2018年苏教版数学必修4 学业分层测评17

学业分层测评(十七) 向量的数乘
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.已知λ∈R ，则下列说法错误的是________.(填序号)
①|λa |＝λ|a |；②|λa |＝|λ|a ；③|λa |＝|λ||a |；
④|λa |>0.
【解析】 当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a ＝0时，④式不成立；又|λa |∈R ，而|λ|a 是数乘向量，故②必不成立.
【答案】 ①②④
2.化简14⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )为________. 【解析】 原式＝14[](a ＋2b )＋3a －2a ＋4b ＝14(2a ＋6b )＝12a ＋32b .
【答案】 12a ＋32b
3.若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.
【解析】 ∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线，且AC →与AB →
同向，∵＝57(如图)，
∴＝25，又BC →与AC →反向，∴BC →＝－25AC →.
【答案】 －25
4.在△ABC 中，已知BC →＝3BD →，则AD →＝________(用AB →，AC →
表示).
【解析】 ∵BC →＝3BD →
，
∴AC →－AB →＝3(AD →－AB →
)，
∴AD →＝23AB →＋13AC →.
【答案】 23AB →＋13AC →
5.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________. 【导学号：48582088】
【解析】 ∵m 与n 共线，
∴存在实数λ，使得m ＝λn ，
∴－e 1＋k e 2＝λ(e 2－2e 1)，
∴⎩⎨⎧
－1＝－2λ，k ＝λ，
∴λ＝12，k ＝12.
【答案】 12
6.已知向量a ，b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是________.
【解析】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →
，
∴A ，B ，D 三点共线.
【答案】 A ，B ，D
7.若O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →
＝________.(用e 1，e 2表示)
【解析】 ∵AD →＝BC →，∴BD →＝AD →－AB →＝3e 2－2e 1.
又∵BD →＝2BO →，∴BO →＝32e 2－e 1.
【答案】 32e 2－e 1
8.已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →
，则下列说法正确的是________.(填序号)
①点P 在△ABC 外部；②点P 在线段AB 上；
③点P 在线段BC 上；④点P 在线段AC 上.
【解析】 P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →
，
∴2P A →＋PC →
＝0.
如图，易知P 在线段AC 上.
【答案】 ④
二、解答题
9.如图2-2-23所示，已知在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .
求证：M ，N ，C 三点共线.
图2-2-23
【证明】 设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →
＝－a ＋b ，
BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，
∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，
MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a ＋b ， ∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，
又M 为公共点，∴M ，N ，C 三点共线.
10.如图2-2-24，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是
DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.
【导学号：48582089】
图2-2-24
【解】 连接CN .∵AN ∥DC ，且AN ＝DC ＝12AB ，
∴四边形ANCD 为平行四边形，
∴CN →＝－AD →
＝－b .
∵CN →＋NB →＋BC →
＝0，
∴BC →＝－NB →－CN →＝b －12a ，
MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12AN →＝14a －b .
[能力提升]
1.若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →
|，则四边形ABCD 的形状是________.
【解析】 ∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →，
∴AB →与CD →平行且方向相反，易知|CD →|＞|AB →
|.
又∵|AD →|＝|BC →
|，∴四边形ABCD 是等腰梯形.
【答案】 等腰梯形
2.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →
＝
mAM →
成立，则m 的值为________.
【解析】 由MA →＋MB →＋MC →
＝0可知，M 是△ABC 的重心.
取BC 的中点D ，则AB →＋AC →＝2AD →
.
又M 是△ABC 的重心，∴AM →＝2MD →，∴AD →＝32AM →，
∴AB →＋AC →＝3AM →
，即m ＝3.
【答案】 3
3.在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →
，则m ＝________，n ＝________.
【导学号：48582090】
【解析】 AD →－AB →＝2AC →－2AD →，∴3AD →＝AB →＋2AC →，∴AD →＝13AB →＋23AC →.
【答案】 13 23
4.已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2为两个非零不共线向量.问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？
【解】 d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2. 要使c ∥d ，则应存在实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝k (2e 1－9e 2)＝2k e 1－9k e 2，
∵e 1，e 2不共线，
∴⎩⎨⎧ 2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，
∴λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，
就能使d 与c 共线.。