1.3.1向量在轴上的投影

的夹角的余弦： 的夹角的余弦：
uuu uuu r r uuu r 射影l AB = AB cos θ ,θ = ∠ l , AB .
(
)
（1.6－2） 1.6－
推论 相等向量在同一轴上的射影相等. 相等向量在同一轴上的射影相等.
B A
A′
θ
B 1
B′
l
说明： 说明：
π (1) 0 ≤ ϕ < , 射影为正； 射影为正； 2 ( 2)
r r
•
M ( x, y, z )
o
x P(x,0,0)
N
y
Q(0, y,0)
r 只 考 虑 r 与 x 轴的 关系 ， 有
uuu r r r r 在 x 轴上的分向量 OP = xi , r 且 x = r cos α .
x
o
P(x,0,0)
α
r r
•
M ( x, y, z )
空间一点在轴上的射影
{
}
z
r k
r a
•
P
r o i
r j
y源自文库
N
x
《解析几何》 解析几何》 －Chapter 1
§1.3.1 向量在轴上的射影
Contents
空间一点在轴上的射影 空间一向量在轴上的射影 向量的射影定理
z
r 在三个坐标轴上的分向量： 分向量： r 在三个坐标轴上的分向量
r r r OP = xi , OQ = yj , OR = zk .
R(0,0, z )
定理 1.6.3
r 对于任何向量 a 与任意实数 λ 有 r r 1.6－ （1.6－4） 射影l λ a = λ 射影l a.
C
A
r a1
B
B′
r a2
C′
A′
l
r r r r rr r 例 设在直角坐标系 O; i, j , k 下，向量 a = X i + Y j + Z k ， r r r u r 试证明： 试证明： 射影r a = X , 射影rj b = Y , 射影k c = Z . i
r 如果在轴上取与轴同方向的单位向量 e ，那么有 uuu uuuuu r r r 射影向量l AB = A ' B ' = xe . uuu r uuu r 叫做向量 上的射影， x 叫做向量 AB 在轴 l 上的射影，记做 射 影l AB ，即 uuu r 射 影l AB = x .
B A
r A′ e
r c
r a
l
π
π ( 3) ϕ = , 2
2
< ϕ ≤ π, 射影为负； 射影为负；
射影为零； 射影为零；
r b
向量的射影定理
定理 1.6.2
r r 对于任何向量 a, b 有 r r r r 射影l a + b = 射影l a + 射影l b.
(
)
（1.6－3） 1.6－
注:可推广到有限多个的情形. 可推广到有限多个的情形.
•
A
l
A′
设已知空间的一点 A 与一轴 l ，
通过 A 作垂直于轴 l 的平面 α ，称该平面与轴 l 的 上的射影. 交点 A ' 叫做点 A 在轴 l 上的射影.
空间向量在轴上的射影
uuu r 定义 1.6.1 设向量 AB 的始点 A 与终点 B 在轴 l 上的射影分别为点 A ' 和 uuuuu r uuu r uuu r B ' ，那么向量 A ' B ' 叫做向量 AB 在轴 l 上的射影向量，记做射影 向 量 l AB . 叫做向量 上的射影向量，
uuu r uuu r 射影向量l AB 与 射影l AB 也可分别写成 uuu r uuu r r AB 与 射影r AB 射影 向 量 e e
B′
l
uuu r uuu r r r r 射影向量e AB ＝ 射影e AB e
(
)
向量的射影定理
uuu r 定理 1.6.1 向量 AB 在轴 l 上的射影等于向量的模乘以轴与该向量