山东省烟台市莱山区2019-2020年八年级(上)期末数学试卷(五四学制) 解析版

2019-2020学年八年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．若分式＝0，则x的值是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2
3．因式分解（x+y）2﹣2（x2﹣y2）+（x﹣y）2的结果为（）
A．4（x﹣y）2B．4x2C．4（x+y）2D．4y2
4．篮球小组共有15名同学，在一次投篮比赛中，他们的成绩如右面的条形图所示，这15名同学进球数的众数和中位数分别是（）
A．6，7 B．7，9 C．9，7 D．9，9
5．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A．4 B．5 C．6 D．8
6．如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
7．已知A（1，﹣3），B（2，﹣2），现将线段AB平移至A1B1，如果A1（a，1），B1（5，b），那么a b的值是（）
A．32 B．16 C．5 D．4
8．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′
与A对应，则角α的大小为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
9．如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（）
A．360°B．540°C．720°D．630°
10．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（）
A．M＞N B．M＝N C．M≤N D．M＜N
11．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）
A．B．1 C．D．
12．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）
A．B．2 C．D．2
二．填空题（共8小题）
13．团队游客年龄的方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，导游小力最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选．
14．计算：20192﹣2018×2020＝．
15．若3x2﹣mx+n进行因式分解的结果为（3x+2）（x﹣1），则mn＝．
16．某市对旧城区规划改建，根据2001年至2003年发展情况调查，制作成了房地产开发公司个数的条形图和各年度每个房地产开发公司平均建筑面积情况的条形图，利用统计图提供的信息计算出这3年中该市平均每年的建筑面积是万平方米．
17．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是．18．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM ＝3，则矩形的对角线AC的长为．
19．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x 轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为．
三．解答题（共8小题）
21．将下列各式因式分解
（1）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）
（2）x2+2x﹣15
22．上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
•﹣＝
（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果
（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5
23．直角坐标系中，A，B，P的位置如图所示，按要求完成下列各题：
（1）将线段AB向左平移5个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的线段A1B1；
（2）将线段AB绕点P顺时针旋转90°，画出旋转后的线段A2B2；
（3）作出线段AB关于点P成中心对称的线段A3B3．
24．如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．
25．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
26．如图①，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为；
（3）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．
27．春节即将来临，根据习俗好多家庭都会在门口挂红灯笼和贴对联．某商店看准了商机，准备购进批红灯笼和对联进行销售，已知红灯笼的进价是对联进价的 2.25倍，用720元购进对联的数量比用540元购进红灯笼的数量多60件
（1）对联和红灯笼的进价分别为多少？
（2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300幅对联和200个红灯笼．已知对联的销售价格为12元一幅，红灯笼的销售价格为24元一个．销售一段时间后发现对联售出了总数的，红灯笼售出了总数的．为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？
28．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接AE，点F，H，G分别为DE，AE，AB的中点连接FH，HG
（1）观察猜想图1中，线段FH与GH的数量关系是，位置关系是
（2）探究证明：把△CDE绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，连接AD，AE，BE判断△FHG的形状，并说明理由
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若CD＝4，AC＝8，请直接写出△FHG 面积的最大值
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2．若分式＝0，则x的值是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：由题意，得
x2﹣1＝0且x+1≠0，
解得x＝1，
故选：C．
3．因式分解（x+y）2﹣2（x2﹣y2）+（x﹣y）2的结果为（）
A．4（x﹣y）2B．4x2C．4（x+y）2D．4y2
【分析】利用完全平方进行分解即可．
【解答】解：原式＝[（x+y）﹣（x﹣y）]2，
＝（x+y﹣x+y）2，
＝4y2，
故选：D．
4．篮球小组共有15名同学，在一次投篮比赛中，他们的成绩如右面的条形图所示，这15名同学进球数的众数和中位数分别是（）
A．6，7 B．7，9 C．9，7 D．9，9
【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．
【解答】解：学生进球数最多的是9个，共有6人，因此众数是9个，
将这15名同学进球的个数从小到大排列后处在第8位的是7个，因此中位数是7个，故选：C．
5．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得．
【解答】解：根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°＝8，
则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为：8﹣3＝5（条）．
故选：B．
6．如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC＝9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．
【解答】解：∵AC＝4cm，若△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）＝18cm．
故选：D．
7．已知A（1，﹣3），B（2，﹣2），现将线段AB平移至A1B1，如果A1（a，1），B1（5，b），那么a b的值是（）
A．32 B．16 C．5 D．4
【分析】利用平移的规律求出a，b即可解决问题．
【解答】解：由题意：a＝4，b＝2，
∴a b＝42＝16，
故选：B．
8．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
【解答】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O 即为旋转中心．连接OA，OB′
∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°
故选：C．
9．如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（）
A．360°B．540°C．720°D．630°
【分析】如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形）的情况有以上三种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断．
【解答】解：如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个五边形和三角形，
∴M+N＝540°+180°＝720°；
②当直线经过一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N＝360°+180°＝540°；
③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，
此时矩形分割为两个三角形，
∴M+N＝180°+180°＝360°．
故选：D．
10．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（）
A．M＞N B．M＝N C．M≤N D．M＜N
【分析】利用完全平方公式把N﹣M变形，根据偶次方的非负性解答．
【解答】解：N﹣M＝（m2﹣3m）﹣（m﹣4）
＝m2﹣3m﹣m+4
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴N﹣M≥0，即M≤N，
故选：C．
11．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）
A．B．1 C．D．
【分析】只要证明BE＝BC即可解决问题；
【解答】解：∵由题意可知CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCE＝∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE＝∠E，∴∠BCE＝∠AEC，
∴BE＝BC＝3，
∵AB＝2，
∴AE＝BE﹣AB＝1，
故选：B．
12．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）
A．B．2 C．D．2
【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD＝，应用两次勾股定理分别求BE和a．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．
∴AD＝a
∴
∴DE＝2
当点F从D到B时，用s
∴BD＝
Rt△DBE中，
BE＝＝＝1
∵ABCD是菱形
∴EC＝a﹣1，DC＝a
Rt△DEC中，
a2＝22+（a﹣1）2
解得a＝
故选：C．
二．填空题（共8小题）
13．团队游客年龄的方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，导游小力最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选甲．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，
∴S甲2＜S丙2＜S乙2，
∴他在甲、乙、丙三个的中应选甲；
故答案为：甲．
14．计算：20192﹣2018×2020＝ 1 ．
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：原式＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1，
故答案为：1
15．若3x2﹣mx+n进行因式分解的结果为（3x+2）（x﹣1），则mn＝﹣2 ．【分析】将（3x+2）（x﹣1）展开，则3x2﹣mx+n＝3x2﹣x﹣2，从而求出m、n的值，代入计算可得答案．
【解答】解：∵（3x+2）（x﹣1）＝3x2﹣x﹣2，
∴3x2﹣mx+n＝3x2﹣x﹣2，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴mn＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16．某市对旧城区规划改建，根据2001年至2003年发展情况调查，制作成了房地产开发公司个数的条形图和各年度每个房地产开发公司平均建筑面积情况的条形图，利用统计图提供的信息计算出这3年中该市平均每年的建筑面积是702 万平方米．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．要求这3年中该市平均每年的建筑面积，则把该市这3年的总建筑面积除以3即可．
【解答】解：3年中该市平均每年的建筑面积＝（15×9+30×30+51×21）÷3＝702（万平方米）．
故填702．
17．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）．
【分析】由B（﹣3，﹣1）、C（1，﹣1）可知BC∥x轴∥AD，所以点D与点A纵坐标相同；由平行四边形性质及三角形平移特点，即可求出点D横坐标．
【解答】解：过点A、D作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为E、F
∵以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，B（﹣3，﹣1）、C（1，﹣1）；
∴BC∥x轴∥AD，又A（﹣2，1）．
∴点D纵坐标为1；
∵▱ABCD中，AE⊥BC，DF⊥BC．
∴△ABE≌△DCF
∴CF＝BE＝1；
∴点D横坐标为1+1＝2
∴点D（2，1）．
同理可得D点坐标还可以为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）；
故点D为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）．
18．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM ＝3，则矩形的对角线AC的长为．
【分析】连接AM．在Rt△ADM中，利用勾股定理求出AD2，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC即可．
【解答】解：如图，连接AM．
∵直线MN垂直平分AC，
∴MA＝MC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵DM＝2，MA＝3，
∴AD2＝AM2﹣DM2＝32﹣22＝5，
∴AC＝＝＝；
故答案为：．
19．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF ＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3，
∴BF＝＝5，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x
轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为（，﹣）．
【分析】作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，根据菱形的性质得到∠COB＝30°，再根据旋转的性质得∠BOB′＝75°，OB′＝OB＝2，则∠COB′＝∠BOB′﹣∠COB＝45°，所以△OB′H为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH＝B′H＝，然后根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标．
【解答】解：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图，
∵四边形OABC为菱形，
∴OB平分∠AOC，
∴∠COB＝30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′＝75°，OB′＝OB＝2，
∴∠COB′＝∠BOB′﹣∠COB＝45°，
∴△OB′H为等腰直角三角形，
∴OH＝B′H＝OB′＝，
∴点B′的坐标为（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
三．解答题（共8小题）
21．将下列各式因式分解
（1）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）
（2）x2+2x﹣15
【分析】（1）将原式变形后，利用提公因式法和平方差公式进行因式分解；
（2）利用十字相乘法进行分解即可．
【解答】解：（1）原式＝x2（m﹣2）﹣y2（m﹣2）＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y），
（2）x2+2x﹣15＝（x+5）（x﹣3）．
22．上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
•﹣＝
（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果
（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5
【分析】（1）根据被减数、减数、差及因数与积的关系，化简分式求出盖住的部分即可；
（2）根据x＝2时分式的值是5，得关于y的方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵（+）÷
＝[+]×
＝×
＝﹣
∴盖住部分化简后的结果为﹣；
（2）∵x＝2时，原分式的值为5，
即，
∴10﹣5y＝2
解得y＝
经检验，y＝是原方程的解．
所以当x＝2，y＝时，原分式的值为5．
23．直角坐标系中，A，B，P的位置如图所示，按要求完成下列各题：
（1）将线段AB向左平移5个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的线段A1B1；
（2）将线段AB绕点P顺时针旋转90°，画出旋转后的线段A2B2；
（3）作出线段AB关于点P成中心对称的线段A3B3．
【分析】（1）分别作出A，B的对应点A1B1即可．
（2）分别作出A，B的对应点A2B2即可．
（3）分别作出A，B的对应点A3B3即可．
【解答】解：（1）如图线段A1B1即为所求．
（2）如图线段A2B2即为所求．
（3）如图线段A3B3即为所求．
24．如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，
交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．
【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；
（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN＝即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM＝BN，
∵CD＝AB，CD∥AB，
∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，
∵∠CEM＝∠AFN＝90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN＝EM＝5，
在Rt△AFN中，AN＝＝＝13．
25．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y 的值，从而可以得到2x+y的值；
（2）根据a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c 的值．
【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，
∴（x+y）2+（y+1）2＝0，
∴x+y＝0，y+1＝0，
解得，x＝1，y＝﹣1，
∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；
（2）∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得
b2+4b+c2﹣6c+13＝0，
∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，
∴b+2＝0，c﹣3＝0，
解得，b＝﹣2，c＝3，
∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，
∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．
26．如图①，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为菱形；
（3）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDE＝∠A，根据题意得到∠DEF＝∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据三角形中位线定理得到DE＝AC，得到AD＝DE，根据菱形的判定定理证明；（3）根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠BDE，
∴AD∥EF，又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）解：▱ADEF的形状为菱形，
理由如下：∵点D为AB中点，
∴AD＝AB，
∵DE∥AC，点D为AB中点，
∴DE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形，
故答案为：菱形；
（3）四边形AEGF是矩形，
理由如下：由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF＝DE，
∵EG＝DE，
∴AF∥DE，AF＝GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD＝AG，EG＝DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
27．春节即将来临，根据习俗好多家庭都会在门口挂红灯笼和贴对联．某商店看准了商机，准备购进批红灯笼和对联进行销售，已知红灯笼的进价是对联进价的 2.25倍，用720元购进对联的数量比用540元购进红灯笼的数量多60件
（1）对联和红灯笼的进价分别为多少？
（2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300幅对联和200个红灯笼．已知对联的销售价格为12元一幅，红灯笼的销售价格为24元一个．销售一段时间后发现对联售出了总数的，红灯笼售出了总数的．为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？
【分析】（1）设对联的进价为x元，则红灯笼的进价为2.25x元，根据数量＝总价÷单价结合用720元购进对联的数量比用540元购进红灯笼的数量多60件，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设商店对剩下的商品打y折销售，根据利润＝销售总额﹣进货成本结合总的利润率不低于20%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设对联的进价为x元，则红灯笼的进价为2.25x元，
依题意，得：﹣＝60，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
∴2.25x＝18．
答：对联的进价为8元，红灯笼的进价为18元．
（2）设商店对剩下的商品打y折销售，
依题意，得：12×300×+24×200×+12××300×（1﹣）+24××200×（1﹣）﹣8×300﹣18×200≥（8×300﹣18×200）×20%，
整理，得：240y≥1200，
解得：y≥5．
答：商店最低打5折，才能使总的利润率不低于20%．
28．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接AE，点F，H，G分别为DE，AE，AB的中点连接FH，HG
（1）观察猜想图1中，线段FH与GH的数量关系是FH＝GH，位置关系是FH⊥HG （2）探究证明：把△CDE绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，连接AD，AE，BE判断△FHG的形状，并说明理由
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若CD＝4，AC＝8，请直接写出△FHG 面积的最大值
【分析】（1）直接利用三角形的中位线定理得出FH＝GH，再借助三角形的外角的性质即可得出∠FHG＝90°，即可得出结论；
（2）由题意可证△CAD≌△CBE，可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，根据三角形中位线定理，可证HG＝HF，HF∥AD，HG∥BE，根据角的数量关系可求∠GHF＝90°，即可证△FGH是等腰直角三角形；
（3）由题意可得S△HGF最大＝HG2，HG最大时，△FGH面积最大，点D在AC的延长线上，即可求出△FGH面积的最大值．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，CD＝CE，
∴AD＝BE，
∵点F是DE的中点，点H是AE的中点，
∴FH＝AD，
∵点G是AB的中点，点H是AE的中点，
∴GH＝BE，
∴FH＝GH，
∵点F是DE的中点，点H是AE的中点，
∴FH∥AD，
∴∠FHE＝∠CAE
∵点G是AB的中点，点H是AE的中点，
∴GH∥BE，
∴∠AGH＝∠B，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∵∠EGH＝∠B+∠BAE，
∴∠FHG＝∠FHE+∠EHG＝∠CAE+∠B+∠BAE＝∠B+∠BAC＝90°，∴FH⊥HG，
故答案为FH＝GH，FH⊥HG；
（2）△FGP是等腰直角三角形
理由：由旋转知，∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，
由三角形的中位线得，HG＝BE，HF＝AD，
∴HG＝HF，
∴△FGH是等腰三角形，
由三角形的中位线得，HG∥BE，
∴∠AGH＝∠ABE，
由三角形的中位线得，HF∥AD，
∴∠FHE＝∠DAE，
∵∠EHG＝∠BAE+∠AGH＝∠BAE+∠ABE，
∴∠GHF＝∠FHE+∠EHG
＝∠DAE+∠BAE+∠ABE
＝∠BAD+∠ABE
＝∠BAC+∠CAD+∠ABC﹣∠CBE
＝∠CBA+∠CAB，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠GHF＝90°，
∴△FGH是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△FGH是等腰直角三角形，HG＝HF＝AD，∵S△HGF＝HG2，
∴HG最大时，△FGH面积最大，
∴点D在AC的延长线上，
∵CD＝4，AC＝8
∴AD＝AC+CD＝12，
∴HG＝×12＝6．
∴S△PGF最大＝HG2＝18．。