(完整word版)数系的扩充与复数的引入知识点总结,推荐文档

数系的扩充与复数的引入知识点总结

一．数系的扩充和复数的概念

１．复数的概念

(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.

(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ⎧⇔⎨⎩，特别地:

.

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是

２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的

平面叫做复平面，也叫高斯平面，

轴叫做实轴，轴叫做虚轴.

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数

复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

（２）复数的几何意义

坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点

为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作

.即. ３．复数的运算

（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行

设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则

12()()z z a c b d i ±=±+±

12()()z z ac bd ad bc i •=-++

12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d

-++=≠+ （２）几个重要的结论

2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+

22||||z z z z •==

若z 为虚数,则22||z z ≠

（３）运算律

m n m n z z z +•=

()m n mn z z =

1212()(,)n n n z z z z m n R •=•∈

（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：

21i =-

3i i =-

41i =

2340n n n n i i i i ++++++=

注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小

（２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用

二．同步检测

１．复数ａ＋ｂi 与ｃ＋ｄi 的积是实数的充要条件是

Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０

Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ ２．复数

5-2

i 的共轭复数是 Ａ．i ＋２ Ｂ．i －２ Ｃ．－２－i Ｄ．２－i ３．当2<<13m 时，复数ｍ（３＋i ）－（２＋i ）在复平面内对应的点位于 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限

４．复数3

1+22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

＝

５．已知复数ｚ与()2+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ

６．已知(1+2=4+3i z i ），求ｚ及z

z

７．已知1z ＝５＋１０i ，2z ＝３－４i ，12

11

1=+z z z ，求ｚ

８．已知２i －３是关于x 的方程２2x ＋ｐx ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值