带电球体电场与电势的分布

带电球体电场与电势的分布

王峰

在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场

强、 一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为

零， 体上的电势处处相等； 但对带电金属导体的内、 缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明； 会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分， 来推导出上述问题的答案，并给出相应的“ E

r ”和“

考。

其所带电荷全部分布在金属球体 的表

面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。

电场分布：

1.1.1内部（r

（南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006)

电势的分布特点问题时，我们 在电势上金属体是一个等势体，

带电

外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝 而在电场一章的复习中，常常 笔者在此处

利用微积分的数学方法，

r ”的关系曲线图，供大家参

本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即 U 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，

中，即相对介电常数

0 1 ；

•/ E 1P K

E 2P K

图(1)

Q

? (r 1 sin )2

4 R 2

r

12

Qsi n 2

K 4R 2

Q

? (r 2 sin )2

4 R 2

Qsin 2

1、

2

且E 1P 与E 2P 等大反向

二E p 0，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。 1.1.2外部（r >R ）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部 P 点的电场强度，

可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面

ds ，将每个单元面上电荷在 P 点产生的电场

dE 进行叠加，求出 P 点的合场强E P 。由于球面上单元面 ds 的对称性特点，可知 P 点的 电场强度E P

的方向最终应该沿 0P 连线的方向。

图（2）

上述求电场强度 E P 的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重

积分的方法；即先要对ds 和ds '所在球面上的带电圆环进行 0 2的环积分，对求出的环 形电场再进行沿直径方向的 0 的积分，最终求出带电球体在 P 点的合场强E P 。积分

过程如下：如图（

2）所示，设 OA R , OP r ，AP x ，球表面电荷的面密度为

Q 4 R 2

由OAP 可知：x

2

2

r 2

R 2

2rR cos

E P

ds

K 2 cos x

取球面极坐标， 则

ds Rd ? Rsin d

为带电圆环的从 0 2 的还积分。

，其中 为沿直径方向的从0

积分角,

E P

E

P

R 2 sin d d

CO

S

又 T

COS

r Rcos r Rcos E P

2 K R 2

又

•••

r

Rcos

E p 2

R 2

R 2

R 2 R 2 K

r 2

r 2 R 2 2rR cos 2

R (r Rcos )sin d

3

2 2 (r 2 R 2

2rRcos )2

(r Rcos )d( cos ) o

I

(r 2 R 2 2rRcos )2

2

2r 2rR cos

2r

r 2 R 2 r 2 R 2

2r

r 2 R 2 0 2r •

壬

(r 2 R 2 2rR cos ) 2

r 2 R 2 ? 1 2r ? 2rR

丄？丄

2r 2rR r 2

R 2

2r 2

R 2rR cos

d( cos )

1 o 2r

(r 2

d( cos )

1

R 2 2rR cos 乂

2

~2

r

E P

1

(r 2 R 2

-?(r 2 R 2 1

1 2r 2R

1

2rRcos )2

1

2rR cos )2

r R (r R)

带电金属球体或金属球壳在外部空间某点产生的电场强度

由此可以看出， 电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。 E 外= K 号 r 2 当r R 时，有E K 弓 R 2

E ，与其上

,所以带电金属球或带电球壳的内、外电场强度的分布在