赏析解三角形中的最值问题

１ ２sinB
＝sinA
．(１)求
C;(２)若
c＝２,求△ABC 面积的最大值． 方法 １ (１)由 正 弦 定 理 及 sinCcosB ＋
１ ２sinB
＝sinA
,得 ccosB
＋
１ ２b＝a,所
以
１
cos B
＝
a－ ２b,又 c
cos B
＝
a２
＋c２－b２ ２ac
,所
以
１
a２＋c２－b２ ２ac
tanC＝２tanBtanC．故
tanAtanBtanC ＝－tan (B ＋C)tanBtanC ＝
－１ta－ntBan＋BttaannCC������tanBtanC ＝ －２１(t－atnanBtBatnanCC)２．
令tanBtanC＝x,由 △ABC 为 锐 角 三 角 形,可
知tanAtanBtanC＞０,所 以 １－tanBtanC＜０,即
例２ (２０１６年江苏卷)在锐角△ABC 中,sinA＝
２sinBsinC,则tanAtanBtanC 的最小值是 ．
方法１ 由sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋
cosBsinC,得 sinBcosC ＋cosBsinC ＝
２sinBsinC,两 边 同 除 以 cosBcosC,得 tan B ＋
＝a－c２b,化
简
得a２＋b２－c２
＝ab,所
以
１ cosC＝ ２
,C＝
π ３
．
１９
������热 点 追 踪������
(２)因
为
S△ABC
＝
１ ２absinC
＝
４３ab,所
以
△ABC
面积 的 最 大 时,即 ab 取 得 最 大 值．由 余 弦 定 理c２ ＝
a２＋b２－２abcosC,得 a２ ＋b２ －ab＝４．由 a２ ＋b２ ≥
２０
(２)因
为
S△ABC
＝
１ ２absinC
＝
４３ab,所
以
△ABC
面积的最大时,即ab 取得最大值．由正弦定理,得
c sinC
２ ＝π
sin ３
＝４３３＝２R,B
２π ＝ ３ －A
,
故 ab＝４R２sinAsinB ＝１３６sinAsin (２３π－A)＝
１３６sinA(２３cosA ＋ １ ２sinA)＝
洁 ．方 法 ２ 虽 然 相 对 烦 琐 ,但 却 是 学 生 容 易 想
到的思路,如 果 熟 知 三 角 形 角 平 分 线 的 性 质,只 需 运
用两次余弦 定 理 即 可．两 种 方 法 殊 途 同 归,最 终 找 到
a,c 的关系,将所求 最 值 转 化 为 可 利 用 均 值 不 等 式 的
因为AP→ ＝OP→ －OA→,AB→ ＝ OB→－ OA→,所 以 OP→ － OA→ ＝ t(OB→－OA→),即OP→ ＝ (１－t)������ OA→＋tOB→．问 题 得 证 ．
图１
１ 逆 向 探 究 ,形 成 结 论
例２ 已知 A、B 是直线l 上任意两点,O 是l 外 一点,P 为 平 面 上 任 意 一 点,且 存 在 实 数t,使OP→ ＝ (１－t)OA→＋tOB→．证明:点 P 在直线l 上．
８３(２３sin２A
－
１ ２cos２A)＋
４ ３
＝
８３sin
(２A
－
６π)＋ห้องสมุดไป่ตู้
４ ３
．
因
C＝
π,所 ３
以
０＜A
＜２３π,０＜２A
＜４３π,－
π ６
＜
２A－６π＜７６π,所以sin (２A－６π)∈(－１ ２,１],所以ab
的最大值为４,△ABC 面积的最大值为 ３．
第(１)问的 方 法 １ 较 为 常 规,学 生 容 易 想 到．
x＞１,所 以
tanAtanBtanC
＝
２x２ －１－x
２x２ ＝x －１＝
２(x２x－－１１)＋２＝２(x
＋１)＋x
２ －１＝
２(x －１)＋x２－１＋４≥８,
当且仅当x＝２,即tanA ＝４,tanB＝２－ ２,tanC＝
２＋ ２或tanB＝２＋ ２,tanC＝２－ ２时等号成立． 方 法 ２ 由 方 法 １,得tanAtanBtanC＝x２x－２１＝
证 明 由OP→＝ (１－t)OA→ ＋tOB→,得OP→ －OA→ ＝ t(OB→－OA→),即AP→＝tAB→,所 以 A、B、P 三 点 共 线, 即点 P 在直线l 上．
结论 由上述２例的探 究 可 知,对 直 线l 上 的 任 意一点P,一定存在唯一 的 实 数t 满 足OP→＝ (１－t)������ OA→＋tOB→;反之,对于任一个实数t,在直线l 上都存 在唯一的一点P 与其对应．OP→＝(１－t)OA→＋tOB→叫 直线l 的向量参数方程,t 为参数．
值 不 等 式 或 将 边 化 为 角 的 形 式 ,往 往 可 以 找 到 最 值 ．
通过以上例题,我们发 现 与 三 角 形 相 关 的 取 值 范
围问题常常结合正弦定 理、余 弦 定 理、面 积 公 式、三 角
函数、基本不等式、二 次 函 数 等 知 识 综 合 考 查．这 类 问
题有利于考查学生对知识 的 综 合 运 用 能 力,是 高 考 命
a sin∠BDC
＝siCnD６０°,
②
由余弦定理,得 CD２＝a２＋１－a．
因为sin∠ADB ＝sin∠BDC,所 以 由 式 ①、② 得
AD CD
＝
c ,所 a
以
AD２ CD２
c２＋１－c ＝a２＋１－a
＝
c２ a２
,化
简 ,得
ac＝a＋c．
以 下 同 方 法 １．
方法 １ 从 面 积 关 系 入 手,思 路 清 晰、过 程 简
������热 点 追 踪������
形式．
２ 角 的 范 围
◇ 山东 王娓娓 任秀丽
三角形中的范围与最值问题是学生学习解三角 形 的 过 程 中 比 较 害 怕 的 问 题,它 不 仅 要 用 到 三 角 变 换,正、余弦定理,往往还涉 及 利 用 基 本 不 等 式 等 求 函 数值域的方法．现就 以 教 学 过 程 中 遇 到 的 该 类 问 题 与 大 家 共 同 分 享 、探 讨 ．
题的热点．理 顺 这 些 基 本 知 识、技 巧 和 方 法 可 以 提 高
学 生 解 题 的 能 力 ．希 望 本 文 能 对 学 生 复 习 有 所 帮 助 ．
(作 者 单 位 :山 东 省 淄 博 市 临 淄 中 学 )
教材是我们学习的主 要 载 体,也 是 高 考 命 题 的 重 要 依 据,教 材 中 的 例 题 和 习 题 都 具 有 典 型 性 和 代 表 性,对其进行深入探究可有 效 提 升 学 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 ．本 文 以 教 材 中 一 道 向 量 习 题 为 例 ,进 行 探 究 ,以 期 抛 砖 引 玉 ．
例１ (人教 B 版«必 修 ４»)已 知 A、B 是 直 线l 上任意两点,O 是l 外 一 点,求 证:对 直 线l 上 任 意 一 点 P ,存 在 实 数t,使OP→＝ (１－t)OA→＋tOB→．
证明 如图１,因为点 A、B、
P 在直线l 上,由向量共线定 理, 可 知 存 在 常 数t,使AP→＝tAB→．
２ab,得２ab－ab≤４,即ab≤４,当 且 仅 当a＝b 时,取
等号．所以△ABC 面积的最大值为 ３． 方法２ (１)由射 影 定 理 知ccosB＋bcosC＝a,
对
照
已
知
条
件
知
sinCcosB
＋
１ ２sinB
＝sin A
,即
◇ 山东 李志边
ccosB ＋ １ ２b＝a,可 得 cosC＝ １ ２ ,C＝ ３π ．
１ 边 的 范 围
例１ (２０１８ 年 江 苏 卷)在 △ABC 中,角 A、B、
C 所对 的 边 分 别 为a、b、c,∠ABC＝１２０°,∠ABC 的
平分线交AC 于点D ,且 BD ＝１,则 ４a＋c 的 最 小 值
为
．
方
法
１
由
１ ２acsin
１２０°＝
１ ２asin
６０°＋
１２csin６０°,得ac＝a＋c,即a１ ＋c１ ＝１,所 以
２ １１ x －x２
＝
－(x１
２
－
１ ２
)２＋
１ ４
≥８,当
且
仅
当
１ x
＝
１, ２
x＝２,即tanA ＝４,tanB ＝２－ ２,tanC＝２＋ ２或
tanB＝２＋ ２,tanC＝２－ ２时等号成立．
３ 面 积 的 范 围
例３ 在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为a,
b,c,且sinCcosB＋
２ 限 制 条 件 ,变 化 结 论
若将例１中t 的范围限制为 ０≤t≤１,则 点 P 在 线段AB 上(包括点 A、B)．
例 ３ M 为 △ABC 的 边 BC 上 一 点,且AM→ ＝ λA→C＋μAB→,证 明 :λ＋μ＝１．
证明 如图２所 示,设BM→＝λB→C(０≤λ≤１),因 为BM→＝AM→－AB→,B→C＝A→C－AB→,所 以
方法 ２ 利 用 了 射 影 定 理,过 程 简 洁,但 对 学
生的基础要求较 高．在 第 (２)问 计 算 面 积 时 有 三 组 边
角
可供
选
择 :S＝
１ ２absinC＝
１ ２bcsinA
＝
１ ２acsinB,
通常是“依角而选”,从 而 把 目 标 转 向 求ab 的 最 值．要
注意到余弦定理本身含有 平 方 和 与 乘 积 项,再 配 上 均
４a
＋c＝
(１ a
＋
c１)(４a
＋c)＝
４＋１＋ac ＋４ca ≥５＋２
c a
������４a c
＝９,
当
且
仅 当c a
＝４ca,即a＝
３ ２ ,c＝３
时等
号成
立
．
答 案 为 ９．
方法２ 在△ABD 中,由正弦定理,得
c sin∠ADB
＝siAnD６０°,
①
由余弦定理,得 AD２＝c２＋１－c．
在△BCD 中,由正弦定理,得