一道讨论含参数一元二次方程根的个数题的5种解法

一道讨论含参数一元二次方程根的个数题的5种解法 题目：关于x 的方程92310x x m m -⨯-+=只有一个实数根， 求实数m 的取值范围．

分析：令3x t =，则0,t >问题等价于

关于t 的一元二次方程2210t mt m --+=有两个相等正根或者有不等实根时只有一个正根．

法一：利用初中的一元二次方程的根的判别式和根与系数关系

22(2)4(1)4(1)m m m m ∆=---+=+-

（1）当0∆=即2

10m m +-=

，即12

m -±=时，

还需满足202m t m +==>

，∴12

m -+=． （2）当0∆>即210m m +->，

即11,22m m ---+<>或时设2210t mt m --+=的两个根为12,t t ，则12,t t 中只能一个为0，一个为正，或者12,t t 中一正一负．

若10t =，则1m =，此时220t t -=，22t =，符合题意． 若120t t ≠，则还需满足1210,1t t m m =-+<>，满足0∆>，符合题意．

综上，12

m -+=或1m ≥．

法二：利用初中的的一元二次方程的根的判别式和求根公式．

22(2)4(1)4(1)0m m m m ∆=---+=+-≥，

（1）当0∆=即2

10m m +-=

，即12

m -±=时，

还需满足202m t m +==>

，∴12

m -+=． （2）当0∆>即210m m +->，

即11,22m m ---+<>或时，

两个不等根2

t m ==±，

由题意00m m ⎧-≤⎪⎨+>⎪⎩

，即m m ⎧≥⎪>-

当12

m --<

m ≥显然成立，

m >-两边平方得，1m >，矛盾．

当12m -+>

m >-显然成立，

m ≥两边平方得，1m ≥．

综上，12

m -+=或1m ≥． 法三：利用二次函数图象

利用2

()21h t t mt m =--+的图象,

当(0)10h m =-+=时，2()2h t t t =-，它只有一个正零点2，

合题意；

当(0)10h m =-+<时，()h t 有一个正零点，一个负零点， 合题意；

当(0)10h m =-+>时，2202

4(1)0m m m -⎧->⎪⎨⎪∆=+-=⎩

，

∴12

m -+=．

综上，12

m -+=或1m ≥． 法四：利用分离参数法，然后用对号函数图象

2221210m(21)121

t t mt m t t m t +--+=⇒+=+⇒=+， 令21t u +=，则221()1255124442

u u u u m u u u -+-+===+-， 其中1u >

12

-作51(1)442u y u u =+->的图

象，该函数在（

上是减函数，在+∞）

上是增函数．

由图象可知，12

m -+=或1m ≥．

解法五：

半分离参数法，利用两个函数的图象，一个二次函数，一个一次函数，用到斜率的几何意义：

22210m(21)1t mt m t t --+=⇒+=+，

在同一个坐标系中分别作出

2y=m(21),1(0)t y t t +=+>的图象，

当直线y=m(21)t +（注意它过定点1

(,0)2-，

斜率2m ）与抛物线21y t =+相切时，仍由

0∆=得，12m -+=，

即直线斜率21m =-+，

直线过点(0,1)时，直线斜率22m =，

结合图象，直线斜率21m =-+22m ≥，

所以12m -+=或1m ≥．