2次插值
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*
(5) 缩小区间： 缩小区间： 以得到新的单峰区间 然后转第(3)步 继续迭代，直到满足精度要求为止。 新的单峰区间， 满足精度要求为止 以得到新的单峰区间，然后转第 步，继续迭代，直到满足精度要求为止。
缩短搜索区间的原则是： ），取其小者 缩短搜索区间的原则是：比较函数值 f 2 、f 4 其中 f 4 = f (α ) ），取其小者 （ 所对应的点作为新的α 2 点，并以此点左右两邻点分别取作新的 α1 和 α 3 ，构成缩短 α 其具体方法则如图2-25所示，根据原区间中 4 和α2 的相 所示， 后的新搜索区间 [α1 , α3 ] 。其具体方法则如图 所示 之比较有a、 、 、 四种情况 四种情况， 对位置以及函数值 f 4 和 f 2 之比较有 、b、c、d四种情况，图中阴影线部分表示丢 α α 的一般化处理后， 去的区间。 去的区间。在对新区间三个新点的代号作依次 α1 、 2 、3 的一般化处理后，计算其函 数值， 返回步骤(2)。 数值，并令f1 = f (α1 ), f 2 = f (α 2 ), f 3 = f (α 3 ) ，返回步骤 。
图2-24 二次插值法的原理及区间缩小过程
α * 。令其一阶导数等于零，即 此函数可以很容易地求得 可以很容易地求得它的极小点 其一阶导数等于零， 此函数可以很容易地求得它的极小点 p
dp (α ) = B + 2Cα = 0 dα B * α p = − 2 C
解得 * 中的待定系数 为求得α p，应设法求得式(2-32)中的待定系数 B 和C。 应设法求得式 中的 。 由于所构造的二次插值函数曲线通过原函数上的三个点 因此将三个点 二次插值函数曲线通过原函数上的三个点， 由于所构造的二次插值函数曲线通过原函数上的三个点，因此将三个点 代人方程(2-31)可得 可得 (α1 , f1 ), (α 2 , f 2 ) 及 (α3, f3 ) 代人方程 方程 p(α1 ) = A + Bα1 + Cα12 = f1 p(α 2 ) = A + Bα 2 + Cα 2 2 = f 2 p(α ) = A + Bα + Cα 2 = f 3 3 3 3
解得系数 解得系数
2 2 (α 2 − α 32 ) f1 + (α 32 − α12 ) f 2 + (α12 − α 2 ) f3 B= (α1 − α 2 )(α 2 − α 3 )(α 3 − α1 )
（2-33）
C=−
(α 2 − α 3 ) f1 + (α 3 − α1 ) f 2 + (α1 − α 2 ) f3 (α1 − α 2 )(α 2 − α 3 )(α 3 − α1 )
α 3.在初始搜索区间第一次插值或α 2 仍为初始给定点时，2 和 α 4 并不代表前后二 在初始搜索区间第一次插值或 仍为初始给定点时， 次插值函数极小点， 次插值函数极小点，因而判别式 | α 4 − α 2 |≤ ε 并不能确切地反映该不该终止迭 这时应进行步骤(3)缩短搜索区间 缩短搜索区间， 代替， 代，这时应进行步骤 缩短搜索区间，直至初始点α 2 第一次由α 4 代替，使用判 进行终止判别才具意义。 别式| α 4 − α 2 |≤ ε ?进行终止判别才具意义。为此，算法框图中设置开关 进行终止判别才具意义 为此，算法框图中设置开关K=0和 和 K=1分别表示初始点 第一次由 代替前和后的状态。 代替前和后的状态。 分别表示初始点 α2 α4
∗
图2-25（a） （ ）
图2-25 （b） ）
图2-25（c） （ ）
图2-25（d） （ ）
判断迭代终止条件
α 在一般情况下，因α 2 是前一次插值函数的极小值点， * 是本次插值函数的极 在一般情况下， 是前一次插值函数的极小值点， p * * * α 小值点， 的距离足够小时， 小值点，若α p 和α 2 的距离足够小时，即满足 α p − α 2 ≤ ε ，或 α p 和 2 两者原函数 值已很接近， 则停止迭代，这时， 值已很接近，即满足 | f 4 − f 2 |≤ ε ，则停止迭代，这时，若 f 4 < f 2 ，输出极小 值点 4 = α ∗ ，极小值 = f (α ∗ ) ; α f4 ∗ 否则， 否则，即 f 4 ≥ f 2 时，输出极小值点α 2 = α ，极小值 f 2 = f (α ∗ ) 。如不 满足上述迭代终止条件，则返回步骤(3)，再次缩短搜索区间，直至最后满足终止 满足上述迭代终止条件，则返回步骤 ，再次缩短搜索区间， 条件。 条件。
α2 =
α1 + α 3
2 2α 1 + α 3 3
（等距原则取点） 等距原则取点） （不等距原则取点） 不等距原则取点）
αFra Baidu bibliotek =
计算三点的函数值 计算三点的函数值
f1 = f (α1 ),
f 2 = f (α 2 ),
f 3 = f (α 3 )
* * (3) 计算二次插值多项式 p (α ) 的极小点α p 与极小值 f (α p ) ；
f 2 − f1 f −f = c2 = 3 1 α 2 − α1 α 3 − α1
二次插值法的C语言程序应用 二次插值法的 语言程序应用 #include<stdio.h> #include <math.h> double f(double x) { return x*x*x-3*x+2; } void main(void) { double a1,a2,a3,a0; double f1,f2,f3,f0; double q=0.000005; （给定计算精度 给定计算精度q=0.000005） ） int k=1; a1=0; (给定初始搜索区间 给定初始搜索区间【a1,a3】) 给定初始搜索区间 a3=3; a2= 0.5*(a1+a3); (采用等距原则取点 采用等距原则取点) 采用等距原则取点 f1=f(a1); （计算三点的函数值） 计算三点的函数值） f2=f(a2); f3=f(a3);
在一条直线上; 说明三个插值结点 p 1 (α 1 , f 1 ), p 2 (α 2 , f 2 ), p 3 (α 3 , f 3 ) 在一条直线上 2.判别框 (α 4 − α1 )(α 3 − α 4 ) > 0 ?若不成立，说明 α 4 落在区间之外。 判别框 若不成立， 落在区间之外。 若不成立 上述两种情况只是在区间已缩得很小，由于三个插值结点已十分接近， 上述两种情况只是在区间已缩得很小，由于三个插值结点已十分接近，计算机 的舍入误差才可能使其发生。 作为最优解应是合理的。 的舍入误差才可能使其发生。此时取α 2 和 f 2 作为最优解应是合理的。
f 1 = f (α 1 ) ,
f 2 = f (α 2 ) ,
f 3 = f (α 3 )
于是通过原函数曲线上的三个点 (α1, f1 ),(α2 , f2 ) 和 (α 3 , f3 ) 可以构成一个二 所示。 次插值函数，如图2-24所示。设该二次插值函数为
p (α ) = A + Bα + Cα 2
*
择新的三个点，得到一个缩小了的单峰区间，并利用此单峰区间的三个 新的三个点，得到一个缩小了的单峰区间，并利用此单峰区间的三个 单峰区间 单峰区间 点，再一次进行插值。如此进行下去，直至达到给定的精度为止。 再一次进行插值。如此进行下去，直至达到给定的精度为止。
二次插值法的计算步骤如下： 二次插值法的计算步骤如下： 如下 ] (1) 给定初始搜索区间 [α 1 , α 3 和计算精度 ； 给定初始搜索区间 和计算精度ε； (2) 在区间 [α 1 , α 3 ] 内取一内点 α 2 ，有下面两种取法： 内取一内点 有下面两种取法 两种取法：
之值代入式 将B，C之值代入式(2-32)，可求得 ， 之值代入 ，
α2 2 2 B 1 (α 2 − α32 ) f1 + (α32 − α12 ) f 2 + (α12 − α 2 ) f3 α =− = 2C 2 (α 2 − α3 ) f1 + (α3 − α1 ) f 2 + (α1 − α 2 ) f3
为二次或三次多项式， 常用的插值多项式 p (α ) 为二次或三次多项式，分别称为二次插 和三次插值法。 二次插值法。 值法和三次插值法。这里主要介绍二次插值法。
该法的基本思想是：
在给定的单峰区间中，利用目标函数上的三个点来构造一个二次插值
函数 f (α ) ，以近似地表达原目标函数p (α) 极小点。 的极小点近似作为原目标函数的极小点。
，并求这个插值函数
该法是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点，进行区 是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点， 的一维搜索方法。 间缩小的一维搜索方法。 α 设一元函数 f (α ) ，在单峰区间 [ α 1 , α 3 ] 内取一点 2 且 α 1 < α 2 < α 3 这三点对应的函数值分别为
* p
（2-34）
内的另一个计算点， 把 α p 取作区间 [ α 1 , α 3 ] 内的另一个计算点，比较α * 与 α 2 两点函数值的大 p f (α ) 小 ， 在 保 持 两 头 大 中 间 小 的 前 提 下 缩 短 搜 索 区 间 ， 从 而 构 成 新 的 三 点 搜 索 区 间 ， 再 继 续 按 上 述 方 法 进 行 三 点 二 次 插 值 运 算 ， 直 到 满 足 规 定 的 精 度 要 求 为 止 ， 把 得 到 的 最 后 的 α 的近似极小值点。 α * 作为 f ( ) 的近似极小值点。 p
二次插值法的程序计算框图， 二次插值法的程序计算框图，如图2-26所示。 所示。 所示
图2—26 二次插值法程序框图
算法框图中有几点需作些说明。 算法框图中有几点需作些说明。 1.判别框 c2 = 0 ?若成立，按式 判别框 若成立， 和式(2-37)则有 若成立 按式(2-36)和式 和式 则有
(4) 进行收敛判断： 进行收敛判断 收敛判断： 则转(6)，停止迭代， 若满足 α p − α 2 ≤ ε ，则转 ，停止迭代，并将点α * 与α 2 中函数值较 p 小的点作为极小点输出 结束一维搜索； 作为极小点输出， 小的点作为极小点输出，结束一维搜索； 否则，转下步(5)； 否则，转下步 ；
*
为便于计算，可将式(2-34)改写为 为便于计算，可将式 改写为
（2-35）
式中： 式中：
（2-36）
（2-37）
由上可知，在已知一个单峰搜索区间内的 α1 , α 2 , α 3 三点值后，便可通过 由上可知，在已知一个单峰搜索区间内的 三点值后， 单峰搜索区间 二次搜值方法求得 求得极小点的近似值 是采用原 二次搜值方法求得极小点的近似值 X = α * 。由于在求 α * 时，是采用原 p p * 函数的近似函数 的近似函数， 不一定与原函数 原函数的 重合， 函数的近似函数，因而求得的 α p 不一定与原函数的极值点 X * 重合，见 图2-24。 。 为了求得满足预定精度要求的原函数的近似极小点，一般要进行多次迭代。 为了求得满足预定精度要求的原函数的近似极小点，一般要进行多次迭代。 原函数的近似极小点 为此，可根据前述的序列消去原理， 为此，可根据前述的序列消去原理，在已有的四个点α1 , α2 , α3 及α p 中选
概念
二次插值法又称近似抛物线法，亦是用于一元函数 近似抛物线法，
f( ) α
的一种方法。 在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它属于曲线拟
合方法的范畴。 方法的范畴。
基本原理
α 在求解一元函数 f (α) 的极小点时，常常利用一个低次插值多项式 p( )
α 来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点， 来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点，并以此作为目标函数 f ( ) 极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时， 的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用 此法， 拟合，直到满足给定的精度时为止。 此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
while(1) { a0=0.5*((a2*a2-a3*a3)*f1+(a3*a3-a1*a1)*f2 +(a1*a1-a2*a2)*f3)/((a2-a3)*f1+ (a3-a1)*f2+(a1-a2)*f3); （计算插值函数的极小点 ） 计算插值函数的极小点a0） f0=f(a0); (计算极小值 计算极小值f0) 计算极小值 if(fabs(a0-a2)<q) （fabs是一个用来求 的绝对值的函数） 是一个用来求x的绝对值的函数 是一个用来求 的绝对值的函数） { printf("The number of the loops is %f and the minpoint is %f",k,a0); printf("\n the min is %f",f0) break; } if(a0>a2) 用进退法确定搜索区间） （用进退法确定搜索区间） { if(f0<=f2) (进一步缩小区间，以得到新的单峰区间 进一步缩小区间， 进一步缩小区间 以得到新的单峰区间)
(5) 缩小区间： 缩小区间： 以得到新的单峰区间 然后转第(3)步 继续迭代，直到满足精度要求为止。 新的单峰区间， 满足精度要求为止 以得到新的单峰区间，然后转第 步，继续迭代，直到满足精度要求为止。
缩短搜索区间的原则是： ），取其小者 缩短搜索区间的原则是：比较函数值 f 2 、f 4 其中 f 4 = f (α ) ），取其小者 （ 所对应的点作为新的α 2 点，并以此点左右两邻点分别取作新的 α1 和 α 3 ，构成缩短 α 其具体方法则如图2-25所示，根据原区间中 4 和α2 的相 所示， 后的新搜索区间 [α1 , α3 ] 。其具体方法则如图 所示 之比较有a、 、 、 四种情况 四种情况， 对位置以及函数值 f 4 和 f 2 之比较有 、b、c、d四种情况，图中阴影线部分表示丢 α α 的一般化处理后， 去的区间。 去的区间。在对新区间三个新点的代号作依次 α1 、 2 、3 的一般化处理后，计算其函 数值， 返回步骤(2)。 数值，并令f1 = f (α1 ), f 2 = f (α 2 ), f 3 = f (α 3 ) ，返回步骤 。
图2-24 二次插值法的原理及区间缩小过程
α * 。令其一阶导数等于零，即 此函数可以很容易地求得 可以很容易地求得它的极小点 其一阶导数等于零， 此函数可以很容易地求得它的极小点 p
dp (α ) = B + 2Cα = 0 dα B * α p = − 2 C
解得 * 中的待定系数 为求得α p，应设法求得式(2-32)中的待定系数 B 和C。 应设法求得式 中的 。 由于所构造的二次插值函数曲线通过原函数上的三个点 因此将三个点 二次插值函数曲线通过原函数上的三个点， 由于所构造的二次插值函数曲线通过原函数上的三个点，因此将三个点 代人方程(2-31)可得 可得 (α1 , f1 ), (α 2 , f 2 ) 及 (α3, f3 ) 代人方程 方程 p(α1 ) = A + Bα1 + Cα12 = f1 p(α 2 ) = A + Bα 2 + Cα 2 2 = f 2 p(α ) = A + Bα + Cα 2 = f 3 3 3 3
解得系数 解得系数
2 2 (α 2 − α 32 ) f1 + (α 32 − α12 ) f 2 + (α12 − α 2 ) f3 B= (α1 − α 2 )(α 2 − α 3 )(α 3 − α1 )
（2-33）
C=−
(α 2 − α 3 ) f1 + (α 3 − α1 ) f 2 + (α1 − α 2 ) f3 (α1 − α 2 )(α 2 − α 3 )(α 3 − α1 )
α 3.在初始搜索区间第一次插值或α 2 仍为初始给定点时，2 和 α 4 并不代表前后二 在初始搜索区间第一次插值或 仍为初始给定点时， 次插值函数极小点， 次插值函数极小点，因而判别式 | α 4 − α 2 |≤ ε 并不能确切地反映该不该终止迭 这时应进行步骤(3)缩短搜索区间 缩短搜索区间， 代替， 代，这时应进行步骤 缩短搜索区间，直至初始点α 2 第一次由α 4 代替，使用判 进行终止判别才具意义。 别式| α 4 − α 2 |≤ ε ?进行终止判别才具意义。为此，算法框图中设置开关 进行终止判别才具意义 为此，算法框图中设置开关K=0和 和 K=1分别表示初始点 第一次由 代替前和后的状态。 代替前和后的状态。 分别表示初始点 α2 α4
∗
图2-25（a） （ ）
图2-25 （b） ）
图2-25（c） （ ）
图2-25（d） （ ）
判断迭代终止条件
α 在一般情况下，因α 2 是前一次插值函数的极小值点， * 是本次插值函数的极 在一般情况下， 是前一次插值函数的极小值点， p * * * α 小值点， 的距离足够小时， 小值点，若α p 和α 2 的距离足够小时，即满足 α p − α 2 ≤ ε ，或 α p 和 2 两者原函数 值已很接近， 则停止迭代，这时， 值已很接近，即满足 | f 4 − f 2 |≤ ε ，则停止迭代，这时，若 f 4 < f 2 ，输出极小 值点 4 = α ∗ ，极小值 = f (α ∗ ) ; α f4 ∗ 否则， 否则，即 f 4 ≥ f 2 时，输出极小值点α 2 = α ，极小值 f 2 = f (α ∗ ) 。如不 满足上述迭代终止条件，则返回步骤(3)，再次缩短搜索区间，直至最后满足终止 满足上述迭代终止条件，则返回步骤 ，再次缩短搜索区间， 条件。 条件。
α2 =
α1 + α 3
2 2α 1 + α 3 3
（等距原则取点） 等距原则取点） （不等距原则取点） 不等距原则取点）
αFra Baidu bibliotek =
计算三点的函数值 计算三点的函数值
f1 = f (α1 ),
f 2 = f (α 2 ),
f 3 = f (α 3 )
* * (3) 计算二次插值多项式 p (α ) 的极小点α p 与极小值 f (α p ) ；
f 2 − f1 f −f = c2 = 3 1 α 2 − α1 α 3 − α1
二次插值法的C语言程序应用 二次插值法的 语言程序应用 #include<stdio.h> #include <math.h> double f(double x) { return x*x*x-3*x+2; } void main(void) { double a1,a2,a3,a0; double f1,f2,f3,f0; double q=0.000005; （给定计算精度 给定计算精度q=0.000005） ） int k=1; a1=0; (给定初始搜索区间 给定初始搜索区间【a1,a3】) 给定初始搜索区间 a3=3; a2= 0.5*(a1+a3); (采用等距原则取点 采用等距原则取点) 采用等距原则取点 f1=f(a1); （计算三点的函数值） 计算三点的函数值） f2=f(a2); f3=f(a3);
在一条直线上; 说明三个插值结点 p 1 (α 1 , f 1 ), p 2 (α 2 , f 2 ), p 3 (α 3 , f 3 ) 在一条直线上 2.判别框 (α 4 − α1 )(α 3 − α 4 ) > 0 ?若不成立，说明 α 4 落在区间之外。 判别框 若不成立， 落在区间之外。 若不成立 上述两种情况只是在区间已缩得很小，由于三个插值结点已十分接近， 上述两种情况只是在区间已缩得很小，由于三个插值结点已十分接近，计算机 的舍入误差才可能使其发生。 作为最优解应是合理的。 的舍入误差才可能使其发生。此时取α 2 和 f 2 作为最优解应是合理的。
f 1 = f (α 1 ) ,
f 2 = f (α 2 ) ,
f 3 = f (α 3 )
于是通过原函数曲线上的三个点 (α1, f1 ),(α2 , f2 ) 和 (α 3 , f3 ) 可以构成一个二 所示。 次插值函数，如图2-24所示。设该二次插值函数为
p (α ) = A + Bα + Cα 2
*
择新的三个点，得到一个缩小了的单峰区间，并利用此单峰区间的三个 新的三个点，得到一个缩小了的单峰区间，并利用此单峰区间的三个 单峰区间 单峰区间 点，再一次进行插值。如此进行下去，直至达到给定的精度为止。 再一次进行插值。如此进行下去，直至达到给定的精度为止。
二次插值法的计算步骤如下： 二次插值法的计算步骤如下： 如下 ] (1) 给定初始搜索区间 [α 1 , α 3 和计算精度 ； 给定初始搜索区间 和计算精度ε； (2) 在区间 [α 1 , α 3 ] 内取一内点 α 2 ，有下面两种取法： 内取一内点 有下面两种取法 两种取法：
之值代入式 将B，C之值代入式(2-32)，可求得 ， 之值代入 ，
α2 2 2 B 1 (α 2 − α32 ) f1 + (α32 − α12 ) f 2 + (α12 − α 2 ) f3 α =− = 2C 2 (α 2 − α3 ) f1 + (α3 − α1 ) f 2 + (α1 − α 2 ) f3
为二次或三次多项式， 常用的插值多项式 p (α ) 为二次或三次多项式，分别称为二次插 和三次插值法。 二次插值法。 值法和三次插值法。这里主要介绍二次插值法。
该法的基本思想是：
在给定的单峰区间中，利用目标函数上的三个点来构造一个二次插值
函数 f (α ) ，以近似地表达原目标函数p (α) 极小点。 的极小点近似作为原目标函数的极小点。
，并求这个插值函数
该法是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点，进行区 是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点， 的一维搜索方法。 间缩小的一维搜索方法。 α 设一元函数 f (α ) ，在单峰区间 [ α 1 , α 3 ] 内取一点 2 且 α 1 < α 2 < α 3 这三点对应的函数值分别为
* p
（2-34）
内的另一个计算点， 把 α p 取作区间 [ α 1 , α 3 ] 内的另一个计算点，比较α * 与 α 2 两点函数值的大 p f (α ) 小 ， 在 保 持 两 头 大 中 间 小 的 前 提 下 缩 短 搜 索 区 间 ， 从 而 构 成 新 的 三 点 搜 索 区 间 ， 再 继 续 按 上 述 方 法 进 行 三 点 二 次 插 值 运 算 ， 直 到 满 足 规 定 的 精 度 要 求 为 止 ， 把 得 到 的 最 后 的 α 的近似极小值点。 α * 作为 f ( ) 的近似极小值点。 p
二次插值法的程序计算框图， 二次插值法的程序计算框图，如图2-26所示。 所示。 所示
图2—26 二次插值法程序框图
算法框图中有几点需作些说明。 算法框图中有几点需作些说明。 1.判别框 c2 = 0 ?若成立，按式 判别框 若成立， 和式(2-37)则有 若成立 按式(2-36)和式 和式 则有
(4) 进行收敛判断： 进行收敛判断 收敛判断： 则转(6)，停止迭代， 若满足 α p − α 2 ≤ ε ，则转 ，停止迭代，并将点α * 与α 2 中函数值较 p 小的点作为极小点输出 结束一维搜索； 作为极小点输出， 小的点作为极小点输出，结束一维搜索； 否则，转下步(5)； 否则，转下步 ；
*
为便于计算，可将式(2-34)改写为 为便于计算，可将式 改写为
（2-35）
式中： 式中：
（2-36）
（2-37）
由上可知，在已知一个单峰搜索区间内的 α1 , α 2 , α 3 三点值后，便可通过 由上可知，在已知一个单峰搜索区间内的 三点值后， 单峰搜索区间 二次搜值方法求得 求得极小点的近似值 是采用原 二次搜值方法求得极小点的近似值 X = α * 。由于在求 α * 时，是采用原 p p * 函数的近似函数 的近似函数， 不一定与原函数 原函数的 重合， 函数的近似函数，因而求得的 α p 不一定与原函数的极值点 X * 重合，见 图2-24。 。 为了求得满足预定精度要求的原函数的近似极小点，一般要进行多次迭代。 为了求得满足预定精度要求的原函数的近似极小点，一般要进行多次迭代。 原函数的近似极小点 为此，可根据前述的序列消去原理， 为此，可根据前述的序列消去原理，在已有的四个点α1 , α2 , α3 及α p 中选
概念
二次插值法又称近似抛物线法，亦是用于一元函数 近似抛物线法，
f( ) α
的一种方法。 在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它属于曲线拟
合方法的范畴。 方法的范畴。
基本原理
α 在求解一元函数 f (α) 的极小点时，常常利用一个低次插值多项式 p( )
α 来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点， 来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点，并以此作为目标函数 f ( ) 极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时， 的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用 此法， 拟合，直到满足给定的精度时为止。 此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
while(1) { a0=0.5*((a2*a2-a3*a3)*f1+(a3*a3-a1*a1)*f2 +(a1*a1-a2*a2)*f3)/((a2-a3)*f1+ (a3-a1)*f2+(a1-a2)*f3); （计算插值函数的极小点 ） 计算插值函数的极小点a0） f0=f(a0); (计算极小值 计算极小值f0) 计算极小值 if(fabs(a0-a2)<q) （fabs是一个用来求 的绝对值的函数） 是一个用来求x的绝对值的函数 是一个用来求 的绝对值的函数） { printf("The number of the loops is %f and the minpoint is %f",k,a0); printf("\n the min is %f",f0) break; } if(a0>a2) 用进退法确定搜索区间） （用进退法确定搜索区间） { if(f0<=f2) (进一步缩小区间，以得到新的单峰区间 进一步缩小区间， 进一步缩小区间 以得到新的单峰区间)