【ILMT】三次函数的对称性及应用

三次函数的对称性分析及应用

三角函数的对称性考查在以往的竞赛题和模拟题都出现过多次，很多人都对此有所分析和总结，笔者不才，也对这个问题做一个自认为比较全面的梳理.

题目：（2018郑州一测）已知函数()3292930f x x x x =-+-，若实数,m n 满足()12f m =-，()18f n =，则m n += ________.

想法一：方程视角

这道题首先给出了一个函数，事实上，有些题没有给出函数，只给出了一个方程组，即

32329+2930129293018

m m m n n n ⎧--=-⎪⎨-+-=⎪⎩， 据此求m n +的值.

相信大部分高中生看到相同的结构第一反应就是构造函数，但是这里我们先用初中生（或高一学生）的思维思考一下，假设函数的思想还没有根深蒂固，这题该如何处理？

方向一：朝着目标配凑

如果我们有一些目标意识，就会知道要求m n +的值，把已知的两个方程相加会是一个不错的选择，因此我们得到

()()()3322929660m n m n m n +-+++-=，

再作一点点变形，尽量提出m n +：

()()()()2222929660m n m n mn m n m n ++--+++-=，

将其中()229m n +的拆成()()2

22636m n m n mn +++-，就出现了公因式22m n mn +-，从而得到 ()()()

()2226329660m n m n mn m n m n +-+--+++-=， 第二部分用十字相乘法分解，得()()()()23296663311m n m n m n m n +-++=+-+-，所以

()()22633110m n m n mn m n +-+---+=，

再注意到()()()()222

22233113340m n mn m n m n m n +---+=-+-+-+>，

所以6m n +=.

这样就顺利得到了答案，其中对于223311m n mn m n +---+恒正的说明具有较强的技巧性，更容易操作的手法或许是主元分析，即

()222233113311m n mn m n m n m n n +---+=-++-+，

这个关于m 的二次多项式()223311m n m n n -++-+的判别式为

()()()22

22343113184433170n n n n n n ∆=+--+=-+-=---<， 所以()2233110m n m n n -++-+>恒成立.

方向二：处理掉二次项再配凑（方向一的优化）

以上述过程中，将()229m n +拆成()()2

22636m n m n mn +++-，技巧性比较强，出现这种情况的原因就是()2121*N n n a b n --+∈能被a b +整除，而()22*N n n a b n +∈不能被a b +整除，因此，我们若能先处理掉二次项，则会将变形的难度降低不少.

联想到完全立方公式()3

322333x a x ax a x a +=+++，很自然地想到（2239ax x =-）将条件变形为 ()()()()333231532315

m m n n ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩ 两式相加，得

()(

)()()()226333320m n m m n n ⎡⎤+-----+-+=⎣⎦， 其中()()()()22333320m m n n ----+-+>显然是成立的，所以6m n +=.

方向三：粗暴设元

设m n a +=，则m a n =-，代入条件即得

()()()32329+29189293018

n a n a n a n n n ⎧-+--=-⎪⎨-+-=⎪⎩， 整理可得

()()()32232323931829929180929480

n a n a a n a a a n n n ⎧--+-+--+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 对比可得6a =.（要严谨说明，还存在一定的困难）

想法二：函数视角

前面说了，看到这样相同的结构，就算没有函数我们都要构造函数. 这道题是要求m n +，即两个函数值固定的自变量之和，可能需要用到函数的对称性.

不难证明，三次函数都可以通过平移转化成()30y ax bx a =+≠的形式，这个函数是一个奇函数，因此所有的三次函数的图像都有对称中心.

那么，对称中心到底应该怎么求呢？

方向一：待定系数

对一般的函数而言，求图像的对称轴和对称中心，大多根据定义，用待定系数法求解，这种方法是必须数量掌握的方法. 设对称中心为,22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，则()()f x f a x b +-=恒成立，然后求出,a b 即可，这个计算过程和前面的“粗暴设元”有着相同的部分（也正是为了方便对比，才把对称中心设为,22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，而非(),a b ），后续过程不再赘述.

方向二：代数配凑（奇函数图像平移）

同上，联想到完全立方公式，很自然地想到将()3292930f x x x x =-+-变形为

()()()3

3233f x x x =-+-+，

它的图像可以看作是由奇函数32y x x =+向右、向上各平移三个单位长度得到的，因为这个奇函数单调递增，所以()f x 单调递增，且图像的对称中心为()3,3.

因为()()12186f m f n +=-+=，所以6m n +=.

值得一提的是，上面对于函数单调性的说明是不可缺少的，否则可能会出现下面这种情况：

(n ,f

(m ,f (m