九年级数学 专训3 应用三角函数解决实际问题中的四种常见类型

九年级数学专训3应用三角函数解决实际问题中的四种常见类型

名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方位角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．

定位问题

1．某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC(3取1.73，结果保留整数)．

(第1题)

坡坝问题

2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20 m．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF 的坡角∠F＝30°，求AF的长度(结果精确到1 m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．【导学号：83182082】

(第2题)

3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的距离是30 km，B，C间的距离是60 km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A

的距离(结果保留根号)．

测高问题

4．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.

(1)求∠BPQ的度数；

(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m．备用数据：3≈1.7，2≈1.4)．

(第4题)

答案

1．解：根据题意可知AB ＝300 m .

如图，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D.在Rt △ADB 中，因为∠BAD ＝30°，

所以BD ＝12AB ＝12×300＝150(m )．在Rt △CDB 中，因为sin ∠DCB ＝BD BC ，所以BC ＝BD sin ∠DCB ＝150sin 60°＝3003

≈173(m )．

(第1题)

即此时游轮与望海楼之间的距离BC 约为173 m .

点拨：本题也可过C 作CD ⊥AB 于点D ，由已知得BC ＝AC ，AD ＝12AB ＝150 m ，所以在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos 30°＝1503

2

≈173(m )．所以BC ＝AC ≈173 m . 2．解：在Rt △ABE 中，∠BEA ＝90°，

∠BAE ＝45°，BE ＝20 m ，

∴AE ＝20 m .

在Rt △BEF 中，∠BEF ＝90°，∠F ＝30°，BE ＝20 m ，

∴EF ＝BE tan 30°＝203

3

＝203(m )． ∴AF ＝EF －AE ＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(m )．

即AF 的长度约是15 m .

3．解：分两种情况：

情况一：如图①，在Rt △BDC 中，CD ＝30 km ，BC ＝60 km .

∴sin B ＝CD BC ＝12

.∴∠B ＝30°. ∵PB ＝PC ，∴∠BCP ＝∠B ＝30°.

在Rt △CDP 中，∠CPD ＝∠B ＋∠BCP ＝60°，

∴DP ＝CD tan ∠CPD ＝30tan 60°

＝103(km )． 在Rt △ADC 中，∵∠A ＝ 45°，

∴AD ＝DC ＝30 km .

∴AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103) km .

(第3题)

情况二：如图②，可求得DP ＝10 3 km ，AD ＝30 km .

∴AP ＝AD －DP ＝(30－103) km .

故交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103) km .

点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P 点的位置分两种情况讨论，即P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．

4．解：如图，延长PQ 交直线AB 于点E.

(1)∠BPQ ＝90°－60°＝30°.

(2)设PE ＝x m .

在Rt △APE 中，∠A ＝45°，

则AE ＝PE ＝x m .

在Rt △BPE 中，BE ＝PE·tan ∠BPE ＝x·tan 30°＝

33x(m )． ∵AB ＝AE －BE ＝6(m )，∴x －

33x ＝6.解得x ＝9＋3 3. ∴PE ＝(9＋33)m ，BE ＝33

x ＝(33＋3)(m )． 在Rt △BEQ 中，QE ＝BE·tan ∠QBE ＝(33＋3)·tan 30°＝(3＋3)(m )．

∴PQ ＝PE －QE ＝9＋33－(3＋3)＝6＋23≈9(m )．

∴该电线杆PQ 的高度约为9 m .

(第4题)