=
h
c λ
−W
=
6.63×10−34 × 3×108 200 ×10−9 ×1.6 ×10−19
15.15 按量子力学理论，当氢原子中电子的轨道角动量 L= 6 时，其角量子数为 2 ；轨
道角动量在外磁场方向的投影
Lz
可能取的各个值为
0，±
，±
2 （其中
=
h
2π）。
分析：见第十五章复习提纲 P.57 例题
15.16 主量子数 n=4 的量子态中，角量子数 l 的取值可能为 0,1,2,3 ；磁量子数 ml 的可能取 值为 0，±1，± 2，± 3 。
求此光电子的德布罗意波长。
解：处于基态的氢原子能量 E1 = −13.6eV （基态能量，电离能）。当处于基态的氢原子中的 电子吸收光子全部能量后，飞出原子具有的初动能为 Ek = 19.2eV −13.6eV = 5.6eV ，根据狭义相
对论 ( mc2 )2 = p2c2 + ( m0c2 )2 ，且 mc2 = Ek + m0c2 ，得到 p = Ek 2 + 2m0c2Ek c 。于是德布罗意
4
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15.13
设描述微观粒子的波函数为ψ (r, t) ，则ψψ ∗
=ψ
2
表示
t 时刻粒子出现在 r 处的概
率密度（或单位体积内出现的概率） ，ψ (r, t) 应满足的条件是 单值、连续、有限、可归一化 ，
2
∫ 其归一化条件是 Ψ dV = 1 。
分析：见第十五章复习提纲 P.43
（A）ν 1 = ν 2 -ν 0； （B）ν 1 = ν 2 +ν 0； （C）ν 1 =2 ν 2 -ν 0； （D）ν 1 = ν 2 -2ν 0。
分析：光电效应方程
hν
=
1 2
mv2
+W
，根据题意可知 W
=
hν 0
，电子的初动能
1 2
mv2
=
eU
。
于是得到下面的两个方程： h(ν1 −ν 0 ) = eUa1 和 h(ν 2 −ν 0 ) = eUa2 ，两式等号两边分别相除得到
m0c
（1）散射的 x 光的波长为 λ = λ0 + ∆λ = 0.01+ 0.0024 = 0.0124nm ；
（2）光子与自由电子的相互作用为弹性碰撞，因此能量守恒，光子能量的损失全部转化为
自由电子的动能，因此反冲电子获得的动能
Ek
=
h(ν 0
−ν
)
=
hc(
1 λ0
−
1 λ
)≈
3.85×10−15 J
15.14 已知粒子在一维无限深方势井中运动，其波函数为：ϕ(x) = 1 cos 3π x （-a< x < a ） a 2a
则粒子在 x=a/6 处出现的概率密度为：【A】 （A）1/2a； （B）1/3a； （C）1/4a； （D）1/5a。 分析：概率密度 P =|ϕ( x )|2 = 1 cos2 3π x ，代入粒子坐标可得答案 A a 2a
波长 λ = h = p
hc Ek 2 + 2m0c2Ek
≈ 5.2 ×10−10 m 。（ m0 = 9.11×10−31kg ，单位换算
1eV = 1.6 ×10−19 J ）
3
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讨 论 ： 本 题 电 子 的 动 能 Ek = 5.6eV ≈ 8.96 ×10−19 J ， 静 止 能 量 E0 = m0c2 ≈ 8.2 ×10−14 J ， Ek << E0 ，即光电子的速度较真空光速小，可以近似用非相对论的动能和动量关系 Ek = p2 2m0 ， 得 λ = h = h ≈ 5.2 ×10−10 m 。注意与题 15.6 的不同！
<
x
<
a) ，根据题意得
5
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（1）当 2 sin 2 2πx = 1时，x 为出现粒子概率最大处的坐标，即 x = a 或 3a ；
a a
44
（当不知道概率密度的最大值时，可以通过数学中求函数极大值的方法求解）
（2）当 2 sin2 2πx = 0 时，出现粒子概率为零处的坐标为 x = a .（注意 0 < x < a ）
eV
− 5.4eV
≈
0.8ev 。
（注意 hν 的单位为焦耳（J），需进行单位换算： 1eV = 1.6 ×10−19 J ，第 3 问雷同）
（2）遏止电压 U 0
=
Ek e
=
0.8eV e
= 0.8V
（3）截止频率ν 0 = W
h
，则根据
λ0
=
c ν0
可知红限波长
λ0
=
hc W
=
6.63×10−34 × 3×108 5.4 ×1.6 ×10−19
1
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效应中，电子吸收光了的全部能量，从金属中射出，在这个过程中只满足能量守恒定律（光电 子逃逸原子时需要克服原子力做的逸出功，此时外力不为零，动量不守恒）；而康普顿散射是光 子与电子（特别是外层自由电子，近似不受原子核力的作用）作弹性碰撞，遵循相对论能量、 动量守恒定律。
15.5 从钨金属中移出一个电子需要 5.4ev 的能量。现用波长为 200nm 的紫外光投射到钨的
15.9 设氢原子的动能等于氢原子处于温度 T 时的热平衡态时的平均平动能，设氢原子的质
量为 m，此氢原子的德布罗意波长为【B】（不考虑狭义相对论）
h
h
h
h
（A）
； （B）
； （C）
； （D）
。
2mkT
3mkT
5mkT
6mkT
分析：氢原子为单原子，其平动自由度为
3，根据能量均分定理可知平均平动能
Ek