【数学】3.3.1《函数的单调性和导数》教案(新人教A版选修1-1)

§3.3.1函数的单调性与导数
【成功细节】
严俏华谈导数的计算的方法
本节主要是用函数的导数研究函数的单调性，学习过程中要深刻理解相关的结论以及方法，要学好本节内容，我认为应注意以下几个细节入手：（1）
函数在某点处的单调性与该点处的切线的斜率（即函数在该点处的导数值）的符号相关；若导数值大于零，则函数在此处为增函数；（2）若函数在某个闭区间上的导数值恒为零，则该函数为常数函数；（3）在求函数的单调区间时，可直接解关于导数的不等式；（4）深刻理解函数的单调性与函数的导数之间的关系，包括连个方面：导数的符号说明函数的单调性，某区间内，导数值为正，则函数为增
函数；导数绝对值得大小反映了函数图象的变化速度，绝对值越大，函数图象越陡峭。

如 这个题主要考查导数的基本运算以及应用导数解决函数的单调性，是一个简单题，可直接求解即可.1()ln ln 1f x x x x x
'=+⨯=+，令()0f x '>可解得1x e
>
，所以函数的单调递增区
间是1
(,)e +∞.
【高效预习】（核心栏目）
“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。

——叶圣陶
【精读·细化】
1.用10分钟的时间阅读教材89～91页, 函数的单调性与导函数正负之间有怎样关系？某个区间内函数的平均变化率的
几何意义与导数之间的联系呢？如果在
某个区间恒有()f x '=0，那么函数有什么特征？
细节提示:把握住单调性定义中y 的变化量与x 的变化量的比值与导数的定义之间的关系。

【提升·解决】
1.在某个开区间内，导数值大于零，则函数在这个区间内单调递增，导数值小于零，则函数在这个区间内单调递减；若函数在某个区间内恒有导数值等于零，则函数为常数函数.
【关注·思考】
2.阅读课本92～93页，理解函数变化的快慢程度与函数导数值的绝对值的大小之间的关系.
细节提示:函数图象，不仅体现函数的增减，还可以体现函数值变化的快慢.
【提炼·发现】
2.函数导数的绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”，反之就“平缓”一些.
（2007年广东 文12）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 2007年广东省文科状元严俏华
【学习细节】（核心栏目）
A ．基础知识
导数的应用
知识点1 函数的单调性与导数之间的关系
【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?
【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数
'
()()9.86.5
v t h t t =
=-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的【探究】通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'
()()0v t h t =>．
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．
【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？ 【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.
【探究】函数的单调性可简单的认为是:若
212
1
()()
f f x x x
x
--
>0则函数f(x)为增函数.
可把
2121
()()
f f x x x x
--看作y x
∆∆=
2121
()()
f f x x x x
--.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.
即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.
观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
（1）函数y x =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数10y '=>； （2）函数2y x =的定义域为R ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增； 而2()2y x x ''==，当0x <时，0y '<；当0x >时，0y '>；当0x =时，0y '=。

（3）函数3y x =的定义域为R ，在定义域上为增函数； 而32()3y x x ''==，若0x ≠，则0y '>，当0x =时，0y '=； （4）函数1y x
=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调
递减； 而2
1
1()y x x
''==-
，因为0x ≠，显然0y '<.
【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间(,)a b 内，如果函数
()y f x =在这个区间内单调递增，那么'
()0f x >；如果函数()y f x =在这个区间内单调
递减，那么'()0f x <．
【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？
【探究】如图，导数'
0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．
在0x x =处，'
0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，
函数()f x 在0x 附近单调递增；
在1x x =处，'
0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，
函数()f x 在1x 附近单调递减．
用曲线的切线的斜率来理解.当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于2
π
,函数曲线呈向上增加状态; 当切线斜率负时,切线的倾
斜角大于
2
π
、小于π，函数曲线呈向下减小状态.
注意：1.若在某区间上有有限个点使'()0f x =，在其余的点恒有'()0f x >，则()f x 仍为增函数，（减函数的情形完全类似）.即是说在区间内'()0f x >是()f x 在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件.
2.()0f x '>能推出()f x 为增函数，但反之不一定．如函数3()f x x =在()-+，∞∞上单调递增，但()0f x '≥．所以()0f x '>是()f x 为增函数的充分条件，但不是必要条件．
3.()f x 为增函数，一定可以推出()0f x '≥，但反之不一定，因为()0f x '≥，即为
()0f x '>或()0f x '=，当函数在某个区间内恒有()0f x '=，则()f x 为常数，函数不具有单
调性．所以()0f x '≥是()f x 为增函数的必要条件，但不是充分条件．
4.()f x 为增函数的充要条件是对任意的()x a b ∈，都有()0f x '≥且在()a b ，内的任一非空子区间上()0f x '≠．
【例题1】已知导函数'
()f x 的下列信息：
当14x <<时，'
()0f x >；
当4x >，或1x <时，'
()0f x <；
当4x =，或1x =时，'
()0f x =
试画出函数()y f x =图像的大致形状．
【解析】 利用导数和函数单调性之间的关系分析函数在每个区间上的单调性，然后画出简图.
【答案】 当14x <<时，'
()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；
当4x >，或1x <时，'
()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调
知识归纳
函数的单调性与导数的关系:
在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果
'
()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．
说明：特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．
递减；
当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图所示． 知识点2 用函数的导数研究函数的单调性 求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；
（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．
【例题2】判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）3()3f x x x =+； （2）2
()23f x x x =--； （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；
（4）3
2
()23241f x x x x =+-+.
【解析】先求出导数，然后求解不等式进行判断、求解，使()0f x '>的区间为增区间，使
()0f x '<的区间为减区间。

【答案】（1）因为3
()3f x x x =+， 所以，'
2
2
()333(1)0f x x x =+=+>
因此，3
()3f x x x =+在R 上单调递增，如图所示．
思维技巧
对于可导函数()f x 来说, '()0f x >是函数()f x 在(a,b)上为单调增函数的充分不必要条件,
'
()0f x <是函数()f x 在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数3
()f x x =在R 上为增函数,
但(0)0f '=,所以在0x =处不满足'()0f x >.
（
2
）
因为
2
(
)23f x x
x =--，所以，
()'
()2221f x x x =-=-
当'()0f x >，即1x >时，函
数2
()23f x x x =--单调递增；
当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图所示． （3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈， 所以，'()cos 10f x x =-<
因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图所示． （4）因为
3
2
()23241
f x x x x =+-+，所以
22
()66246(4)f x x x x x '=+-=+-．
当'()0f x >，即217
(,
)4
x --∈-∞或217
(
)
4
x -+
∈+∞时，函数2
()23f x x x =--单调递增；
当'
()0f x <，即2172
17
(
,
)4
4
x --
-+∈时，函数
2
()23f x x x =--单调递减；
函数3
2
()23241f x x x x =+-+的图像如图所示．
思维技巧
利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.
（2）在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还有注意在定义域内不连续点和不可导点.
（3）注意在某一区间内()0f x '>（或()0f x '<）是函数()f x 在该区间上为增（减）函数的充分条
件，如3
()f x x =是R 上的可导函数，也是R 上的单调增函数，但当0x =时，()0f x '=.
知识点3 函数的导数与函数的增减速度
函数的导数对函数的单调性有影响的同时，还对函数增减的速度有影响。

递增函数就是函数值随自变量的增大而增大，一个函数的增长速度快，就是说，在自变量的变化相同时，函数值的增长大，即平均变化率大，导数也就大；递减函数就是函数值随自变量的增大而减小，一个函数减小的快，那么在自变量的变化相同时，函数值的减小大，即平均变化率大，导数的绝对值也就大，从而导数的绝对值越大，函数增减的速度就越快．
一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之,函数的图象就较“平缓”. 【例题3】如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．
【解析】以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
【答案】 ()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→
B ．综合拓展
例1 求函数4
2
()23f x x x =-+的单调增区间. 解析： 先求()f x '，若()0f x '>，则()f x 单调递增. 答案： ∵3()44f x x x '=- 令()0f x '>，即3
440x x -> 解得 10x -<<或1x >
∴()f x 的单调地增区间为(1,0)-，(1,)+∞. 总结：求函数单调区间的步骤和方法： （1）确定函数()f x 的定义域；
（2）求导数()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它的定义域内的一切实数根； （3）把函数()f x 的间断点（即包括()f x 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；
（4）确定()f x '在各个小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.
易错点：单调区间只能用和、或连接，不能使用并集符号.
例2求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数． 解析 先求出函数的导数，然后判断导数在此区间上的符号即可. 答案：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+ 当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，
所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．
例3证明1()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数.
解析：可采用定义和求导法两种方法来解题，体会求导法在解决函数单调性问题上的优越性. 答案：方法一 任取两个数12,(0,)x x ∈+∞，设12x x <， 则21121
2
12
11()()x x f x f x x x x x --=
-=
∵120,0x x >>，且21x x > ∴21()()f x f x >， ∴1()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数.
方法二：∵2
1()f x x
'=-，且0x >
∴()0f x '< ∴1()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数.
解题规律：比较一下两种方法，用求导法证明更简便一些.如果是更为复杂的一些函数，用导数的符号判断函数的单调性更能显示出它的优越性. 例4已知函数1y x x
=+
，试讨论出此函数的单调区间.
解析:先求出函数的导数，然后利用导数不等式求解单调区间.
答案 1()y x x ''=+
=1－1·x －2
=
2
2
2
)
1)(1(1x
x x x
x -+=
-
令
2
)
1)(1(x
x x -+＞0.
解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +
x
1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令
2
)
1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.
∴y =x +x
1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
例5已知函数2
1()2f x ax x
=-
，(0,1]x ∈.
若()f x 在(0,1]x ∈上是增函数，求实数a 的取值范围. 解析
答案： 由已知得3
2()2f x a x
'=+，
∵()f x 在(0,1]上单调递增， ∴3
2()20f x a x
'=+>，即3
1a x
>-
在(0,1]x ∈上恒成立.
而3
1()g x x
=-
在(0,1]上是单调递增，
∴max ()(1)1g x g ==- ∴1a >-
当1a =-时，3
2()2f x x
'=-+
对(0,1)x ∈也有()0f x '>.
∴1a =-时，()f x 在(0,1)上是增函数
综合上述，()f x 在(0,1]x ∈上是增函数, a 的取值范围为[1,)-+∞.
解题技巧 （1）本题知道了函数的单调性，而去求参数的范围，这是一种非常重要的题型.在某个区间上，()0f x '>（或()0f x '<），()f x 在这个区间上单调递增（递减）；但由()f x 在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到()0f x '>（或()0f x '<
）是不够的，即还有可
能()0f x '=也能使得()f x 在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证.
（2）本题用到一个非常重要的转化，即
()m f x ≥恒成立⇔m ax ()m f x ≥； ()m f x ≤恒成立⇔min ()m f x ≤.
例 6 设()f x 是R 上的偶函数，在区间(,0)-∞上()0f x '>且有
2
2
(21)(321)f a a f a a ++<-+-，求实数a 的取值范围.
解析：偶函数在对称区间上有相反的单调性，奇函数有相同的单调性，我们可利用单调性转化需考虑范围问题.
答案 ∵在(,0)-∞上()0f x '>, ∴()f x 在(,0)-∞上为增函数， 又∵()f x 是偶函数
∴()f x 在(0,)+∞上为减函数，且22(321)(321)f a a f a a -+-=-+ ∴原不等式可化为22(21)(321)f a a f a a ++<-+ 而2
2
17212()04
8
a a a ++=+
+
>，2
2
123213()03
3
a a a -+=-
+
>恒成立，
∴2
2
21321a a a a ++>-+ 解得03a <<.
例7 若函数3
2
11()(1)132
f x x ax a x =
-
+-+在区间(1,4)上为减函数，在区间(6,)+∞上
为减函数，试求实数a 的取值范围.
答案 函数()f x 的导数2
()1f x x ax a '=-+-.
令()0f x '=，解得1x =或1x a =-
当11a -≤即2a ≤时，函数()f x 在(1,)+∞上为增函数，不合题意；
当11a ->，即2a >时，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,1)a -上为减函数，在
(1,)a -+∞上为增函数，
依题意，应有(1,4)x ∈时，()0f x '<，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '>. ∴416a ≤-≤ 解得57a ≤≤
所以a 的取值范围是[5,7]. 特别提示：
本题的关键之处在于一定要就小的值进行分类讨论，本题只要考查导数的概念和计
算、应用导数研究函数单调性的基本方法，考查了综合应用所学知识解决问题的能力；
例8 当x ∈(0,
2
π
)时,证明tan x >x .
分析:首先构造函数f (x )=tan x －x ,然后判断f (x )在(0, 2
π
)上的单调性.
证明:设f (x )=tan x －x ,x ∈(0,
2
π
).
∴f ′(0)=(x
x cos sin )′－1=
x
x
x 2
2
cos sin cos +－1=
x
2
cos
1－1=
x
x
2
2
cos
cos 1-=tan 2x >0.
∴f (x )在(0,
2
π
)上为增函数.
又∵f (x )=tan x －x 在x =0处可导且f (0)=0, ∴当x ∈(0,
2
π
)时,f (x )>f (0)恒成立,即tan x －x >0.
∴tan x >x .
深化升华:对于tan x 的导数,它不是初等函数的导数,可先变换成初等函数的导数,然后根据运算法则求导.
【作业】
□ 课堂作业
1．（知识点2）设()f x 在(,)a b 内可导,则()0f x '<是()f x 在(,)a b 内内单调递减的（ ）.
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
2．（知识点2）函数3
y x x =+的递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞
C ．),(+∞-∞
D ．),1(+∞
3．（知识点2）函数4
2
25y x x =-+的单调减区间为 （ ）
A ．(,1])-∞-和[0,1]
B ．[1,0]-和[1,)+∞
C ．[1,1]-
D ．(,1)-∞-和
[1,)+∞
4．（知识点2）已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．),3[]3,(+∞--∞
B ．]3,3[-
C ．),3()3,(+∞--∞
D ．)3,3(- 5．（知识点2，3）已知函数()f x 、()g x 均为(,)a b 上的可导函数，在[,]a b 上连续且
()()f x g x ''>，()()f a g a =，则当(,)x a b ∈时有（ ）
A ．()()f x g x >
B ．()()f x g x <
C ．()()f x g x =
D ．大小关系不能
确定
6．（知识点2）已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调减函数,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．),3[]3,(+∞--∞
B ．]3,3[-
C ．),3()3,(+∞--∞
D ．)3,3(- 7．（知识点2）已知32()(0)f x ax bx cx a a =+++>为增函数，则（ ） A ．230b ac -> B ．0,0b c >> C ．0,0b c =>
D ．230b ac -<
8．（知识点2）函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

□ 课后作业
9．（知识点2）函数x
x y 142
+
=单调递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),2
1
(+∞ D ．),1(+∞
10．（知识点2）ln y x x =在(0,5)上是
A ．单调增函数
B ．单调减函数
C ．在(0,
e
1)上单调递减,在(
e
1,5)上是递增函数
D ．在(0, e
1)上是递增函数,在(
e
1,5)上是递减函数
11．（知识点2）若函数3
2
()1f x x x m x =+++是R 上的单调函数，则m 的取值范围是__________.
12．（知识点2）已知1x >，求证：ln(1)x x >+．
13． （知识点2）已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-
（1）求)(x f y =的解析式；
（2）求)(x f y =的单调递增区间。

14．（知识点2） 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-
（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。

□ 家庭作业
15．已知函数 2
3
2()4()3
f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的
取值范围．
【作业参考答案】
课堂作业答案：
1．A 分析：由()0f x '<能够推出()f x 在(,)a b 内单调递减，但由()f x 在(,)a b 内单调递减不能推
出()0f x '<，如3()f x x =-在R 内为减函数，而2
()30f x x '=-≤。

故为充分不必要
条件。

2．C '
2
310y x =+>对于任何实数都恒成立．
3． A 分析 由3440y x x '=-≤，得2
(1)0x x -≤，解得 1x ≤-或01x ≤≤.
4．B '2
()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立，2
412033a a ∆=-≤⇒-≤≤
5．A 分析 令()()()F x f x g x =-，∴()()()0F x f x g x '''=->
∴()F x 在(,)a b 上为增函数， 又()()()0F a f a g a =-=
∴在(,)x a b ∈时，()()F x F a >， ∴()()f x g x >． 6． B
分析 '2
()3210
f x x ax =-+-≤在
)
,(+∞-∞恒成立，
2
412033
a a ∆=-
≤⇒-≤≤ 7．D 分析 2()320f x a x b x
c '=++>恒成立，因为0a >，则24430b a c ∆=-⨯<，
即230b ac -<. 8．5(,1)3
-
分析 由'2
325(35)(1)0y x x x x =+-=+-≥，解得513
x -≤≤.
9．5
,13x x <-
>或 5(,),(1,)3-∞-+∞ '2
53250,,13
y x x x x =+-><->令得或 □ 课后作业
10．C 分析 1l n l n 1y x x x x
'=+⨯
=+，
令0y '>，解得1x e
>，
∴ln y x x =在(e
1,5)上为增函数，同理可求在(0,e
1)上为减函数．
11．13
m ≥
分析 2()32f x x x m
'=++，由题意可知32()1f x x x m x =+++f (x )在R 上只能递增，所以()0f x '≥恒成立，即4120m ∆=-≤，解得13
m ≥．
12．分析 构造函数()ln(1)F x x x =-+。

证明：设()ln(1)F x x x =-+，1x > ∵1()[ln(1)]11
1
x F x x x x x ''=-+=-=
++
又1x >， ∴()0F x '>
∴()F x 在(1,)+∞上为增函数 又(1)1ln 21ln 0F e =->-=，
∴当1x >时，()0F x >，即ln(1)x x >+．
13．解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，
∵'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+= ∴切点为(1,1)-，
则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-， 得591,,2
2
a b c a b ++=-==-
得
∴4
2
59()122
f x x x =
-
+
（2）'3310310()1090,0,10
10
f x x x x x =->-
<<>
或
∴单调递增区间为310310(,0),(
,)10
10
-
+∞.
14．解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，
'
3
'
()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=
切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,2
2
a b c a b ++=-=
=-
得
4
2
59()12
2
f x x x =
-
+
（2）'
3
310310()1090,0,1010
f x x x x x =->-
<<>
或
单调递增区间为310310(,0),(,)10
10
-
+∞
□ 家庭作业
15．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'
()0f x ≥对
[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤
所以实数a 的取值范围为[]1,1-．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关
系：即“若函数单调递增，则'()0
f x≤”来求解，注意此
f x≥；若函数单调递减，则'()0
时公式中的等号不能省略，否则漏解．
【教材习题参考答案】。