一个集值映射的不动点定理
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令 （ ＝｝ ｝知 ） ，
Ｆ（ ） ｛ ∈Ｘ｛ ， ） ， ｘｃ Ｙ （ Ｙ ＜ａｌ ， ） ｛ Ｅ ＸＩ ， ） ； （ ｃ ｕ ｕ ＞ａ ， （
由 Ｆ ） ｌｘ 的上半 连续 性 ， （ 和 （） 知存 在 的邻域 ｕ ｘ）使得 当时 ∈ （ 时 ， （ ， ） 有 Ｆ（） ｛ ＥＸｌ ， ） ｚ ｃ Ｙ （ Ｙ ＜口｝ ，
（） ｒ ２当 ＞０时 ， 反证 法 ， 任何 ＥＫ， 有 磋Ｆ ）则 由严 格 凸集 分解 定 理【 Ｖ 用 若对 均 （ ， ¨， ∈ Ｋ， 在 ∈ 存
和实数 ａ 使得（ Ｙ ＜ａ 五，） （ Ｅ ）且 ｛ Ｅｘ （ Ｙ ＜口 与 ｛ ， ＞ ｝ ， ， ＞ ＜（ ， Ｖｙ （ ） ， ｙ Ｉ ，＞ ｝ ＥＸｌ ｕ ＞ａ 均为开集 ， （
．
，
＜Ｔ ，， ＝ ｘ ，＞ ｆ ＜ ， ＜ （ ） Ｙ＞ ｆ ＜ （ ）
．
，
＞ ＝＜Ｔ ， ｘ ＞．
（＊）
另一方面， 我们令 ： —Ｒ， ， ） Ｋ× （ Ｙ ＝＜Ｔ ， Ｙ ｘ 一 ＞． 易知 （ ｙ 满足 Ｋ ａ ， ） ｙＦｎ极大极 小定理 ［条件 ， ］ 于是 存在 Ｘ∈Ｋ使 ， Ｏ
， 。 ｃ ｛ （ ， ＞口｝ （ ） Ｅ ＸＩ ） ， 这就是说 ， Ｅ ｕ ｘ ， ＥＦ 均有（ Ｙ ＜ ＜（ ｚ ， Ｖｚ （ ）ｙ （ ） ， ） ａ ，）于是｛ （ ）ｘ 是 的一个开覆盖 ， Ｕ ｘ Ｉ ＥＫ｝ 据 的
紧性 ， 知存在有限个 ｌ ２…， ∈ ， ， ， 使得 Ｋ Ｕ ｘ） ＣＵ （ ｔ ．
成立 ． 证明 （） ｒ １ 当 ＝０时定理成 立 ．
设 是 局部 凸 的 Ｈ ｕｄ 线 性拓 扑空 间 ， 紧 凸子集 ， ： 一 ２ 上半 连 续 闭 凸 值映 象 ， ａｓｆ ＫＣＸ是 是 若
对每个 ０ Ｋ， Ｅ 都存 在 ｙ ∈Ｋ，３ＥＦ ）实数 ｒ ｏ ０ （０ ， ｏ 使得 ０ ＝ ＋ｒＹ — ）则存 在 ∈Ｋ， 得 ∈ （ ） ３ ｏ （ ｏ ｏ ， ｏ 使
（ Ｏ Ｙ ＜ｓｒ ． ， ） Ｐ （ ） ． ｇ ． ， ） ｕ （ Ｏ Ｙ ｓ ， ＝０ ｆｇ
从 而对 Ｖｙ 有 （０Ｙ ＜０ 即 ＜Ｔ０ 一Ｙ＞＜０ ＜Ｔｏ ＞＜ ＜Ｔ０Ｙ＞． ＥＫ， ，） ． ｘ， ０ ， ｘ， ｏ ｘ， 由假 设对 上述 ｘＥＫ， 在 Ｙ ∈Ｋ，ｏ （ ０， ＞ ｏ 存 ｏ 叫 ∈Ｆ 戈） ｒ ０使得 ｏ ｏ （ｏ ０． ＝ ＋ｒｙ 一 ） 于是
．
令 （）ｉ ｌ ， ｎ是从属于 ）ｉ １ ， ｎ 的单位分解，ｆ ） ０＿ ｉ ） １．（ ＞ 当 ｆ （＝ ， …， ） ２ （１ ＝ ， …，） （ ２ Ａ ， （ ＝ ，ｔ （ ∑ ； ） ０ 【
且 仅 当 ∈ Ｕ Ｘ） （ ｉ连续 ， 且 （ 连 续 ． 义映象 ： ） 定 如下 ：ｘ＝ Ｔ ｆｘＬ Ｖ （ ） ， ＥＫ，， （ ． ） ∈， ）
一
个 集 值 映射 的不动 点定 理
刘 红 伟
（ 西大学 ，黑龙 江鸡西 鸡 １８ ０ ） ５ １０
［ 摘
要］本文利用 凸集分解定理和 Ｋ ａ 极大极小 定理做工具给 出更 一般情形 ，使 Ｋ ａ —Ｇｉ ｓ ｙＦｎ ｙＦｎ ｌｋ． ｃ
ｂｒ不 动点定理成为直接推论。 ｅｙ
［ 关键词］集 值映射 ；不动点 ［ 中图分类号］０ ７ １５ ［ 文献标识码 ］Ａ ［ 文章编号］１０ 一￣ｓ （ｏＯ Ｏ 一０ １ —０ ０８ ７ｘ ２ ｌ）ｌ ００ ２
映射 的不 动 点定理 ．９２年 Ｋ ａ 和 ＩＬＧ ｃｓｅ 独立地 将 Ｋ ｋｔ ｉ 理推 广 到局部 凸 空 间情 形 ． 文 利 用 １５ ｖ ｎ Ｆ ． ．ｈｋｂｒ ｇ ａｕ ｎ 定 ａ 本 凸集分解 定 理和 Ｋ ａ 极 大极小 定理做 工具 给出更一般 的情形 ， Ｋ ａ ｙＦｎ 使 ｙＦｎ—Ｇｉ ｓｅ 不 动点定 理成 为其直 接 ｌｋｂｒ ｃ ｙ 推论 ．ｙＦｎ—Ｇｉ ｓｅ ， 动点 定理 条件 的几何意义 是对 Ｖ 的象点 集 Ｆ（ 均含 于 中 。 我们 给 出 Ｋ ａ ｌｋｂ￣不 ｃ ＥＫ， ） 而 的不动 点定 理条件 的几何意 义只要 求 Ｖ 有 中点 Ｙ使 的某 象点 ∞落在 与 ，所决定 的直 线上 ． ＥＫ， － 定理
第 ２ 卷第 １ ９ 期
Ｖ０ ．９ Ｎ ． １２ ｏ １
长春师 范学院学 报 （ 自然 科学版 ）
Ｊｕ ａ ｏ Ｃ ａｇｈｎＮ ｒ ｌ ｎ ｅｓｙＮ ｔｒ ｃ ｎｅ ｏｒ ｌ ｆ ｈｎｃｕ ｏ ｎ ｍａＵ ｉ ｒｔ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ） ｖ ｉ ｕｌ ｅ
２ １ ２月 ００年
Ｆｅ ２ １ ｂ． ０ Ｏ
不 动点定 理是 ２ 世 纪非线 性数 学发展 中的 一 个核 心课 题 ， 谓 映射 ｆ ） ０ 所 （ 的不 动点 ， 指 ｆ ）＝ 成 是 （
立． ， 显然 求方程 ｇ ） ０的根 ， （ ＝ 等价于求 ， ＝ （ ＋ 的不动点 ． （ ） ｇ ） 拓扑学家 Ｌ Ｅ ＪＢｏｗｒ １１ 年提出 ． ．．ｒ ｅ在 ９２ ｕ
了第一个不动点定理 ：． ／维欧氏空间中， １ 将实心球（ 或紧凸集） 映射到 自身的连续映象至少有一个不动点 ．． ． ＪＰ Ｓｈ ｕｅ 和 Ａ． Ｔ ｘｈｂ分别将 它推 广到 Ｂｎｃ 间和局部 凸空间 ， ａｕ ｎ 在 维 欧 氏空间情 形证 明 了集值 ｃａｄｒ Ｈ．ｕｏｏ 期 】２０ 一ｌ 一３ ０９ Ｏ ０ ［ 作者简介 】刘红伟 （９９ ，女 ，辽宁丹 东人 ，鸡 西大学副教授 ，从事应用数 学研 究。 １６ 一）
・
ｌ ・ Ｏ
由于当 诺Ｕ ）｜（ ） ０ 当 （ ， ＝ ， ∈Ｕ ．） ， Ｙ＞＜口＜＜ ， ＞， ＝ Ｉ （ｉ ｇ时 ＜ 于是 有
Ｆ（ ） ｛ ∈Ｘ｛ ， ） ， ｘｃ Ｙ （ Ｙ ＜ａｌ ， ） ｛ Ｅ ＸＩ ， ） ； （ ｃ ｕ ｕ ＞ａ ， （
由 Ｆ ） ｌｘ 的上半 连续 性 ， （ 和 （） 知存 在 的邻域 ｕ ｘ）使得 当时 ∈ （ 时 ， （ ， ） 有 Ｆ（） ｛ ＥＸｌ ， ） ｚ ｃ Ｙ （ Ｙ ＜口｝ ，
（） ｒ ２当 ＞０时 ， 反证 法 ， 任何 ＥＫ， 有 磋Ｆ ）则 由严 格 凸集 分解 定 理【 Ｖ 用 若对 均 （ ， ¨， ∈ Ｋ， 在 ∈ 存
和实数 ａ 使得（ Ｙ ＜ａ 五，） （ Ｅ ）且 ｛ Ｅｘ （ Ｙ ＜口 与 ｛ ， ＞ ｝ ， ， ＞ ＜（ ， Ｖｙ （ ） ， ｙ Ｉ ，＞ ｝ ＥＸｌ ｕ ＞ａ 均为开集 ， （
．
，
＜Ｔ ，， ＝ ｘ ，＞ ｆ ＜ ， ＜ （ ） Ｙ＞ ｆ ＜ （ ）
．
，
＞ ＝＜Ｔ ， ｘ ＞．
（＊）
另一方面， 我们令 ： —Ｒ， ， ） Ｋ× （ Ｙ ＝＜Ｔ ， Ｙ ｘ 一 ＞． 易知 （ ｙ 满足 Ｋ ａ ， ） ｙＦｎ极大极 小定理 ［条件 ， ］ 于是 存在 Ｘ∈Ｋ使 ， Ｏ
， 。 ｃ ｛ （ ， ＞口｝ （ ） Ｅ ＸＩ ） ， 这就是说 ， Ｅ ｕ ｘ ， ＥＦ 均有（ Ｙ ＜ ＜（ ｚ ， Ｖｚ （ ）ｙ （ ） ， ） ａ ，）于是｛ （ ）ｘ 是 的一个开覆盖 ， Ｕ ｘ Ｉ ＥＫ｝ 据 的
紧性 ， 知存在有限个 ｌ ２…， ∈ ， ， ， 使得 Ｋ Ｕ ｘ） ＣＵ （ ｔ ．
成立 ． 证明 （） ｒ １ 当 ＝０时定理成 立 ．
设 是 局部 凸 的 Ｈ ｕｄ 线 性拓 扑空 间 ， 紧 凸子集 ， ： 一 ２ 上半 连 续 闭 凸 值映 象 ， ａｓｆ ＫＣＸ是 是 若
对每个 ０ Ｋ， Ｅ 都存 在 ｙ ∈Ｋ，３ＥＦ ）实数 ｒ ｏ ０ （０ ， ｏ 使得 ０ ＝ ＋ｒＹ — ）则存 在 ∈Ｋ， 得 ∈ （ ） ３ ｏ （ ｏ ｏ ， ｏ 使
（ Ｏ Ｙ ＜ｓｒ ． ， ） Ｐ （ ） ． ｇ ． ， ） ｕ （ Ｏ Ｙ ｓ ， ＝０ ｆｇ
从 而对 Ｖｙ 有 （０Ｙ ＜０ 即 ＜Ｔ０ 一Ｙ＞＜０ ＜Ｔｏ ＞＜ ＜Ｔ０Ｙ＞． ＥＫ， ，） ． ｘ， ０ ， ｘ， ｏ ｘ， 由假 设对 上述 ｘＥＫ， 在 Ｙ ∈Ｋ，ｏ （ ０， ＞ ｏ 存 ｏ 叫 ∈Ｆ 戈） ｒ ０使得 ｏ ｏ （ｏ ０． ＝ ＋ｒｙ 一 ） 于是
．
令 （）ｉ ｌ ， ｎ是从属于 ）ｉ １ ， ｎ 的单位分解，ｆ ） ０＿ ｉ ） １．（ ＞ 当 ｆ （＝ ， …， ） ２ （１ ＝ ， …，） （ ２ Ａ ， （ ＝ ，ｔ （ ∑ ； ） ０ 【
且 仅 当 ∈ Ｕ Ｘ） （ ｉ连续 ， 且 （ 连 续 ． 义映象 ： ） 定 如下 ：ｘ＝ Ｔ ｆｘＬ Ｖ （ ） ， ＥＫ，， （ ． ） ∈， ）
一
个 集 值 映射 的不动 点定 理
刘 红 伟
（ 西大学 ，黑龙 江鸡西 鸡 １８ ０ ） ５ １０
［ 摘
要］本文利用 凸集分解定理和 Ｋ ａ 极大极小 定理做工具给 出更 一般情形 ，使 Ｋ ａ —Ｇｉ ｓ ｙＦｎ ｙＦｎ ｌｋ． ｃ
ｂｒ不 动点定理成为直接推论。 ｅｙ
［ 关键词］集 值映射 ；不动点 ［ 中图分类号］０ ７ １５ ［ 文献标识码 ］Ａ ［ 文章编号］１０ 一￣ｓ （ｏＯ Ｏ 一０ １ —０ ０８ ７ｘ ２ ｌ）ｌ ００ ２
映射 的不 动 点定理 ．９２年 Ｋ ａ 和 ＩＬＧ ｃｓｅ 独立地 将 Ｋ ｋｔ ｉ 理推 广 到局部 凸 空 间情 形 ． 文 利 用 １５ ｖ ｎ Ｆ ． ．ｈｋｂｒ ｇ ａｕ ｎ 定 ａ 本 凸集分解 定 理和 Ｋ ａ 极 大极小 定理做 工具 给出更一般 的情形 ， Ｋ ａ ｙＦｎ 使 ｙＦｎ—Ｇｉ ｓｅ 不 动点定 理成 为其直 接 ｌｋｂｒ ｃ ｙ 推论 ．ｙＦｎ—Ｇｉ ｓｅ ， 动点 定理 条件 的几何意义 是对 Ｖ 的象点 集 Ｆ（ 均含 于 中 。 我们 给 出 Ｋ ａ ｌｋｂ￣不 ｃ ＥＫ， ） 而 的不动 点定 理条件 的几何意 义只要 求 Ｖ 有 中点 Ｙ使 的某 象点 ∞落在 与 ，所决定 的直 线上 ． ＥＫ， － 定理
第 ２ 卷第 １ ９ 期
Ｖ０ ．９ Ｎ ． １２ ｏ １
长春师 范学院学 报 （ 自然 科学版 ）
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２ １ ２月 ００年
Ｆｅ ２ １ ｂ． ０ Ｏ
不 动点定 理是 ２ 世 纪非线 性数 学发展 中的 一 个核 心课 题 ， 谓 映射 ｆ ） ０ 所 （ 的不 动点 ， 指 ｆ ）＝ 成 是 （
立． ， 显然 求方程 ｇ ） ０的根 ， （ ＝ 等价于求 ， ＝ （ ＋ 的不动点 ． （ ） ｇ ） 拓扑学家 Ｌ Ｅ ＪＢｏｗｒ １１ 年提出 ． ．．ｒ ｅ在 ９２ ｕ
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由于当 诺Ｕ ）｜（ ） ０ 当 （ ， ＝ ， ∈Ｕ ．） ， Ｙ＞＜口＜＜ ， ＞， ＝ Ｉ （ｉ ｇ时 ＜ 于是 有