材料力学-内力与内力图

结论 直梁某横截面上的剪力等于该截面一端（左或右端）
全部横向力（包括支反力）的代数和 （左上右下取＋号，反之取负号） FS F
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例3 求承受均布荷载作用的简支梁的内力方程，并画出相应 的剪力图和弯矩图。 1 [ 解] （1）先求支反力 RA RB qL [解] A B y 2 q （2）求梁的内力方程 M 1 x FSS qL qx 剪力 2 x FS S 所有力对截面形心的力矩平衡 L qL / 2 m 0 1 qx 22 1 qLx M ( x) 0 2 2 1 M ( x) qx( L x) 弯矩 2
x
考虑取上部为分析对象，这样可 以避免求下端的支反力。
由于截面取在了望台上方时无须考虑力 P ，而取在下方则应 考虑力 P ，故建立内力方程应分两段 16
16
例1 如图的塔的材料密度为ρ， 塔中了望台总重 P，塔外径为 ，塔中了望台总重 D， 内径为 d， 求横截面上的轴力。 ，内径为 ，求横截面上的轴力。 [解]（2）分段建立内力轴力方程 1 A π( D 22 d 22 ) 4 0 xh
绪论 —总
结
连续性 均匀性 各向同性
研究对象
变形固体(杆件)
外界因素作用 基本变形:
小变形
塑性变形
轴向拉(压)、剪切、扭转、平面弯曲
弹性变形
组合变形: 拉(压)弯、偏心压(拉)、斜弯曲、 弯扭组合
任务内容
安全可靠 强度，刚度，稳定性 经济实用
在保证构件满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既安 全又经济的构件提供必要的理论基础和计算方法。
Fz z MxFF y Fy MM y zx F Fx y
z
主矩 Mx x 扭矩 T ( torque ) My y 弯矩 My y ( bending moment ) Mzz 弯矩 Mzz
6
x
2. 杆件内力与变形的关系 拉压 扭转 轴力 FN N 扭矩 T 剪力 FS S
剪切
弯曲
弯矩 M
7Baidu Nhomakorabea
3. 内力的符号规定
0,
M
z z
0
T T ( x), M yy M yy( x), M zz M zz( x).
由内力方程作出杆件的内力图
(a x b) —作内力图的列方程法
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2.2 内力方程及内力图
用截面法求内力方程 方法和步骤 －“截面法”
“切” 、（“留 ”)、“代”、“平”
1) 在必要和可能的条件下，先求出所有约束的反力。 2) 在要求内力的截面位置，用一假想截面将杆件切开。 （留下 一部分作为研究对象，舍去另一部分) 下一部分作为研究对象，舍去另一部分 3) 舍去部 分对留下部分的作用代之以相应的力 ( 即为要求的 舍去部分对留下部分的作用 (即为要求的 内力 ) 。将这种内力作用的方向按假设为正内力方向（即 设 内力) 正法）画在截面上。 4) 留下部分的所有内力、外力（包括约束反力）按照理论 力学的符号规定建立力或力矩的平衡方程式。 5) 求解方程即可得内力。若所得内力为负值，表明实际内 力方向与设想方向相反。 15
20
T
max
650 N m
例3 使用丝锥时每一个手用力 10N， 假定 ，假定 各锥齿上受力相等，试画出丝锥的扭矩图。 分析 锥齿段外力偶矩可简化为均布力偶
40 20
矩。人加荷载简化为集中力偶矩。 [解] 计算模型如图 作用在丝锥顶部的力偶矩
150
m A
m 2 150 10 3000 N mm

FS F
（左上右下取＋号，反之取负号）
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例3 求承受均布荷载作用的简支梁的内力方程，并画出相应 的剪力图和弯矩图。 1 [ 解] （1）先求支反力 RA RB qL [解] A B 2 y q （2）求梁的内力方程 q M x 建立坐标系 B A 从任意x截面截取左段梁研究 x FS S L 竖向力平衡 Fyy 0 / 2/ 2 qL qL qL / 2 1 qL qx FSS( x) 0 2 1 FSS( x) qL qx 剪力 2
FN2 N2 x
1 2 2 2 2 FN2 ( D d ) π gx P 0 N2 4 1 2 2 2 2 F N2 ( D d ) π gx P N2 4
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例1 如图的塔的材料密度为ρ， 塔中了望台总重 P，塔外径为 ，塔中了望台总重 D， 内径为 d， 求横截面上的轴力。 ，内径为 ，求横截面上的轴力。 （3）作轴力图 1 22 2 2 0 xh FN1 ( D d )πgx N1 4 1 2 2 2 2 h xH F N2 ( D d ) π gx P 分析和讨论 N2 4 FN N 轴 g gA h 力 hh gAh gAh gAh gAh P P 图 x 形 P P 特 H H H 点 FN2 N2 ？
150
40
20
在 AB 区段取截面 易得扭矩为常数 m 在 BC 区段内 C 截面处扭矩为零 B —C ，扭矩线性地减小 B—C
m A T 3000
B t
C
分析和讨论
x
扭矩 图形特点？ 扭矩图形特点？
40
60
23
例4 求承受均布荷载q作用的简支梁的内力方程，并画出相应 的剪力图和弯矩图。 1 [ 解] （1）先求支反力 RA RB qL [解] A B 2 y y q （2）求梁的内力方程 q q M x x 建立坐标系 B A 从任意x截面截取左段梁研究 x x FS S L L 竖向力平衡 Fyy 0 // 2 qL qL / 2 2/ 2 qLqL 1 qL qx FSS( x) 0 2 1 FSS( x) qL qx 剪力 2 结论 直梁某横截面上的剪力等于该截面一端（左或右端） 梁上全部横向力（包括支反力）的代数和
x x
gAH gAH P P
x
h
19
·m， 例2 某传动轴受力如图所示，Me =1000N·m eA A=350N·m，MeB eB=1000N Me eC C=650N·m。作此轴的扭矩图。
[ 解] （ [解] 1）求扭矩 （1）求扭矩 Me A
1
Me B
2 2 2 2
Me C
C
M
准确理解杆件内力的定义和符号规定。 能利用截面法建立内力方程，能迅速求出指定 截面的内力。 深入理解梁中弯矩、剪力和分布荷载之间的微 分关系，并能利用这些关系熟练地画出梁的剪力弯 矩图；能正确画出刚架、曲杆的内力图。
4
2.1 内力 ( internal forces ) 定义 和符号规定 定义和符号规定

结论 直梁某横截面上的弯矩等于该截面一端（左或右端）
全部力偶矩及全部作用力(包括支反力)对该截面矩的代数和。
MI m(F, q, Me ) （左顺右逆取＋号，反之取负号）
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例3 求承受均布荷载作用的简支梁的内力方程，并画出相应 的剪力图和弯矩图。 1 [ 解] （1）先求支反力 RA R qL [解] B A B y 2 （2）求梁的内力方程 q M 1 x FSS qL qx 剪力 2 x FS S 所有力对截面形心的力矩平衡 L qL / 2 m0 1 2 1 qx 2 qLx M ( x) 0 2 2 1 弯矩 M ( x) qx( L x) 2 结论 直梁某横截面上的弯矩等于该截面一端（左或右端） 全部力偶矩及全部作用力(包括支反力)对该截面矩的代数和。
y z
杆件任意局部区段中，所有外力与内力构成平衡力系。
x
F 0, F 0 , F 0
x x y y z z
FN FN FSy FSz ( x), FSy ( x), FSz ( x); N N Sy Sy Sz Sz
(a x b)
x
M
x x
0,
M
y y
1. 内力的定义
外力作用引起构件内部的附加相互作用力的合力 内力是复杂的分布力系 可以将复杂的分布力系简化为 截面形心上的主矢和主矩。 截面上主矢和主矩对于该构件 会引起什么样的变形效应？
5
c
2.1 内力 ( internal forces ) 定义 和符号规定 定义和符号规定
1. 内力的定义 主矢 Fx 力 FN 轴力 x 轴 N ( axial force ) Fy 力 FS 剪力 y 剪 Sy y ( shearing force ) Fzz 剪 力 FS 剪力 Sz z
150
m A
m 2 150 10 3000 N mm
B t C
作用在齿部的平均分布力偶矩
t 3000 20 150 N mm mm
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例3 使用丝锥时每一个手用力 10N， 假定 ，假定 各锥齿上受力相等，试画出丝锥的扭矩图。
作扭矩图
m 3000 N mm
t 150 N mm mm
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例1 如图的塔的材料密度为ρ， 塔中了望台总重 P，塔外径为 ，塔中了望台总重 D， 内径为 d， 求横截面上的轴力。 ，内径为 ，求横截面上的轴力。 （2）分段建立内力轴力方程 1 A π ( D 22 d 22 ) 4 0 xh 1 22 2 2 g h FN1 ( D d ) πgx 0 N1 4 x 1 22 2 2 F ( D d ) πgx N1 N1 P 4 H h xH
对 AB段： 对AB段：
x
0 : T1 M eA 0
A
1
B
T1 M eA 350 N m
对 BC段： 对BC段：
Me A
T1
350 N m
T2
Me C
M
x
0: T2 MeC 0
+
—
T2 MeC 650 N m
（ 2）作扭矩图 （2）作扭矩图
650 N m
例1 如图的塔的材料密度为ρ， 塔中了望台总重 P，塔外径为 ，塔中了望台总重 D， 内径为 d， 求横截面上的轴力。 ，内径为 ，求横截面上的轴力。 [解] （1）力分析
h
gA gA h h
P P H H H
塔体及受力简化 塔体简化为等直杆 塔体的自重可简化为沿轴向的 均布荷载ρgA。了望台重量简 化为集中力P。 建立如图的坐标系 在用截面法分析轴力时，可
h
x g gA x gA h h P P P H FN2 N2 x x x x x FN1 N1 H H
1 22 2 2 FN1 ( D d )πgx 0 N1 4 1 22 2 2 FN1 ( D d )πgx N1 4
h x H 1 22 2 2 FN2 ( D d ) π gx P 0 N2 4 1 2 2 2 2 F N2 ( D d ) π gx P N2 4
使微元区段有伸长趋势的轴力为正。
10
扭矩的正号
扭矩的负号
使微元区段表面纵线有变为右手螺旋线趋势的扭矩为正。
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剪力的 正号 剪力的正号
剪力 的负号 剪力的负号
使微元区段有左上右下错动趋势的剪力为正。
12
弯矩的正号
弯矩的负号
使微元区段有变凹趋势的弯矩为正。
13
2.2 内力方程及内力图
用截面法求内力方程 依据 杆 件整体平衡时，它的任何一个局部也平衡。 杆件整体平衡时，它的任何一个局部也平衡。
M T FS N N S
在一个横截面的两侧，轴力的“方向”是相反的。 应该用什么方式来确定轴力和其它内力的符号？
内力符号规定的原则
在一个横截面上，同一种内力只能有唯一的符号。 内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势来规定的。
8
3. 内力的符号规定
9
轴力的 正号 轴力的正号
轴力 的负号 轴力的负号
B t C
作用在齿部的平均（分布）力偶矩
t 3000 20 150 N mm mm
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例3 使用丝锥时每手用力 10N， 假定各锥齿 ，假定各锥齿 上受力相等，试画出丝锥的扭矩图。
分析 锥齿段外力偶矩可简化为均布力偶矩。
40 20
人加荷载简化为集中力偶矩。 计算模型如图 作用在丝锥顶部的力偶矩
Chapter 2
Internal Forces and Their Diagrams
第二章 内力与内力图
2
本章基本内容 2.1 内力 定义和符号规定 内力定义和符号规定 2.2 内力方程及内力图 2.3 梁的平衡微分方程及其应用 2.4 简单刚架和曲杆的内力图 本章内容小结
3
本 章 基 本 要 求