【Good系列】特征方程法求数列通项公式

存在. 于是知：当 a1 在集合 {−3 或
5n − 13 : n ∈ N , 且 n ≥2}上取值时，无穷 n −1
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把以上各式相加，得
2 1 − ( ) n −1 2 2 2 3 a n − a1 = (b − a)[1 + + ( ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( ) n −2 ] = (b − a ) 。 2 3 3 3 1− 3 2 2 ∴ a n = [3 − 3( ) n −1 ](b − a ) + a = 3(a − b)( ) n −1 + 3b − 2a 。 3 3
13 x − 25 . 变形得 x 2 − 10 x + 25 = 0, x+3 特征方程有两个相同的特征根 λ = 5. 依定理 2 的第（1）部分解答.
解：作特征方程 x = (1)∵ a1 = 5,∴ a1 = λ . ∴ 对于 n ∈ N, 都有 a n = λ = 5; (2)∵ a1 = 3,∴ a1 ≠ λ .
解法二（特征根法）：数列 {a n } ： 3a n + 2 − 5a n +1 + 2a n = 0( n ≥ 0, n ∈ N ) ，
a1 = a, a 2 = b 的特征方程是： 3 x 2 − 5 x + 2 = 0 。 Q x1 = 1, x 2 = 2 , 3
2 n −1 ∴ a n = Ax1n −1 + Bx 2 = A + B ⋅ ( ) n−1 。 3
1 5n − 17 +λ = . bn n−5
(3)∵ a1 = 6, λ = 5, ∴ a1 ≠ λ . ∴ bn =
1 r n −1 + (n − 1) = 1+ , n ∈ N. a1 − λ p − λr 8
令 bn = 0, 则 n = −7 ∉ n. ∴对于 n ∈ N, b n ≠ 0. ∴ an =
解：作方程 x = − 例 2．已知数列 {a n } 满足递推关系：a n +1 = ( 2a n + 3)i, n ∈ N, 其中 i 为虚数 单位。当 a1 取何值时，数列 {a n } 是常数数列？ 解 ： 作 方 程 x = ( 2 x + 3)i, 则 x0 =
a1 = x 0 =
− 6 + 3i . 5
1 r 1 n −1 + (n − 1) = + , n ∈ N. 令 bn = 0, 则 得 a1 − λ p − λr a1 − 5 8
5n − 13 , n ∈ N 且 n ≥2. n −1 5n − 13 ∴当 a1 = （其中 n ∈ N 且 N≥2）时，数列 {a n } 从第 n 项开始便不 n −1
设已知数列 {a n } 的项满足 a1 = b, a n +1 = ca n + d , 其中 c ≠ 0, c ≠ 1, 求这个 数列的通项公式。 采用数学归纳法可以求解这一问题， 然而这样做太过繁琐， 而且在猜想 通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程 法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x = cx + d , 称之为特征方程； 借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理 1：设上述递推关系式的特征方程的根为 x0 ，则当 x0 = a1 时， a n 为常数列，即 a n = a1 ;当x 0 = a1时, a n = bn + x0 ，其中 {bn } 是以 c 为公比 的等比数列，即 bn = b1 c n −1 , b1 = a1 − x0 . 证 明 ： 因 为 c ≠ 0,1, 由 特 征 方 程 得 x0 =
无穷数列 {a n } 不存在. （ 2 ） 当 特 征 方 程 有 两 个 相 异 的 根 λ1 、 λ 2 （ 称 作 特 征 根 ） 时 ， 则
an =
λ 2 c n − λ1 ， n ∈ N, cn − 1 a1 − λ1 p − λ1r n−1 ( ) , n ∈ N, (其中a1 ≠ λ 2 ). a1 − λ 2 p − λ 2 r an + 4 , 且 a1 = 3, 求 2a n + 3
1 3
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1 3 x − 2, 则x 0 = − . 3 2 3 11 当 a1 = 4 时， a1 ≠ x 0 , b1 = a1 + = . 2 2 1 数 列 {bn } 是 以 − 为 公 比 的 等 比 数 列 . 于 是 3 1 11 1 3 3 11 1 bn = b1 (− ) n −1 = (− ) n −1 , a n = − + bn = − + (− ) n−1 , n ∈ N. 3 2 3 2 2 2 3
其中 c n =
例 3 、已知数列 {a n } 满足性质：对于 n ∈ N, a n −1 =
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{a n } 的通项公式.
解:依定理作特征方程 x =
x+4 , 变 形 得 2 x 2 + 2 x − 4 = 0, 其 根 为 2x + 3
λ1 = 1, λ 2 = −2. 故特征方程有两个相异的根，使用定理 2 的第（2）部分，
则有
cn =
a1 − λ1 p − λ1 r n−1 3 − 1 1 − 1 ⋅ 2 n−1 ) , n ∈ N. ) = ⋅( ⋅( 3 + 2 1− 2 ⋅2 a1 − λ 2 p − λ 2 r 2 1 n −1 (− ) , n ∈ N. 5 5
1 +λ = bn
1 5n + 43 +5= , n ∈ N. n −1 n+7 1+ 8
(4)、显然当 a1 = −3 时，数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第（1）小题 的解 答 过程知， a1 = 5 时 ，数列 {a n } 是存 在的， 当 a1 ≠ λ = 5 时 ， 则 有
bn = a1 =
又由 a1 = a, a 2 = b ，于是
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a = A + B A = 3b − 2a 2 ⇒ b = A + B B = 3(a − b) 3
特征方程法求解递推关系中的数列通项
摘要： 本文章讲解特征方程法求解递推关系中的数列通项的有关问题， 分别 从一阶线性递推式，二阶线性递推式，分式递推式加以讲解，通过几个例子 加以分析，简单易懂，对于该类型的数列问题就不用怕啦~~ 关键字：特征方程法，数列通项，递推关系 不吐血不推荐~~~
一、 （一阶线性递推式）
∴ cn =
2 1 − 2 ⋅ (− ) n −1 − 1 λ c − λ1 5 5 ∴ an = 2 n , n ∈ N. = 2 1 n −1 cn − 1 (− ) − 1 5 5
即 an =
(−5) n − 4 , n ∈ N. 2 + (−5) n 13a n − 25 . an + 3
例 5．已知数列 {a n } 满足：对于 n ∈ N, 都有 a n +1 = （1）若 a1 = 5, 求 a n ; （2）若 a1 = 3, 求 a n ; （3）若 a1 = 6, 求 a n ; （4）当 a1 取哪些值时，无穷数列 {a n } 不存在？
那么，可作特征方程 x =
（1）当特征方程有两个相同的根 λ （称作特征根）时， 若 a1 = λ , 则 a n = λ , n ∈ N; 若
a1 ≠ λ
，
则
an =
1 + λ , n ∈ N, bn
其
中
bn =
1 r + (n − 1) , n ∈ N. 特别地， 当存在 n0 ∈ N, 使 bn0 = 0 时， a1 − λ p − rλ
bn−1
d . 作 换 元 bn = a n − x 0 , 则 1− c d cd = a n−1 − x 0 = ca n + d − = ca n − = c(a n − x 0 ) = cbn . 1− c 1− c
当 x0 ≠ a1 时，b1 ≠ 0 ，数列 {bn } 是以 c 为公比的等比数列，故 bn = b1c n −1 ; 当 x0 = a1 时， b1 = 0 ， {bn } 为 0 数列，故 a n = a1 , n ∈ N. （证毕） 下面列举两例，说明定理 1 的应用. 例 1．已知数列 {a n } 满足： a n +1 = − a n − 2, n ∈ N, a1 = 4, 求 a n .
− 6 + 3i . 要 使 an 为 常 数 ， 即 则 必 须 5
二、（二阶线性递推式）
定理 2：对于由递推公式 a n + 2 = pa n +1 + qa n ， a1 = α , a 2 = β 给出的数列
{a n } ，方程 x 2 − px − q = 0 ，叫做数列 {a n } 的特征方程。
2 a n+1 − a n = (b − a)( ) n −1 。把 n = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅, n 代入，得 3 a 2 − a1 = b − a ， 2 a 3 − a 2 = (b − a ) ⋅ ( ) ， 3 2 a 4 − a 3 = (b − a) ⋅ ( ) 2 ， 3 ••• 2 a n − a n −1 = (b − a )( ) n− 2 。 3
若 x1 , x 2 是 特 征 方 程 的 两 个 根 ， 当 x1 ≠ x 2 时 ， 数 列 {a n } 的 通 项 为
n −1 a n = Ax1n −1 + Bx 2 ，其中 A，B 由 a1 = α , a 2 = β 决定（即把 a1 , a 2 , x1 , x 2 n −1 和 n = 1, 2 ， 代入 a n = Ax1n −1 + Bx 2 ， 得到关于 A、 B 的方程组） ； 当 x1 = x 2
解法一（待定系数——迭加法） 由 3a n + 2 − 5a n +1 + 2a n = 0 ，得
a n + 2 − a n +1 =
2 (a n +1 − a n ) ， 3
且 a 2 − a1 = b − a 。 则数列 {a n +1 − a n } 是以 b − a 为首项，
2 为公比的等比数列，于是 3
{a n }
满
足
a1 = a, a 2 = b,3a n + 2 − 5a n +1 + 2a n = 0(n ≥ 0, n ∈ N ) ，求数列 {a n } 的通项
公式。
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∴ bn =
1 r + (n − 1) p − rλ a1 − λ
=
1 1 + (n − 1) ⋅ 3−5 13 − 1 ⋅ 5 1 n −1 =− + , 2 8
令 bn = 0 ，得 n = 5 .故数列 {a n } 从第 5 项开始都不存在， 当 n ≤4， n ∈ N 时， a n =
n −1 故 a n = 3b − 2a + 3( a − b)( )
2 3
三、(分式递推式)
定理 3： 如果 数列 {a n } 满足 下列 条件 ：已知 a1 的 值且对于 n ∈ N ， 都 有
a n+1 =
pa n + q h ， （其中 p、q、r、h 均为常数，且 ph ≠ qr , r ≠ 0, a1 ≠ − ） r ra n + h px + q . rx + h
时，数列 {a n } 的通项为 a n = ( A + B ) x1 ，其中 A，B 由 a1 = α , a 2 = β 决
n −1
定（即把 a1 , a 2 , x1 , x 2 和 n = 1, 2 ，代入 a n = ( A + Bn) x1n −1 ，得到关于 A源自文库B 的方程组）。 例 3. 已 知 数 列