微专题 反比例函数中的面积问题

第5题图
6. 如图，反比例函数y＝ 5 的图象与直线y＝kx(k＞0)相交于A，B两点，AC∥y轴， x
BC∥x轴，则△ABC的面积为__1_0_____．
第6题图
模型五 两点和原点 模型特征
类型一 两交点在反比例函数同一支上
反比例函数与一次函数的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一支上，用 减法．
k x
(k≠0)的图象上，连接OA，OB.若S△ABO
＝8，则k的值是( C )
A. －12
B. －8
C. －6
D. －4
第8题图
源自文库
模型六 两曲和平行 模型特征 两条双曲线上的两点的连线与一条(或两条)坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上 的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
∴S△AOE＝S四边形ECDB
针对训练 1. 如图，点A在反比例函数y＝－ 4 的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一点，
x 则△APM的面积为___2_____．
第1题图
模型二 一点两垂线 模型特征 反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|. 模型示例
针对训练 2. 如图，正方形ABCD的顶点B，D在反比例函数y＝ 1 (x＞0)的图象上，且AB∥x轴，
针对训练
3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝ k (k≠0)交于点A，B.过点A作AM⊥x轴，垂足为M， x
连接BM.若S△ABM＝1，则k的值是( A ) A. 1 B. m－1 C. 2 D. m
第3题图
4. 如图，已知一次函数y＝－2x＋12的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例 函数y＝－ 80 的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，求△CDE的面积．
C)
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
第9题图
10. 如图，设点P在函数y＝ 6 的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝ 2 的图象于点A，
x
x
PD⊥y轴于点D，交函数y＝ 2 的图象于点B，则四边形PAOB的面积为___4_____． x
第10题图
模型示例
类型二 两条双曲线的k值符号不相同
图形
关系式
＝ 1OM·AM＋ 1OM·BC
2
2
＝ 1|k|＋ 1 |k|＝|k|
22
S△ABM＝S△AOM＋S△BOM
＝ 1 OM·AM＋ 1 OM·BC
2
2
＝ 1 |k|＋ 1|k|＝|k| 22
S△ABC＝S△ADC＋S△CDB ＝ 12CD·|yB－yA|
S△ABC＝S△BCO＋S△ACO
＝
1 2
CO·|xB－xA|
针对训练
7. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ k (x>0)的图象交矩形OABC的边AB x
于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC.若四边形ODBE的面积为6，则k为( A )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
第7题图
模型特征
类型二 两交点分别在反比例函数两支上
反比例函数与一次函数的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两支上， 用加法．
0)，y＝－ 6 (x＞0)的图象交于A点和B点，若C为y轴任意一点，连接AC、BC，则
x
9
△ABC的面积为____2____．
第12题图
W
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模型示例
方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD. 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，则S△OAM＝S四边形MEFB(划 归到模型一)，则S△AOB＝S直角梯形AEFB.
方法一：当
BE 或 CE
BF FA
＝m时，则S四边形OFBE＝m|k|.
方法二：作EM⊥x轴于M，则S△OEF＝S直角梯形EMAF(划归到上一个模型示例)．
x
解：由一次函数y＝－2x＋12可得A(6，0)，
y＝－2x＋12
联立 y＝－8x0 ， 解得 xy＝＝－108或 xy＝＝2－04，
∴C(－4，20)，E(10，－8)，
∴S△CDE＝S△ACD＋S△ADE
＝
1 2
AD·|yC－yE|＝
1 2
×10×(20＋8)＝140.
第4题图
模型四 两点两垂线 模型特征 反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于 2|k|. 模型示例
S阴影＝|k1|＋|k2|
图形
关系式
S阴影＝
k1
2
k2
针对训练
11. (2018徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－ 2 的图象交于A，B两点，
过点A作y轴的垂线，交函数y＝
4
x 的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为(
x
C
)
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
第11题图
12. (2018贵阳)如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝ 3 (x＞ x
模型示例
方法一：S△AOB＝12
OD·|xB－xA|＝
1 2
OC·|yA－yB|.
方法二：S△AOB＝S△AOC＋S△OCD＋S△OBD.
方法三：作AE⊥y轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长AE与BF相交于点N，
则S△AOB＝S△ABN－S△AOE－S△OBF－S矩形OENF.
针对训练
8.
如图，点A(m，1)，B(2，n)在双曲线y＝
S△APP′＝2|k|
易得四边形ANBM是平行四边形， ∴S四边形ANBM＝AM·NM
＝AM·2OM＝2|k|
针对训练
5.
如图，直线y＝mx与双曲线y＝
k x
交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x
1
轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN. 若S四边形AMBN＝1，则k的值是___2_____．
过点D作DF⊥x轴于点F， 则S阴影＝S矩形OABC－S矩形OFDC－ S四边形AEDF(划归到模型四) ＝|k1|－|k2|－S四边形AEDF
针对训练
9. 如图，点A是反比例函数y＝ 6 的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，线段 x
AB交反比例函数y＝ 2 的图象于点C，则△OAC的面积为( x
微专题 反比例函数中的面积问题
模型一 一点一垂线
(郴州2考，岳阳3考)
模型特征
反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三角形 面积等于 1 |k|.
2
模型示例
S△ABC＝
1 2
|k|
S△AOP＝
1 2
|k|
S△ABC＝
1 2
|k|
∵S△OAC＝S△OBD， S△OAC＝S△AOE＋S△OCE， S△OBD＝S四边形ECDB＋S△OCE，
x DC∥x轴，则正方形ABCD的面积为___4_____．
第2题图
模型三 两点一垂线 模型特征
反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等 于|k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成的三角形面积，等于 坐标轴所分的两个三角形面积之和．
模型示例
S△ABM＝S△AOM＋S△BOM
模型示例
类型一 两条双曲线的k值符号相同
S矩形OABC＝|k1|， S矩形 ODEC＝|k2|
S阴影＝|k1|－|k2|
S阴影＝S△AOB－S△AOD
＝
1 2
|k1|－
1 2 |k2|
S阴影＝S△COB－S△OCD
＝
1 2
|k1|－
1 2
|k2|
S阴影＝S矩形OABC－S△OCD－S△OAE ＝|k1|－|k2|