4力学量与算符
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态迭加原理要求力学量算符为线性的。
证明：若1, 2 是方程Hˆ E 的解，即：
i 1 t
Hˆ 1
①；
i 2 t
Hˆ 2
②
则① c1 ＋② c2 有：
i
t
(c11
c 2 2
)
c1Hˆ
1
c2Hˆ 2
③
而根据态迭加原理，c11 c22 也是方程的解，即：
i
t
(c11
c 2 2
)
Hˆ
(c11
(2)
pˆ
x
dx
i
dx x
i
i
dx
x
(i
) dx
x
(pˆ
x
)
dx
.
(3)解法同上，有： dx
(
) dx
x
x
<2>厄米算符的本征值为实数（定理内容） 证明：若 是Fˆ 的属于本征值 的本征函数，即Fˆ ，则
Fˆ d d
①
(Fˆ )d ()d d
而k
（对于连续谱的情况同样可证）
）
假设：如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学 量， 则 表 示这 个 力学 量 的 算符 Fˆ 由经 典 表 示 式F(r, p) 中 将
r
rˆ
r
；
p
pˆ 而得出，即：Fˆ
Fˆ (
rˆ
, pˆ ）
Fˆr(,
i)
。
这就是量子力学中表示力学量算符的规则。
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系。
为：
1 (x)2 (x)dx 0
类似的有：
1 (r )2
( r )d
0
，积分对
r
变化的全部区域进行。
若 1(r), 2 (r) 是复函数，且满足关系式：
（1 r)2 (r)d 0
全部区域
则称为两函数1(r), 2 (r) 相互正交。
例如：动量本征函数p
(
r)
1 (2)3/ 2
i pr
zˆ, pˆ y zˆ, pˆ x 0 ； pˆ x , pˆ y =pˆ x , pˆ z = pˆ y ,pˆ z =0
以上可总结为基本对易关系：
x x
i i
, ,
p x
j j
iij 0
i, j 1,2,3
p
i
,
p
j
0
即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易的，而和不对应的坐
c2Gˆ u
2
Fˆ 线性
)
c1Fˆ Gˆ u1 c2Fˆ Gˆ u 2
即线性算符关于乘法是闭合的。
5.算符的本征值与本征函数 <1 >若对某函数 u ，有Fˆ u u, 其中 是数量，则称 为Fˆ 的本 征值（固有值），u 是 Fˆ 的属于本征值 的本征函数。上式称为 算符 Fˆ 的本征值方程（如：Hˆ E ）。方程的解除了决定 Fˆ 的具体形式以外，还决定于 u 满足的条件， 可取分立值，用 n 表示，也可取连续值。 <2 >如对应一个 只有一个 u ，则 为非简并（如线性谐振子的 能量本征值）；如对应一个 有 n个本征函数，即u1, u 2 ,u n ， 并且它们是线性独立的，则 为 n度简并。 例如：自由粒子的能量本征值为 2 度简并。
k d 0 (k )
证明： 因 Fˆ k k k ； Fˆ ，则有：
(Fˆ k ) d k k d k k d k Fˆ d k d 而 (Fˆ k ) d kFˆ d
则： k k d k d
即：( k ) k d 0 所以： k d 0
c1Gˆ u1
c2Gˆ u 2
c1 (Fˆ u1 Gˆ u1) c 2 (Fˆ u 2 Gˆ u 2 )
和定义
c1(Fˆ Gˆ )u1 c2 (Fˆ Gˆ )u 2 即线性算符关于加法是闭合的。
<3 >线性算符之积仍是线性算符
Fˆ Gˆ (c1u1
c2u2
)
Gˆ 线性
Fˆ (c1Gˆ u1
②
由厄米算符的定义，且令 ，则有：①＝②
于是 为实数
所以厄米算符又叫实算符。
<3>厄米算符Fˆ , Gˆ 之和仍是厄米算符
证明： (Fˆ Gˆ )d (Fˆ Gˆ )d Fˆ d Gˆ d
(Fˆ )d (Gˆ )d [(Fˆ Gˆ )d [(Fˆ Gˆ )]d
力学量—表示一个体系力学性质的量。
微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的： 经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如：x, px ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念； 微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等），也有些量根 本不可能同时具有确定值（如：x和px ；T和U ）。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题）。 正是由于这种差别的存在，在量子力学中引入算符来表示 微观粒子的力学量。
一、算符的对易关系：
Gˆ , Fˆ
Gˆ Fˆ
Fˆ Gˆ
0 0
Fˆ , Gˆ 对易 Fˆ , Gˆ 不对易
1.坐标算符xˆ 和动量算符pˆ x 的对易关系x, pˆ x ? 将x, pˆ x xpˆ x pˆ x x 作用在任意波函数上，即：
( xpˆ x
pˆ x x
)(x)
x(i) x
数。在量子力学中，大部分算符采用如下形式：
Fˆ
a0
a1
x
a2
2 x 2
b1
y
b2
2 y2
c1
z
c2
2 z 2
其中a 0 , a1, a 2 ,, b1, b2 ,, c1, c2 是x, y, z 的函数。如xˆ , pˆ x , Hˆ ，
还有要讲的角动量算符Lˆ 等…。 1.算符的相等
若对任意的函数 u ，有Fˆ u Gˆ u , 我们称 Fˆ 与Gˆ 相等，记为：
Fˆ d (Fˆ )d （一、二和三维都适用）
或 Fˆ d Fˆ d Fˆ d
则称Fˆ 为厄米算符。 其中“ ”表示取复数共轭； Fˆ u (Fˆ u) 是 Fˆ 的定义。
例：xˆ
x
和 pˆ x
i d dx
是厄米的，而 不是厄米的。 x
(1)
xdx
(x
)
dx
（因为x 是实数）
如：x, d , 2 是线性算符，而 和乘方为非线性算符。 dx xy
<2 >线性算符Fˆ , Gˆ 之和仍是线性算符
和定义
(Fˆ Gˆ )(c1u1 c2u 2 ) Fˆ (c1u1 c2u 2 ) Gˆ (c1u1 c2u 2 )
Fˆ ,Gˆ 线性
c1Fˆ u
1
c 2 Fˆ u 2
3.算符对易关系的运算法则： <1>[ Aˆ , Bˆ ] = [Bˆ , Aˆ ] ； <2>[Aˆ , Aˆ ] =0； <3>[ Aˆ , c] =0 （c 为复常数）； <4>[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] =[Aˆ , Bˆ ] +[Aˆ , Cˆ ] ；
<5>[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] =Bˆ [Aˆ , Cˆ ] +[Aˆ , Bˆ ]Cˆ ；
二、 量子力学中用线性厄米算符表示力学量 1.两个假定： 假定 1：量子力学中的每个力学量都用一个线性厄米算符表示。 假定 2：当体系处于任意状态下，算符Fˆ 的本征值集合即是测 量体系的力学量F 的可能值；当体系处于Fˆ 的属于n 的本征态 n 时，测量力学量 F ，得到确定值n 。
2.量子力学中的力学量为什么用线性厄米算符表示 <1>为什么用算符表示力学量？
e
，则：
p
(r )p(r )d
(p
p)
pp
0
这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数p' (r), p (r)
相互正交。
二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交 1.非简并情况：
设 1, 2 , 3 , n 是厄米算Fˆ符 的本征函数，它们所
属本征值1, 2 , 3 , n 各不相等，则：
<3>如 Fˆ ,Gˆ 有共同的本征函u数 ，则和算符的本征值是算符本 征值之和；积算符的本征值是算符本征值之积，即：
(Fˆ Gˆ )u Fˆ u Gˆ u fu gu (f g)u Fˆ Gˆ u Fˆ gu gFˆ u gfu fgu
6.厄米算符 <1 >定义：对任意二函数, （要求它们及其微商是平方可积 的），若Fˆ 满足下式：
标分量是对易的；动量各分量和坐标各分量是对易的。
说明：a. Gˆ , Fˆ Gˆ Fˆ Fˆ Gˆ 叫Gˆ Fˆ与 的对易关系，等于 0 叫二算符
对易；否则叫二算符不对易 。 b.以上 x i 和pˆ j 的对易关系是量子力学算符的基本对易关
系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典对应的）对易关系。
(x) i
(x(x)) x
x (x) x (x) (x)
i x
i x
i
i(x)
而 (x) 是任意的
所以：x, pˆ x =i
①
该式称为x 和pˆ x 的对易关系，等式右边不等于 0，即 x 和pˆ x 不
对易。
同样可得： yˆ , pˆ y =i
②
zˆ,pˆ z =i
③
x, pˆ y x, pˆ z 0 ； yˆ, pˆ z =yˆ, pˆ x 0 ；
<6>[ Aˆ Bˆ , Cˆ ] =Aˆ [Bˆ , Cˆ ] +[Aˆ , Cˆ ]Bˆ 。 证明<5>：等式右边=Bˆ Aˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Aˆ Cˆ =Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ
等式左边=Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ ，等式成立。
一、两函数正交的定义：
三维空间中二矢量正交：
3
r R r1R1 r2R 2 r 3R 3 ri R i 0
i1
N 维空间中二矢量正交：
u
v
N
uivi 0
i 1
对 于 二 实 函 数 1 (x), 2 (x) ， 也 可 看 成 二 矢 量 ， 但 因
1 (x), 2 (x) 随x 连续变化，原来取和变成积分，这时正交定义
积。记为Mˆ Gˆ Fˆ （注意：Gˆ Fˆ 不一定等于Fˆ Gˆ ）。 如一个算符Fˆ 相继作用在 u 上 n 次，则可用Fˆ n 表示，即： Fˆ (Fˆ u) Fˆ 2 u ； Fˆ Fˆ Fˆ u Fˆ n u
即有Fˆ n Fˆ m Fˆ m Fˆ n ，即Fˆ m和Fˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 4.线性算符 <1 >定义：若对任意的函数u1, u 2有Fˆ (c1u1 c2u 2 ) c1Fˆ u1 c2Fˆ u 2 ， 其中c1, c2 为任意复常数，则称算符Fˆ 为线性算符。
一、算符的一般性质 算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子
力学中的算符是作用在波函数上的运算符号，记为Fˆ 。
例如 u v 中的“ ”； xu v 中的“ x ”（作用是乘）；
du dx
v 中的“ d dx”（求导）；u源自udx中的“ dx
”（作用是积分）。
一般Fˆ u v, Fˆ 作用在它右边的函数上，原来的函数变为新函
Fˆ Gˆ 。 2.算符的相加
若对任意的函数u ，有Fˆ u Gˆ u Mˆ u ，则称算符Mˆ
为Fˆ 与
Gˆ 之和。记为：Mˆ Fˆ Gˆ .
例：若Fˆ xˆ ，Gˆ i ，则有：Fˆ u Gˆ u (xˆ i )u
x
x
即：Mˆ (xˆ i ) x
3.算符相乘 若对任意的函数u ，有Gˆ (Fˆ u) Mˆ u, 则称算符Mˆ Fˆ 为 与Gˆ 之
<4>厄米算符Fˆ , Gˆ 之积不一定是厄米算符
证明： (Fˆ Gˆ )d Fˆ (Gˆ )d (Fˆ ) (Gˆ )d Gˆ Fˆ d (Gˆ Fˆ ) d [(Gˆ Fˆ )]d
不一定
[(Fˆ Gˆ )]d （要看二者是否可以交换顺序）
注意：算符是作用在波函数上的，否则可能出错。
(a)因为在波函数的标准条件下求解算符的本征值，能得到与 实验符合的 值，且多是分立的，如线性谐振子的能量本征值。 (b)用算符表示力学量还可以反映某二力学量不能同时具有确 定值的情况。 <2>为什么用厄米算符表示力学量？ 因为厄米算符的本征值是实量值，而力学量的量值一定是实
数，平均值也是实数。非厄米算符解得的本征值不满足此要求。 <3>为什么用线性算符表示力学量?
c 2 2
)
④
于是③与④比较可得：
Hˆ (c11 c 2 2 ) c1Hˆ 1 c 2 Hˆ 2
⑤
即Hˆ 必为线性算符。
<4>力学量算符的构成
两个基本的力学量算符： rˆ r （ xˆ x, yˆ yˆ , z zˆ)
pˆ i （pˆ x
i x
；pˆ y
i y
；pˆ z
i z
证明：若1, 2 是方程Hˆ E 的解，即：
i 1 t
Hˆ 1
①；
i 2 t
Hˆ 2
②
则① c1 ＋② c2 有：
i
t
(c11
c 2 2
)
c1Hˆ
1
c2Hˆ 2
③
而根据态迭加原理，c11 c22 也是方程的解，即：
i
t
(c11
c 2 2
)
Hˆ
(c11
(2)
pˆ
x
dx
i
dx x
i
i
dx
x
(i
) dx
x
(pˆ
x
)
dx
.
(3)解法同上，有： dx
(
) dx
x
x
<2>厄米算符的本征值为实数（定理内容） 证明：若 是Fˆ 的属于本征值 的本征函数，即Fˆ ，则
Fˆ d d
①
(Fˆ )d ()d d
而k
（对于连续谱的情况同样可证）
）
假设：如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学 量， 则 表 示这 个 力学 量 的 算符 Fˆ 由经 典 表 示 式F(r, p) 中 将
r
rˆ
r
；
p
pˆ 而得出，即：Fˆ
Fˆ (
rˆ
, pˆ ）
Fˆr(,
i)
。
这就是量子力学中表示力学量算符的规则。
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系。
为：
1 (x)2 (x)dx 0
类似的有：
1 (r )2
( r )d
0
，积分对
r
变化的全部区域进行。
若 1(r), 2 (r) 是复函数，且满足关系式：
（1 r)2 (r)d 0
全部区域
则称为两函数1(r), 2 (r) 相互正交。
例如：动量本征函数p
(
r)
1 (2)3/ 2
i pr
zˆ, pˆ y zˆ, pˆ x 0 ； pˆ x , pˆ y =pˆ x , pˆ z = pˆ y ,pˆ z =0
以上可总结为基本对易关系：
x x
i i
, ,
p x
j j
iij 0
i, j 1,2,3
p
i
,
p
j
0
即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易的，而和不对应的坐
c2Gˆ u
2
Fˆ 线性
)
c1Fˆ Gˆ u1 c2Fˆ Gˆ u 2
即线性算符关于乘法是闭合的。
5.算符的本征值与本征函数 <1 >若对某函数 u ，有Fˆ u u, 其中 是数量，则称 为Fˆ 的本 征值（固有值），u 是 Fˆ 的属于本征值 的本征函数。上式称为 算符 Fˆ 的本征值方程（如：Hˆ E ）。方程的解除了决定 Fˆ 的具体形式以外，还决定于 u 满足的条件， 可取分立值，用 n 表示，也可取连续值。 <2 >如对应一个 只有一个 u ，则 为非简并（如线性谐振子的 能量本征值）；如对应一个 有 n个本征函数，即u1, u 2 ,u n ， 并且它们是线性独立的，则 为 n度简并。 例如：自由粒子的能量本征值为 2 度简并。
k d 0 (k )
证明： 因 Fˆ k k k ； Fˆ ，则有：
(Fˆ k ) d k k d k k d k Fˆ d k d 而 (Fˆ k ) d kFˆ d
则： k k d k d
即：( k ) k d 0 所以： k d 0
c1Gˆ u1
c2Gˆ u 2
c1 (Fˆ u1 Gˆ u1) c 2 (Fˆ u 2 Gˆ u 2 )
和定义
c1(Fˆ Gˆ )u1 c2 (Fˆ Gˆ )u 2 即线性算符关于加法是闭合的。
<3 >线性算符之积仍是线性算符
Fˆ Gˆ (c1u1
c2u2
)
Gˆ 线性
Fˆ (c1Gˆ u1
②
由厄米算符的定义，且令 ，则有：①＝②
于是 为实数
所以厄米算符又叫实算符。
<3>厄米算符Fˆ , Gˆ 之和仍是厄米算符
证明： (Fˆ Gˆ )d (Fˆ Gˆ )d Fˆ d Gˆ d
(Fˆ )d (Gˆ )d [(Fˆ Gˆ )d [(Fˆ Gˆ )]d
力学量—表示一个体系力学性质的量。
微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的： 经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如：x, px ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念； 微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等），也有些量根 本不可能同时具有确定值（如：x和px ；T和U ）。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题）。 正是由于这种差别的存在，在量子力学中引入算符来表示 微观粒子的力学量。
一、算符的对易关系：
Gˆ , Fˆ
Gˆ Fˆ
Fˆ Gˆ
0 0
Fˆ , Gˆ 对易 Fˆ , Gˆ 不对易
1.坐标算符xˆ 和动量算符pˆ x 的对易关系x, pˆ x ? 将x, pˆ x xpˆ x pˆ x x 作用在任意波函数上，即：
( xpˆ x
pˆ x x
)(x)
x(i) x
数。在量子力学中，大部分算符采用如下形式：
Fˆ
a0
a1
x
a2
2 x 2
b1
y
b2
2 y2
c1
z
c2
2 z 2
其中a 0 , a1, a 2 ,, b1, b2 ,, c1, c2 是x, y, z 的函数。如xˆ , pˆ x , Hˆ ，
还有要讲的角动量算符Lˆ 等…。 1.算符的相等
若对任意的函数 u ，有Fˆ u Gˆ u , 我们称 Fˆ 与Gˆ 相等，记为：
Fˆ d (Fˆ )d （一、二和三维都适用）
或 Fˆ d Fˆ d Fˆ d
则称Fˆ 为厄米算符。 其中“ ”表示取复数共轭； Fˆ u (Fˆ u) 是 Fˆ 的定义。
例：xˆ
x
和 pˆ x
i d dx
是厄米的，而 不是厄米的。 x
(1)
xdx
(x
)
dx
（因为x 是实数）
如：x, d , 2 是线性算符，而 和乘方为非线性算符。 dx xy
<2 >线性算符Fˆ , Gˆ 之和仍是线性算符
和定义
(Fˆ Gˆ )(c1u1 c2u 2 ) Fˆ (c1u1 c2u 2 ) Gˆ (c1u1 c2u 2 )
Fˆ ,Gˆ 线性
c1Fˆ u
1
c 2 Fˆ u 2
3.算符对易关系的运算法则： <1>[ Aˆ , Bˆ ] = [Bˆ , Aˆ ] ； <2>[Aˆ , Aˆ ] =0； <3>[ Aˆ , c] =0 （c 为复常数）； <4>[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] =[Aˆ , Bˆ ] +[Aˆ , Cˆ ] ；
<5>[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] =Bˆ [Aˆ , Cˆ ] +[Aˆ , Bˆ ]Cˆ ；
二、 量子力学中用线性厄米算符表示力学量 1.两个假定： 假定 1：量子力学中的每个力学量都用一个线性厄米算符表示。 假定 2：当体系处于任意状态下，算符Fˆ 的本征值集合即是测 量体系的力学量F 的可能值；当体系处于Fˆ 的属于n 的本征态 n 时，测量力学量 F ，得到确定值n 。
2.量子力学中的力学量为什么用线性厄米算符表示 <1>为什么用算符表示力学量？
e
，则：
p
(r )p(r )d
(p
p)
pp
0
这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数p' (r), p (r)
相互正交。
二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交 1.非简并情况：
设 1, 2 , 3 , n 是厄米算Fˆ符 的本征函数，它们所
属本征值1, 2 , 3 , n 各不相等，则：
<3>如 Fˆ ,Gˆ 有共同的本征函u数 ，则和算符的本征值是算符本 征值之和；积算符的本征值是算符本征值之积，即：
(Fˆ Gˆ )u Fˆ u Gˆ u fu gu (f g)u Fˆ Gˆ u Fˆ gu gFˆ u gfu fgu
6.厄米算符 <1 >定义：对任意二函数, （要求它们及其微商是平方可积 的），若Fˆ 满足下式：
标分量是对易的；动量各分量和坐标各分量是对易的。
说明：a. Gˆ , Fˆ Gˆ Fˆ Fˆ Gˆ 叫Gˆ Fˆ与 的对易关系，等于 0 叫二算符
对易；否则叫二算符不对易 。 b.以上 x i 和pˆ j 的对易关系是量子力学算符的基本对易关
系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典对应的）对易关系。
(x) i
(x(x)) x
x (x) x (x) (x)
i x
i x
i
i(x)
而 (x) 是任意的
所以：x, pˆ x =i
①
该式称为x 和pˆ x 的对易关系，等式右边不等于 0，即 x 和pˆ x 不
对易。
同样可得： yˆ , pˆ y =i
②
zˆ,pˆ z =i
③
x, pˆ y x, pˆ z 0 ； yˆ, pˆ z =yˆ, pˆ x 0 ；
<6>[ Aˆ Bˆ , Cˆ ] =Aˆ [Bˆ , Cˆ ] +[Aˆ , Cˆ ]Bˆ 。 证明<5>：等式右边=Bˆ Aˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Aˆ Cˆ =Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ
等式左边=Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ ，等式成立。
一、两函数正交的定义：
三维空间中二矢量正交：
3
r R r1R1 r2R 2 r 3R 3 ri R i 0
i1
N 维空间中二矢量正交：
u
v
N
uivi 0
i 1
对 于 二 实 函 数 1 (x), 2 (x) ， 也 可 看 成 二 矢 量 ， 但 因
1 (x), 2 (x) 随x 连续变化，原来取和变成积分，这时正交定义
积。记为Mˆ Gˆ Fˆ （注意：Gˆ Fˆ 不一定等于Fˆ Gˆ ）。 如一个算符Fˆ 相继作用在 u 上 n 次，则可用Fˆ n 表示，即： Fˆ (Fˆ u) Fˆ 2 u ； Fˆ Fˆ Fˆ u Fˆ n u
即有Fˆ n Fˆ m Fˆ m Fˆ n ，即Fˆ m和Fˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 4.线性算符 <1 >定义：若对任意的函数u1, u 2有Fˆ (c1u1 c2u 2 ) c1Fˆ u1 c2Fˆ u 2 ， 其中c1, c2 为任意复常数，则称算符Fˆ 为线性算符。
一、算符的一般性质 算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子
力学中的算符是作用在波函数上的运算符号，记为Fˆ 。
例如 u v 中的“ ”； xu v 中的“ x ”（作用是乘）；
du dx
v 中的“ d dx”（求导）；u源自udx中的“ dx
”（作用是积分）。
一般Fˆ u v, Fˆ 作用在它右边的函数上，原来的函数变为新函
Fˆ Gˆ 。 2.算符的相加
若对任意的函数u ，有Fˆ u Gˆ u Mˆ u ，则称算符Mˆ
为Fˆ 与
Gˆ 之和。记为：Mˆ Fˆ Gˆ .
例：若Fˆ xˆ ，Gˆ i ，则有：Fˆ u Gˆ u (xˆ i )u
x
x
即：Mˆ (xˆ i ) x
3.算符相乘 若对任意的函数u ，有Gˆ (Fˆ u) Mˆ u, 则称算符Mˆ Fˆ 为 与Gˆ 之
<4>厄米算符Fˆ , Gˆ 之积不一定是厄米算符
证明： (Fˆ Gˆ )d Fˆ (Gˆ )d (Fˆ ) (Gˆ )d Gˆ Fˆ d (Gˆ Fˆ ) d [(Gˆ Fˆ )]d
不一定
[(Fˆ Gˆ )]d （要看二者是否可以交换顺序）
注意：算符是作用在波函数上的，否则可能出错。
(a)因为在波函数的标准条件下求解算符的本征值，能得到与 实验符合的 值，且多是分立的，如线性谐振子的能量本征值。 (b)用算符表示力学量还可以反映某二力学量不能同时具有确 定值的情况。 <2>为什么用厄米算符表示力学量？ 因为厄米算符的本征值是实量值，而力学量的量值一定是实
数，平均值也是实数。非厄米算符解得的本征值不满足此要求。 <3>为什么用线性算符表示力学量?
c 2 2
)
④
于是③与④比较可得：
Hˆ (c11 c 2 2 ) c1Hˆ 1 c 2 Hˆ 2
⑤
即Hˆ 必为线性算符。
<4>力学量算符的构成
两个基本的力学量算符： rˆ r （ xˆ x, yˆ yˆ , z zˆ)
pˆ i （pˆ x
i x
；pˆ y
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