5第五章现代谱估计解析
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时间序列由角频率0的正弦信号与噪声叠加而成。 则周期图（寻找数据的隐周期性即频率）在0 处会出 现峰值。通过计算周期图。由各峰值可显示出正弦频 率信号。
1930年，维纳-辛钦定理,证明自相关函数和功率谱互 为傅立叶变换，建立了使用傅氏方法处理随机过程的 理论体系。谱分析的第二步。
1958年，布莱克曼（Blackman）和图基（Tukey）经典论 文“由通信工程观点对功率谱的测量”给出用维纳相关法 从抽样序列得到功率谱的实现方法——BT法。其性能与窗 函数选择有关。周期图和BT法称为经典谱估计方法。（且 是线性估计方法）。 上述方法的最大问题是由于数据截断（或开窗）带来的 频率泄漏。弱信号的主瓣很容易被强信号的旁瓣所淹没。 对于短序列这一情况尤为突出。
* rxx k E x x nk n
p E al xn k l n k xn l 1
al rxx k l E x nk n l 1 p al rxx k l , k 0 l 1 (2) p a r k l 2 , k 0 l xx l 1 p 此式(2)可简写成： r (k ) a r (k l ) k p
xx
l 1
l xx
取k=0,1,2,…,p，可得矩阵表达为：
rxx (0) rxx (1) rxx ( p) 1 2 a rxx (0) rxx ( p 1) 1 0 rxx (1) a r ( p ) r ( p 1) r (0) 0 p xx xx xx
第五章 现代谱估计
主要内容：
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 谱估计的发展 AR模型参数法 最大熵谱估计 最大似然谱功率估计 谐波分解模型
5.1 谱估计的发展
19世纪末舒斯特（Schuster）周期图 1 S x1e j x2 e j 2 ... xN e jN
p x
5.2 AR模型参量法
模型参量法的基本思想是根据所研究信号的先验知 识，对信号窗外的数据作出某种比较合理的假设（外 推或预测）。具体步骤为： 1、选择一个好的模型。 输入为 n 或 t 或白噪声情况下，使输出等于所 研究的信号，至少也是对该信号的一个近似。AR, MA, ARMA及谐波信号模型。 2、利用已知的自相关函数或数据求模型参数。 3、利用求出的模型参数估计该信号的功率谱。
p AR ( f )
(3)
2
1 ak exp( j k )
k 1 p 2
(4)
5.2.2 莱文森-德宾（Levinson-Durbin）算法
2 2 { a , },{ a , a , 此算法是以 1,1 1 2,1 2,2 2 }
2 {ap1,1, ap1,2 ,, ap1, p1, p 1}
1967年以后为现代谱估计阶段，是基于非线性的谱分析。 包括各种模型参数法，熵谱法及最小方差法，与奇异值/特 征值分解处理的非参数法等。 当数据序列较长时，经典谱估计有较好的性能，但对于 短序列，经典谱估计存在分辨率不高等致命弱点。现代谱 估计具有优良性能，为经典法所不及。
现代谱估计的主要方法有：
1971年，范登博斯证明，最大熵谱分析I法与AR 模型参量法等效。因此也将该法列为模型参量法谱估 计。 1979年，美国海军实验室绍尔（Shore）提出最 q x 小交叉熵谱分析I法。 H p, q q x ln dx
以后又有最大熵谱分析II法、最小交叉熵谱分析II 法、最大熵分析拓广、最小交叉熵分析拓广、多信号 交叉熵谱分析等，已可独立成为现代谱估计的重要组 成部分。 4、多谱（高阶谱）与多维谱估计 通常的谱估计或功率谱估计，只包含振幅信息。 但许多实际问题需要相位信息。这种情况可考虑使用 多谱（高阶谱）——高阶累积量的多维傅氏变换。 5、自适应谱估计和鲁棒估计
5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4
尤拉-沃克（Yule-Walker）方程 莱文森-德宾（Levison-Durbin）算法 BURG 算法 AR模型阶数的判定
5.2.1 尤拉-沃克（Yule-Walker）方程
AR（p）模型
xn al xn l n
l 1
p
(1)
递推求解的方法。
设p-1阶AR参量矩阵方程为：
rxx (1) rxx ( p 1) 1 2 rxx (0) p 1 a r (1) r (0) r ( p 2) xx xx xx p 1,1 0 a r ( p 1) r ( p 2) r (0) 0 xx xx xx p 1, p 1
1、模型参量谱估计——可得到高分辨率的谱估计。而 这取决于假定模型对观察数据的适配能力。 2、非参量谱估计 不用有限参数描述的信号模型，直接由自相关延 迟序列得到。高信噪比下不如模型法，但在低信噪比 下，模型参量谱估计的分辨率大为下降。 1973年，皮萨伦科（Pisarenko）提出特征矢量 法，开辟了基于自相关矩阵或数据矩阵进行特征分解 的非参量谱估计。 3、熵谱估计 1967年，伯格提出最大熵谱分析法。其方法是对 已知延迟点上的自相关函数不加修改，而是对未知延 迟点上的自相关函数按信息论中的最大熵外推而得。
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时间序列由角频率0的正弦信号与噪声叠加而成。 则周期图（寻找数据的隐周期性即频率）在0 处会出 现峰值。通过计算周期图。由各峰值可显示出正弦频 率信号。
1930年，维纳-辛钦定理,证明自相关函数和功率谱互 为傅立叶变换，建立了使用傅氏方法处理随机过程的 理论体系。谱分析的第二步。
1958年，布莱克曼（Blackman）和图基（Tukey）经典论 文“由通信工程观点对功率谱的测量”给出用维纳相关法 从抽样序列得到功率谱的实现方法——BT法。其性能与窗 函数选择有关。周期图和BT法称为经典谱估计方法。（且 是线性估计方法）。 上述方法的最大问题是由于数据截断（或开窗）带来的 频率泄漏。弱信号的主瓣很容易被强信号的旁瓣所淹没。 对于短序列这一情况尤为突出。
* rxx k E x x nk n
p E al xn k l n k xn l 1
al rxx k l E x nk n l 1 p al rxx k l , k 0 l 1 (2) p a r k l 2 , k 0 l xx l 1 p 此式(2)可简写成： r (k ) a r (k l ) k p
xx
l 1
l xx
取k=0,1,2,…,p，可得矩阵表达为：
rxx (0) rxx (1) rxx ( p) 1 2 a rxx (0) rxx ( p 1) 1 0 rxx (1) a r ( p ) r ( p 1) r (0) 0 p xx xx xx
第五章 现代谱估计
主要内容：
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 谱估计的发展 AR模型参数法 最大熵谱估计 最大似然谱功率估计 谐波分解模型
5.1 谱估计的发展
19世纪末舒斯特（Schuster）周期图 1 S x1e j x2 e j 2 ... xN e jN
p x
5.2 AR模型参量法
模型参量法的基本思想是根据所研究信号的先验知 识，对信号窗外的数据作出某种比较合理的假设（外 推或预测）。具体步骤为： 1、选择一个好的模型。 输入为 n 或 t 或白噪声情况下，使输出等于所 研究的信号，至少也是对该信号的一个近似。AR, MA, ARMA及谐波信号模型。 2、利用已知的自相关函数或数据求模型参数。 3、利用求出的模型参数估计该信号的功率谱。
p AR ( f )
(3)
2
1 ak exp( j k )
k 1 p 2
(4)
5.2.2 莱文森-德宾（Levinson-Durbin）算法
2 2 { a , },{ a , a , 此算法是以 1,1 1 2,1 2,2 2 }
2 {ap1,1, ap1,2 ,, ap1, p1, p 1}
1967年以后为现代谱估计阶段，是基于非线性的谱分析。 包括各种模型参数法，熵谱法及最小方差法，与奇异值/特 征值分解处理的非参数法等。 当数据序列较长时，经典谱估计有较好的性能，但对于 短序列，经典谱估计存在分辨率不高等致命弱点。现代谱 估计具有优良性能，为经典法所不及。
现代谱估计的主要方法有：
1971年，范登博斯证明，最大熵谱分析I法与AR 模型参量法等效。因此也将该法列为模型参量法谱估 计。 1979年，美国海军实验室绍尔（Shore）提出最 q x 小交叉熵谱分析I法。 H p, q q x ln dx
以后又有最大熵谱分析II法、最小交叉熵谱分析II 法、最大熵分析拓广、最小交叉熵分析拓广、多信号 交叉熵谱分析等，已可独立成为现代谱估计的重要组 成部分。 4、多谱（高阶谱）与多维谱估计 通常的谱估计或功率谱估计，只包含振幅信息。 但许多实际问题需要相位信息。这种情况可考虑使用 多谱（高阶谱）——高阶累积量的多维傅氏变换。 5、自适应谱估计和鲁棒估计
5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4
尤拉-沃克（Yule-Walker）方程 莱文森-德宾（Levison-Durbin）算法 BURG 算法 AR模型阶数的判定
5.2.1 尤拉-沃克（Yule-Walker）方程
AR（p）模型
xn al xn l n
l 1
p
(1)
递推求解的方法。
设p-1阶AR参量矩阵方程为：
rxx (1) rxx ( p 1) 1 2 rxx (0) p 1 a r (1) r (0) r ( p 2) xx xx xx p 1,1 0 a r ( p 1) r ( p 2) r (0) 0 xx xx xx p 1, p 1
1、模型参量谱估计——可得到高分辨率的谱估计。而 这取决于假定模型对观察数据的适配能力。 2、非参量谱估计 不用有限参数描述的信号模型，直接由自相关延 迟序列得到。高信噪比下不如模型法，但在低信噪比 下，模型参量谱估计的分辨率大为下降。 1973年，皮萨伦科（Pisarenko）提出特征矢量 法，开辟了基于自相关矩阵或数据矩阵进行特征分解 的非参量谱估计。 3、熵谱估计 1967年，伯格提出最大熵谱分析法。其方法是对 已知延迟点上的自相关函数不加修改，而是对未知延 迟点上的自相关函数按信息论中的最大熵外推而得。