保角变换

1 应用原理及特点

在矿场水力压裂中，如何针对有效渗透率和厚 度不等的特定储层，设计出缝长和导流能力的优化 方案， 是应考虑的首要问题之一。另外需要一种计算裂缝井产能的简易方法。应用保角变换方法研究压裂井产能，其原理及特点是：①能将 z 平面上特别复杂的渗流问题转化为平面上一相对简单和易于求解的渗流问题；② 可准确地描述井筒附近较为复杂的流动型态( 裂缝 内流动和非裂缝区域拟径向流动) 对压裂后产能的贡献，而且能对不同导流能力造成的复杂流线型态 统一转化，因而具有广泛的适应性；③经过保角变换后假设的缝端封闭边界条件更符合实际，因保角变换后， 裂缝端部位于主流线上。以此为基础，应用质量守衡定律和达西运动方程，推导出了裂缝内原油 流动所满足的压力二阶微分方程， 并进行了产量的 求解，与现有的典型曲线对比，一致性程度较好。 2 数学模型

2、1模拟的假设条件 模拟的假设条件是： ①垂直裂缝 ， 且对称分布于油井的两边； ②假设裂缝剖面为矩形， 高度恒定， 并等于油层厚度 ； ③裂缝宽度相对油藏的供给半径来 说非常小，即在进行保角变换时可忽略不记； ④裂缝 内导流能力可以是有限导流， 也可以是无限导流； ⑤油藏及裂缝内为单相流动，且符合达西线性定律； ⑥稳态渗流，且不考虑地层的垂向流动； ⑦不考虑地层和裂缝内的污染。 2、2模型 的建立

在 z 平面上建立 一 Y 坐标系，保角变换转化为平面 r — s 坐标系( 图1 )

图一 保角变换示意图

取保角变换为：

chw L z f =

2

w

w e e chw -+=

式中：z 为Z 平面上的复变函数，i y x z +=，f L 为裂缝半长，m;w 为变换后的W 平面，

''i y x w +=。

裂缝井的渗流问题从而演变为带状地层向中心 线A 的单向渗流问题。由于对称性 ， 只

研究 平 面中图示阴影部分的单向渗流问题。其中'

O 为''B A 的中点 ， 即2

'

'π

=

A O 。

W 平面上四分之一平面的渗流阻力，可认为由 两部分组成，一是基质的单向渗阻力

( 外阻) ， 一 是裂缝中的渗流阻力( 内阻) 。如果认为裂缝是无 限导流，可认为裂缝内阻为零。当裂缝具有无限导流能力时，设裂缝井的产量为f Q ， 则W 平面中四分之一区域的流量为4/f Q ， 由 达西定律[2]转换得出:

f

e e e

f L R p h K Q 2ln 20μπ∆=

式中f Q 为裂缝井产量，t/d ；e K 为有效渗透率2310m μ-，e h 为油层厚度，m ；p ∆为生产压差，MP a ；0μ为地下原油粘度，s mpa ⋅；e R 为供给半径，m 。

当考虑有限导流裂缝时( 先讨论W 平面阴影区域) ， 取裂缝中微元体( 图2 ) 进行研究。

流动方向

图2 裂缝中微元体示意图

为方便起见， 以图 l 中'

o 点为坐标原点 ， 以'

'A O 为S 轴， 由质量守恒定律可知，流出单元体的质量等于流进单元体的质量(不考虑流体压缩性)，经整理归纳得(W 平面内)

R f

f

V w dy p d K =∙∙-2

2'20μ

()f

e i R L R p p K V 2ln 0-=

式中：f K 为裂缝内渗透率，23

10

m μ-，'y 为变换后W 平面上的自变量；0

K 为油层渗透率

2310m μ-，1

p 为油层静压 ， MP a 。

联立( 4 ) 和( 5 ) 两式得

i f

e f f f e

f

f p L R W K K p L R W K K dy p

d 2ln 212ln 21002'2=- 当边界条件2

'

π=y ，

0'

=dy dp ，0'=y ，裂缝内任意点的压力等于井底流动压力。 通过与( 6 ) 式定解， 并考虑到单位2

π换算和()

f e L R /2ln 都具有长度量纲，在转换后的

W 平面上类似于距离， 得最终产量

()1

1

10728.10007

+-⋅--⨯=-πλ

πλμλρe e B p p h W K Q wf i e f f f f

e

f f L R W K K 2ln

20000

=

λ

式中：0ρ为地面原油密度，3/m kg ；wf p 为井底流动压力；0B 为原油体积系数，3

3

/m m 立。