带电球体电场与电势的分布

带电球体电场与电势的分布
王峰
在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场
强、 一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为
零， 体上的电势处处相等； 但对带电金属导体的内、 缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明； 会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分， 来推导出上述问题的答案，并给出相应的“ E
r ”和“
考。

其所带电荷全部分布在金属球体 的表
面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。

电场分布：
1.1.1内部（r <R ）:如图（1）所示，在均匀带电金属球（壳）内的任意点 P 处，均有通 过直径相似对称的两个带电球冠面 $和S 2，当两条线夹角 很小时，$和S 2可以近似看 作两个带电圆面，且 0和S 2两个面的尺寸相对它们距离 P 点距离很小，这样 S 1和S 2两个 带电面就可以近似处理为点电荷，它们在 P 点各自产生电场强度 E 1P 与E 2P ，计算如下所 示：设球体带电总量为 Q ，且均匀分别在导体球外表面上
（南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006)
电势的分布特点问题时，我们 在电势上金属体是一个等势体，
带电
外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝 而在电场一章的复习中，常常 笔者在此处
利用微积分的数学方法，
r ”的关系曲线图，供大家参
本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即 U 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，
中，即相对介电常数
0 1 ；
•/ E 1P K
E 2P K
图(1)
Q
? (r 1 sin )2
4 R 2
r
12
Qsi n 2
K 4R 2
Q
? (r 2 sin )2
4 R 2
Qsin 2
1、
2
且E 1P 与E 2P 等大反向
二E p 0，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。

1.1.2外部（r >R ）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部 P 点的电场强度，
可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面
ds ，将每个单元面上电荷在 P 点产生的电场
dE 进行叠加，求出 P 点的合场强E P 。

由于球面上单元面 ds 的对称性特点，可知 P 点的 电场强度E P
的方向最终应该沿 0P 连线的方向。

图（2）
上述求电场强度 E P 的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重
积分的方法；即先要对ds 和ds '所在球面上的带电圆环进行 0 2的环积分，对求出的环 形电场再进行沿直径方向的 0 的积分，最终求出带电球体在 P 点的合场强E P 。

积分
过程如下：如图（
2）所示，设 OA R , OP r ，AP x ，球表面电荷的面密度为
Q 4 R 2
由OAP 可知：x
2
2
r 2
R 2
2rR cos
E P
ds
K 2 cos x
取球面极坐标， 则
ds Rd ? Rsin d
为带电圆环的从 0 2 的还积分。

，其中 为沿直径方向的从0
积分角,
E P
E
P
R 2 sin d d
CO
S
又 T
COS
r Rcos r Rcos E P
2 K R 2
又
•••
r
Rcos
E p 2
R 2
R 2
R 2 R 2 K
r 2
r 2 R 2 2rR cos 2
R (r Rcos )sin d
3
2 2 (r 2 R 2
2rRcos )2
(r Rcos )d( cos ) o
I
(r 2 R 2 2rRcos )2
2
2r 2rR cos
2r
r 2 R 2 r 2 R 2
2r
r 2 R 2 0 2r •
壬
(r 2 R 2 2rR cos ) 2
r 2 R 2 ? 1 2r ? 2rR
丄？丄
2r 2rR r 2
R 2
2r 2
R 2rR cos
d( cos )
1 o 2r
(r 2
d( cos )
1
R 2 2rR cos 乂
2
~2
r
E P
1
(r 2 R 2
-?(r 2 R 2 1
1 2r 2R
1
2rRcos )2
1
2rR cos )2
r R (r R)
带电金属球体或金属球壳在外部空间某点产生的电场强度
由此可以看出， 电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。

E 外= K 号 r 2 当r R 时，有E K 弓 R 2
E ，与其上
,所以带电金属球或带电球壳的内、外电场强度的分布在
r R
处电场强度的值有突变的情况。

1.1.3图景：如图（3）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的 电场强度
E 的大小随P 点到圆心0的距离r 的关系图线。

电势分布：
1.2.1 内部（r <R ）：
由电势的物理意义可得，当以无穷远点为零势点时，该点的电势等于对电场强度从该 点到无穷远的定积分。

即：
P Edr R)dr
K 弓 dr
r
r R r 2
由上述答案可知，均匀带电金属球在稳定时，其球外任一点的电势等于把全部电荷看 作集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同；
在球体内任一点的电势应与球面上的电势相
等，故均匀带电金属球面及其内部是一个等势体。

1.2.2外部（r >R ）:由上述电势理论同样可得：
W p
U
A q
又 W p
E
1
re E
2
々q
E
3 r 3q
E
n r n q
U p
E
1 r 1
E 2
r
2 E 3
r
3
E
n r n
又U p
A
P
E 1 r 1 E 2
r
2
E
3 r 3
E
n r n
P 的大小可以由电场力做功和电势差关系来确定
内部某点P 的电势
K Q r
K Q R
I II
Edr
r
K号dr
r r2
Q
K —r K —r r
Q
当r R时，有K二，所以带电金属球的内、外电势的分布是连续不间断的。

R
1.2.3图景：如图（4）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电
势的大小随P点到圆心
2、带电的绝缘体球: 体密度
处处相同。

电场的分布:
2.1.1内部（r<R）:如图（5）所示，在此带电球体内部距离圆心r处的电场强度E P
等于以0为圆心、r为半径的带电球体在此处产生的电场E1和以0为圆心从r到R的
带电球壳在此处产生的电场E2的叠加；又已知带电球壳在内部产生的电场强度处处为
零（即E2 0），所以P点处的电场强度就等于以r为半径的带电球体产生电场E1。

即电荷的
O的距离r的关系图线。

图（4）
这种带电体的电荷是均匀分布在整个球体的各个部位,
图（5）
Edr
r
KQr 2
R
Q
K rdr r
R R 3
2R 3
3KQ 2R
r
KQ
2
2R 3 r 空(R 2 r 2) K Q
2R 3
R
的电场强度是连续分布的；在
r R 处，电场强度最大。

2.1.3图景：如图（6）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电场强度 E 的大小随P 点到
圆心O 的距离r 的关系图线。

旦？？ r 3 4 R 3 3
K^—
r 2
KQ r
R 3
所以，带电绝缘体内部的电场强度
2.1.2外部（r >R ）:和带电导体球（或球壳）一样，仍可视为集中在球心处的点电荷在该 处产生的电场。

E 的大小与P 点距球心的半径r 成正比。

E 外=K® 外
r 2
当r R 时，有电场强度的最大值
E max
K-5-，所以，带电绝缘体球的内、外部 R 2
电势的分布：
2.2.1内部（r <R ）：由电势的物理意义可得,
于对电场场强从该点到无穷远的积分。

即: 当以无穷远点为零势点时，该点的电势等
图（6）
222外部（
r>R）：由上述电势理论同样可得:
Q
Edr K dr r2 r r r
当r R，即在此球壳处处电势为R紫所以带电绝缘体球的内、外电势的分布曲线是连续的。

2.2.3图景：如图（7）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电势
O的距离r的关系图线。

本文运用数学的积分思想对电场、电势的分布进行推导，引导高三复习的同学从数学角
度认识物理过程，加强了数学和物理知识的联系，深化了学生的物理形象思维和抽象思维。

但高三学生复习本节知识点时，对于积分的推导过程不必太关注，但对电场、电势推导的结论、图景要作为高考必备知识点给予特别记忆和储存，以达到在高考时节省用在选择题中时
间的目的。

参考书目：1赵凯华、陈熙谋《电磁学》1985年6月第二版高等教育出版社
2、普通高中课程标准实验教材《物理3- 1》2004年5月第一版人民教育出
版社
联系方式：
单位:南通市启秀中学物理学科王
峰
K Q
r r
K Q
r
当r 0时，即在球体的圆心处电势最高，有
3KQ
"2R
的大小随P点到圆心
图（7）
Post:226001
Tele:0513 －（宅）（0）
E －mail ＆
通讯地址：南通市濠景园14 幢102 室王峰226006个人简介：王峰男72 年生南通市启秀中学高中物理教师中学一级
2006 年就读南京师范大学物理科学与技术学院教育硕士研究生。