北师大版高中数学必修2教案备课球

7．3 球

学 习 目 标

核 心 素 养

1.了解球的体积和表面积公式．(重点)

2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题. (难点)

1.通过学习球的体积、表面积公式培养直观想象素养.

2.通过求球的体积和表面积提升数学运算素养.

1．球的体积

球的半径为R ，那么它的体积V 球＝4

3πR 3. 2．球的表面积

球的半径为R ，那么它的表面积S 球＝4πR 2. 思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形．

1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．8∶27 B ．2∶3 C ．4∶9

D ．2∶9

C [⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3∶⎝ ⎛⎭⎪⎫

43πR 3＝8∶27，

∴r ∶R ＝2∶3，∴S 1∶S 2＝4∶9.]

2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是( )

A ．3∶2

B ．2∶3

C ．1∶2

D ．1∶1

D [设球的半径为R ，则球的表面积S 表＝4πR 2，圆柱的侧面积S 侧＝2πR ×2R ＝4πR 2，所以S 表∶S 侧＝1∶1.]

3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3 B.23π C.32π

D.π6

A [由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所以V 球＝4

3π×13＝4π3.]

4．用一个平面截半径为25 cm 的球，截面圆的面积是225π cm 2，则球心到截面的距离为________ cm.

20 [由题意知，球的半径R ＝25(cm)，易知截面圆的半径r ＝15(cm)，则球心到截面的距离d ＝252－152＝20(cm)．]

球的体积与表面积

【例1】 (1)球的体积是32π

3，则此球的表面积是( ) A ．12π B ．16π C.16π3

D.64π3

(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________．

(1)B (2)52 [(1)43πR 3＝32

3π，故R ＝2，球的表面积为4πR 2＝16π.

(2)设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，球的半径为R ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

13

πr 2·h ＝

43πR 3，r ＝2R ，

∴13π(2R )2·h ＝4

3πR 3，∴R ＝h ，r ＝2h ，

∴l＝r2＋h2＝5h，

∴S

圆锥侧＝πrl＝π×2h×5h＝25πh2，S

球

＝4πR2＝4πh2，

∴S圆锥侧

S球

＝

25πh2

4πh2＝

5

2.]

求球的体积与表面积的方法

(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.

(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.

[跟进训练]

1．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；

(2)已知球的体积为108π

3，求它的表面积．

[解](1)因为直径为2，所以半径R＝1，所以表面积S

球

＝4πR2＝4π×12＝4π，

体积V

球＝

4

3πR

3＝

4

3π×1

3＝

4

3π.

(2)因为V球＝4

3πR

3＝

108

3π，

所以R3＝27，R＝3，所以S

球

＝4π×32＝36π.

球的表面积及体积的应用

水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？

[思路探究]设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决．

[解]设△P AB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取

出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝x，如图所示．

∵AC＝3r，PC＝3r，

∴以AB为底面直径的圆锥的容积为

V圆锥＝

1

3πAC

2·PC

＝

1

3π(3r)

2·3r＝3πr3，V

球

＝

4

3πr

3.

球取出后水面下降到EF，水的体积为

V水＝

1

3πEH

2·PH

＝

1

3π(PH·tan 30°)

2·PH＝

1

9πx

3.

而V

水

＝V

圆锥

－V

球

，

即

1

9πx

3＝3πr3－

4

3πr

3，∴x＝

3

15r.

故球取出后水面的高为

3

15r.

1．画出截面图是解答本题的关键．

2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．

[跟进训练]

2．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？

[解]设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球＝2×

4

3π×⎝ ⎛⎭⎪⎫

5

2

3

＝

125π

3，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V＝π×5

2×h，所以

125π

3＝π×5

2×h，所以h＝

5

3(cm)，

即若取出这两个小球，则容器的水面将下降

5

3cm.

与球有关的切、接问题1．一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？

提示：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为

1

2a，它的外接球的半径为