5第五章现代谱估计解析
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现代信号处置最大熵谱估计
M k 1
Ak2
1
2
exp[
j(k m)]dk
M
Ak2 exp[ j(k m)] k 1
（5.5.2）
假如c(n)与u(n)时互不有关旳，则x(n)旳自有关函数为：
M
R(m) Ak2 exp[ j(k m)] u (m) k 1
x(n)旳功率谱为：
m 0,1, , p（5.5.3）
假设：信号 x n是由M个复正弦信号加白噪声构成，即：
M
x n Ak e j(knk ) u(n) c n u n k 1
（5.5.1）
式中：k是[- , ]内均匀分布的零均值随机变量， u(n)为白噪声，A k 和k 为常数
c(n) 旳自有关函数为：
R '(m) E[c(n)c*(n m)]
当代数字信号处理
第五章 功率谱估计
内容摘要
• 5.1 概述 • 5.2 经典谱估计旳基本措施
5.2.1 周期图 5.2.2 有关图 • 5.3 功率谱估计旳参数模型法 5.3.1 AR谱估计旳有关函数法
5.3.2 AR参数谱估计与最佳线性预测器旳关系 5.3.3 Levinson-Durbin算法 5.3.4 Burg算法 5.3.5 AR谱估计旳性质 5.3.6 MA谱估计、ARMA谱估计 5.4 最大熵谱分析 5.5 特征分解法谱估计 5.5.1 Pisarenko谐波分解与有关矩阵旳特征分解 5.5.2 基于信号子空间旳频率估计及功率谱估计
☆ N维高斯分布:
p( x1 ,
x2 ,,
xN
)
(2
)N
/2
det
R(N )
1/ 2
exp
1 2
X
第一部分_谱分析与谱估计(3)
x(n) = ∑ bk e(n − k ) + e(n)
k =1
q
（5-9）
42
测试信号分析与处理 —— 现代谱估计
q
H ( z ) = B( z ) = 1 + ∑ bk z − k
k =1
（5-10）
S xx (ω ) = σ 1 + ∑ bk e
2 k =1
q
2 − jω k
（5-11）
（5-9）式称为 q 阶滑动平均（Moving-Average）模型，简称为 MA(q)模型。 MA 过程与 AR 过程不同，它是过程{e(t)} 的现在和有限范围内过去值的线性组合，所 以 e(n)只影响 x(n)的 q 个未来值。 如果时间间隔小于 q 的 x(n)中所包含的 e(n)已经全部更新， 时滞超过 q 的两个 x(n)是不相关的。 也就是说， MA 过程的自相关函数， 当|m|>q 时 Rxx(m)=0。 关于这点，我们以后还会分析。另外，由于{x(n)}是由互不相关的{e(n)}的线性组合，所以， {x(n)}是平稳的，而不论参数 bk 的取值如何。 （3）ak，bk ( k=1,2,…,p 或 q )不全为零，则（5-1b）式给定的模型称为自回归滑动平均模型， 简称为 ARMA (p,q)模型。是一个既有极点，又有零点的模型。显然，更一般的平稳随机过 程是用这种具有(p 阶)自回归和 （q 阶） 滑动平均模型来描述， AR 或 MA 过程都只是 ARMA 过程的特殊情况。 由于（5-1）式中，是用线性差分方程描述了{x(n)}和{e(n)}两个序列在不同时刻之间的 线性关系，因而是一种线性时间序列模型。 模型（5-3）式还常常写成如下更广泛的线性时间序列形式： Φ ( B) xt = θ ( B )et （5-12） 式中：
5谱估计(概述和经典法)分解
xx (m)Ex(n) x (n m)
N 1 jm Pxx () Pxx () lim x(n) x (n m) e N 2 N 1 m n N
1 N jn j ( n m ) lim x(n)e x (n m)e N 2 N 1 n N m
N 1 n 0 2
1 ˆ Pxx ( ) N
x(n)e
jn
1 2 X N ( ) N
进行功率谱估计(不通过自相关函数的估计)
将已知数据序列的傅立叶 变换的模的平方除以序列 长度作为功率谱的估计
计算效率高 频率分辨率低
1
• 研究现状
经典谱估计：
引
言
固有缺陷：原因：“加窗效应” 频率分辨率低 原因：加窗截取，认为窗以外的数据为零。
1
引
言
• 功率谱估计的应用
在信号处理的许多场所，要求预先知道信号
的功率谱密度(或自相关函数)。
常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数
估计。
从宽带噪声中检测窄带信号。
• 功率谱估计的应用
谱估计的分辨率可以粗略地定义为能够分辨出的 二个分立的谱分量间的最小频率间隙(距)。 例如：有一个随机信号，它包括二个频率相差1Hz振 幅相等的正弦波以及加性白噪声(白色噪声的方差是 正弦波功率的10％)。
N
2
功率谱的 真实值
2
才有意义
N 1 j n Pxx ( ) lim E x ( n ) e N 2 N 1 n N
1
• 谱分析
引
言
用有限的N个样本数据来估计平稳随机过 程的功率谱密度。
《现代谱估计》课件
周期图平均法
将多个周期的频谱进行平均， 降低噪声对频谱估计的影响。
移动平均法
对信号进行滑动平均，减小高 频部分的噪声。
核方法
利用核函数对信号进行平滑处 理，提高频谱估计的精度。
参数谱估计方法
1
基于自相关函数的方法
通过自相关函数计算信号的频谱，适用于具有明显周期性的信号。
2
基于协方差函数的方法
利用Байду номын сангаас号的协方差函数进行频谱估计，适用于具有随机性的信号。
《现代谱估计》PPT课件
现代谱估计PPT课件
概述
谱估计是一种用于分析信号频谱特征的方法。它可以帮助我们了解信号的频率分布和功率，对信号处理和通信 系统设计具有重要意义。
经典谱估计方法
周期图法
通过离散傅里叶变换来计算信号的频谱。
快速傅里叶变换法
利用傅里叶变换的性质，高效计算信号的频谱。
非参数谱估计方法
谱估计在信号处理、通信系统 设计等领域具有广泛应用，对 于优化系统性能至关重要。
利用最小二乘法进行频谱估计，得到更准确 的频谱估计结果。
2 最大熵谱估计法
通过最大熵原理寻找最平滑的频谱估计。
3 光滑谱估计法
利用光滑函数对信号进行频谱估计，减少估 计结果的噪声。
4 自适应谱估计法
根据信号的特性调整谱估计方法，得到更好 的估计结果。
谱估计算法的评价指标
均方误差
衡量估计结果与真实频谱之间的差距。
3
基于线性预测模型的方法
利用线性预测模型对信号进行建模，从而估计信号的谱。
噪声下的谱估计问题
白噪声下的问题
白噪声对频谱估计的影响较小， 但会增加估计的方差。
彩色噪声下的问题
第五章 线谱估计
器权矢量的估计。
ˆ 如果在 [ , ] 内改变 ，画出 P MVDR ( ) 曲线。在 i , i 1, 2, , K 处的信号和噪声都被
滤波器抑制，曲线会出现很低的幅度；当 i , i 1, 2, , K 时，频率为 i 的信号可以无失 真地通过滤波器，因此曲线呈现出一个峰值。 在上面 MVDR 线谱估计方法的推导中，涉及了横向滤波器，但在进行信号频率估计时，无需构 建滤波器，而直接计算式(5.1.13)就可以得到复正弦信号的线谱。 应该指出，上面的 PMVDR (e ) 被称为最小方差谱，它并不是功率谱，它描述了信号功率谱的相 对强度。 Capon 提出的 MVDR 线谱估计方法的谱估计分辨率不高于基于 AR 模型的功率谱估计方法。
其中，矩阵 R
M M
(5.1.6)
为矢量 x(n) 的 M 维自相关矩阵，即
r (1) r (0) r (1) r (0) R E x(n)x H (n) r (1 M ) r (2 M )
r ( M 1) r ( M 2) r (0)
根据式(5.1.9)，求其梯度 J (w ) ，并令其为零，有
(5.1.9)
J (w ) 2Rw 2a(e j ) 0
考虑到自相关矩阵 R 是非奇异的，所以有
(5.1.10)
w R 1a(e j )
将其代入到约束条件 w a(e ) 1 中，并考虑 R 的共轭对称性，可得
x(n) k e jk n v(n)
k 1
K
(5.1.1)
其中， v(n) 是零均值，方差 为加性白噪声， k 和 k 分别是第 k 个复正弦信号复幅度和角频率，
ˆ 如果在 [ , ] 内改变 ，画出 P MVDR ( ) 曲线。在 i , i 1, 2, , K 处的信号和噪声都被
滤波器抑制，曲线会出现很低的幅度；当 i , i 1, 2, , K 时，频率为 i 的信号可以无失 真地通过滤波器，因此曲线呈现出一个峰值。 在上面 MVDR 线谱估计方法的推导中，涉及了横向滤波器，但在进行信号频率估计时，无需构 建滤波器，而直接计算式(5.1.13)就可以得到复正弦信号的线谱。 应该指出，上面的 PMVDR (e ) 被称为最小方差谱，它并不是功率谱，它描述了信号功率谱的相 对强度。 Capon 提出的 MVDR 线谱估计方法的谱估计分辨率不高于基于 AR 模型的功率谱估计方法。
其中，矩阵 R
M M
(5.1.6)
为矢量 x(n) 的 M 维自相关矩阵，即
r (1) r (0) r (1) r (0) R E x(n)x H (n) r (1 M ) r (2 M )
r ( M 1) r ( M 2) r (0)
根据式(5.1.9)，求其梯度 J (w ) ，并令其为零，有
(5.1.9)
J (w ) 2Rw 2a(e j ) 0
考虑到自相关矩阵 R 是非奇异的，所以有
(5.1.10)
w R 1a(e j )
将其代入到约束条件 w a(e ) 1 中，并考虑 R 的共轭对称性，可得
x(n) k e jk n v(n)
k 1
K
(5.1.1)
其中， v(n) 是零均值，方差 为加性白噪声， k 和 k 分别是第 k 个复正弦信号复幅度和角频率，
DSP-第五章 谱估计
������=1
������
������
������ ������ = − ������������������ ������ − ������ + ������ ������ + ������������������(������ − ������)
������=1
������=1
自回归模型（AutoRegressive）方法
第五章 谱估计
谱估计
非参数化谱估 计（经典法）
参数化谱估计
周期图法
BT法
AR谱估计
最大似然法 Capon 谱估计
基于特征结构 的谱估计
两种自相关函数的估计方法
优选
经典谱估计之BT法（相关图法）
数据
估计自相 关
FT
谱估计
经典谱估计之周期图法
数据
加矩形窗
FT
平方求平均
傅里叶变换
对周期图法的改进1：窗口处理法
Levinson-Durbin递推算法
AR模型阶数选择
三种阶数确定准则
Burg递归算法
在求解Lenvinson递推的时候，需要知道自相关序列。我们只能从随机序列中计 算。若序列长度较短，自相关的估计误差就会偏大。为解决上述问题，Burg提出 利用观察数据直接计算AR模型参数，用以克服以上问题。
������ ������=1
������������
������−������
差分方程
������ ������
=−
������ ������=1
������������
������
������ − ������
+ω(n)
������
第5章频域统计参数估计-谱估计
– 现代谱估计的优点：谱分辨率高，平滑性好 – 现代谱估计的缺点：计算复杂
第5章频域统计参数估计-谱估计
功率谱估计：经典谱估计与现代谱估计
谱估计就是从无限长随机序列中截取一段数据（加窗）来分 析。而问题的真正要害：如何看待截取数据以外的那无限长 数据序列，因为统计特性是以足够大的数据窗为前提的。
经典法：侧重于如何处理已经截得的那段数据上，很多技 巧表现在如何选择合适的窗，周期图法（直接法）默认为窗 外数据是窗内数据的周期重复；相关法（间接法）默认为数 据窗外的数据一概为零，延迟窗外的数据也一概为零，这显 然都是不符合实际的，这就导致经典谱估计的分辨率低，质 量差。
1）波束形成器
第5章计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
证明：
第5章频域统计参数估计-谱估计
2）信号子空间与噪声子空间
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
证明：
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
ai
3）ARMA模型的MA阶数q确定
第5章频域统计参数估计-谱估计
4）ARMA模型的MA参数bi估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
5.2.2 最大熵谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
3）基本MUSIC法
第5章频域统计参数估计-谱估计
4）改进方法1—求根的MUSIC法
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
5）改进方法2
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
功率谱估计：经典谱估计与现代谱估计
谱估计就是从无限长随机序列中截取一段数据（加窗）来分 析。而问题的真正要害：如何看待截取数据以外的那无限长 数据序列，因为统计特性是以足够大的数据窗为前提的。
经典法：侧重于如何处理已经截得的那段数据上，很多技 巧表现在如何选择合适的窗，周期图法（直接法）默认为窗 外数据是窗内数据的周期重复；相关法（间接法）默认为数 据窗外的数据一概为零，延迟窗外的数据也一概为零，这显 然都是不符合实际的，这就导致经典谱估计的分辨率低，质 量差。
1）波束形成器
第5章计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
证明：
第5章频域统计参数估计-谱估计
2）信号子空间与噪声子空间
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
证明：
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
ai
3）ARMA模型的MA阶数q确定
第5章频域统计参数估计-谱估计
4）ARMA模型的MA参数bi估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
5.2.2 最大熵谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
3）基本MUSIC法
第5章频域统计参数估计-谱估计
4）改进方法1—求根的MUSIC法
第5章频域统计参数估计-谱估计
第5章频域统计参数估计-谱估计
5）改进方法2
第5章频域统计参数估计-谱估计
第五章谱估计
2 ( 2k )..( 5 30 )
lim E[ I N ( )] ( )...(5 31) 渐进无偏差
2 sin N 4 估计方差: Var[ I N ( )] x 1 ..( 5 32 ) N sin
E
x(t ) dt (5 1)
2
则x(t)的连续傅氏变换存在，由下式给出：
X( f )
E
x (t ) exp( j 2ft )dt (5 2)
2
根据Parseval能量定理，有：
14:56
x(t ) dt
X ( f ) df (5 3)
d (n) x(n)d (n k ) x(n k ) (5 15 )
功率谱的估计可写成：
jn j ( n k ) d (n) x(n)e d (n k ) x(n k )e n n
关(协方差)函数为： ( k )
若有：
k
E x(n ) x(n k ) (5 8)
( k )
(5 9 )
jk ( ) ( k ) e (5 10 ) 则功率谱密度为： k ( ) 是以0对称，周期为2。反变换为：
定义：长度为N的实平稳随机信号序列
x N ,0 n N 1
的周期图为： I ( ) 1 X ( ) 2 , (5 26) N N
式中
X N ( )
jn x ( n ) e DFT n 0
N 1
谱估计(现代)
ak xx (m k ) Ex(n) (n m)
k 1
p
而
m0 0, E x(n) (n m) 2 , m 0
•Yule-Walker方程的推导
故
p a k xx (m k ) , m 0 k 1 xx (m) p a (k ) 2 , m 0 k xx k 1 或
p
2
需要推导AR参数与 xx (m)之间的关系。
3.1
• 估计方法
自回归模型法
2 与xx (m)乊间的关系 参数a1, a2, a3, …, ap及 ——Yule-Walker方程
已知：自相关函数 已知： 自相关函数
Yule-Walker方程
要求： AR模型的阶数p，以及p个AR 要求： AR模型的阶数p，以及p个 AR 参数a(i),激励源方差 2 参数a(k),激励源方差
3.2
最大熵谱估计法
• 基本思想——熵
代表一种不定度； 最大熵为最大不定度，即它的时间序列最随机， 它的PSD应是最平伏(最白色)。 Shannon对熵的定义： 当x的取值为离散的时，熵H定义为
H pi ln pi
i
pi：出现状态i 的概率。
当x的取值为连续的时，熵H定义为
p(x)：概率密度 函数
(n)
...
z-1 a1
z-1
z-1
a2
...
ap
3.1
自回归模型法
q
• MA(Moving Average)模型 ——全零点模型
x(n) bl (n l )
l 0
H ( z ) B( z ) 1 bl z k
现代谱估计课件
N 1
E[Rˆx (m)]e jm
m( N 1)
N 1 m( N 1)
Rx
(m)
N
| N
m
|
e
jm
令w(m)为三角窗
w(m)
(N
|
m 0,
|)
/
N
,
| m | N 1 else
E[Sˆx (e j )] [Rx (m)w(m)]e jm m
E[Sˆx (e j )]
1
2
Sx (e j ) W (e j )
pxx3=abs(fft(xn(515:768),Nsec).^2)/Nsec; %第三段功率谱
pxx4=abs(fft(xn(769:1024),Nsec).^2)/Nsec; %第四段功率谱
Pxx=10*log10((pxx1+pxx2+pxx3+pxx4)/4); %平均得到整个序
列功率谱
f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx); %给出功率谱对应的频率
)
2
sin N
N (1
2
sin 1
2
2 2
)
2
令1=2=
2
4 x
[1
(
sin N )2 ] N sin
当N时，频谱估计方差2不趋向于零，而趋 18
向于
4 x
，因此经典频谱估计不是一致估计
经典谱估计的方差
若取1= 2k/N，2=2l/N，k、l是整数，则有：
Cov[ Sˆ x
5
0
-5 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
现代谱估计
5 谱估计(概述和经典法)
谱 估 计主要内容•引言•经典谱估计•现代谱估计1 引 言✶概述✶估计质量的评价✶功率谱估计的应用✶研究现状•估计质量的评价的偏差(Bias)为零 。
所谓偏差(用B 表示)定义为 无偏估计θ：某个随机变量的真值：它的估计值 ˆθˆθˆˆ[]()B Bias E θθθ∆∆-☠估计1和估计2都属于无偏估计；☠估计2较之估计1方差小；•估计质量的评价均方误差θ：某个随机变量的真值：它的估计值 ˆθ不难证明：22ˆˆ()()MS E e E θθθ⎡⎤⎡⎤==-⎣⎦⎣⎦222ˆE e B θσ⎡⎤=+⎣⎦当N 趋向于无穷大时，谱估计趋向于真实的谱密度。
•估计质量的评价一致估计：ˆ 0ˆ ar 0N Bias N V θθ⎫⎡⎤→∞→⎣⎦⎪⎬⎡⎤→∞→⎪⎣⎦⎭正确的估计应该满足一致估计的条件，此为正确估计的必要条件 反之，若估计方法不满足一致估计的条件，则它一定是不正确的1 引 言•功率谱估计的应用☞在信号处理的许多场所，要求预先知道信号的功率谱密度(或自相关函数)。
☞常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数估计。
☞从宽带噪声中检测窄带信号。
•功率谱估计的应用谱估计的分辨率可以粗略地定义为能够分辨出的二个分立的谱分量间的最小频率间隙(距)。
例如：有一个随机信号，它包括二个频率相差1Hz振幅相等的正弦波以及加性白噪声(白色噪声的方差是正弦波功率的10％)。
用三种不同的谱估计方法检测这二个正弦分量的效果。
(a) 经典BT PSD法(b) 最大熵谱估计法(c) Pisavcnko 谐波分解法•研究现状功率谱估计的方法：教材P489 图10.7.1•研究现状☞经典谱估计：固有缺陷：原因：“加窗效应”频率分辨率低原因：加窗截取，认为窗以外的数据为零。
频谱能量向旁瓣泄漏原因：加窗截取，频域产生旁瓣和主瓣宽度不是无限窄的现象。
周期图的缺陷：非一致估计当数据量增至无限多时，周期图的方差并不趋近于零，而是趋近于常数。
矩形序列其傅立叶变换为幅度谱各种窗函数的频谱2 经典谱估计•自相关函数的估计•周期图作为功率谱的估计•平滑后的周期图作为PSD的估计2.2 周期图法进行谱估计求出信号的自相关函数，再求出信号的功率谱密度。
第五章功率谱估计1-2节
28/113
经FFT变换,得:
ˆ ˆ ˆ Pxx (k ) FFT xx (m) xx (m)e
m0 L -1 -j 2 km L
k 0,1, 2, L -1
29/113
三、相关图法功率谱估计质量
用x(n)的N 个有限值得到 ˆ 自相关函数的估计 ( m)，
13/113
（a）间接法（BT法）
BT法又称为相关图法 对信号序列估计求其自相关函数值 对自相关函数的估计进行加权 对加权的自相关函数做傅里叶变换 获得功率谱估计。
直到1965年快速傅里叶变换算法（FFT） 问世以前，是最流行的谱估计方法。
14/113
（b）直接法（又称周期图 （periodogram)法）
对观测到的数据样本直接进行傅里叶变换 取模的平方，再除以N 得到功率谱估计。 不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算， 在FFT出现以后，周期图法才得到了广泛的应 用。
15/113
（2）现代谱估计
其基本思想是根据已有的观测数据，建 立信号所服从的模型，从而在观测不到 的区间上，信号的取值服从模型的分布 情况，不再认为是零。 主要讨论参数模型（AR、MA、ARMA） 法。
N
2 xx (l ) xx (l m)xx (l - m) (N - m - l )
N - m -1 2 l -( N - m -1) N - m -1 2 l -( N - m -1)
N - m
N
所以在实际中必须兼顾分辨率与方差的要求来适当选择信号仍然是均值为方差为的白噪声观察数据长度为了利用平均周期法估计其功率谱将它分成段分别按照平均周期图法估计其功率谱得到功率谱曲线如图从图中可以看出随着分段数的增加功率谱估计值在附近的幅度愈来愈小显示出分段平均对周期图方差减少有明显效果
经FFT变换,得:
ˆ ˆ ˆ Pxx (k ) FFT xx (m) xx (m)e
m0 L -1 -j 2 km L
k 0,1, 2, L -1
29/113
三、相关图法功率谱估计质量
用x(n)的N 个有限值得到 ˆ 自相关函数的估计 ( m)，
13/113
（a）间接法（BT法）
BT法又称为相关图法 对信号序列估计求其自相关函数值 对自相关函数的估计进行加权 对加权的自相关函数做傅里叶变换 获得功率谱估计。
直到1965年快速傅里叶变换算法（FFT） 问世以前，是最流行的谱估计方法。
14/113
（b）直接法（又称周期图 （periodogram)法）
对观测到的数据样本直接进行傅里叶变换 取模的平方，再除以N 得到功率谱估计。 不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算， 在FFT出现以后，周期图法才得到了广泛的应 用。
15/113
（2）现代谱估计
其基本思想是根据已有的观测数据，建 立信号所服从的模型，从而在观测不到 的区间上，信号的取值服从模型的分布 情况，不再认为是零。 主要讨论参数模型（AR、MA、ARMA） 法。
N
2 xx (l ) xx (l m)xx (l - m) (N - m - l )
N - m -1 2 l -( N - m -1) N - m -1 2 l -( N - m -1)
N - m
N
所以在实际中必须兼顾分辨率与方差的要求来适当选择信号仍然是均值为方差为的白噪声观察数据长度为了利用平均周期法估计其功率谱将它分成段分别按照平均周期图法估计其功率谱得到功率谱曲线如图从图中可以看出随着分段数的增加功率谱估计值在附近的幅度愈来愈小显示出分段平均对周期图方差减少有明显效果
第5章2 现代信号处理最大熵谱估计讲解
p ( x ) ln[
??
C 2பைடு நூலகம்N p ( x)]dx ? (5 ? 104 )
C－常数，可用来确定量度熵的参考基准或熵的绝对值 , N－正整数。
因此令 C ? ( 2 ? e ) 1 / 4时，N维高斯分布的熵可写为：
? ? H
?
1 2
ln det
? Rx (N )
?
(5 ? 105)
?
? ? 显然，要使熵最大，就要使 det Rx ( N )
N
)?1,0,?
,0?T ? 0.........(5 ? 107)
此式为 Rx (N＋1) 的一次方程，从而求解此式，可得到合适的 Rx(N＋1)
?
det ?A?det
D
?
CA ? 1 B
? ? ? ?? ? ,
于是有：
?
?
??
?
det
R x ( N ＋1)
?
det
Rx (N )
?
Rx
(0)
?
C
T
R
? x
1
(
N
)C
显然(5-106)式，即将上式对 Rx (N＋1) 的导数为零，得：
?1,0,?
,0?R?x?
1(
N
? )C
?
? CT
? Rx?
1(
?1
得： H ? ln 2?? 2 ? ln e ? ln 2?? 2 e
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1/ 2
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《现代谱估计》课件
现代谱估计的重要性
随着信号处理技术的发展，谱估计技术在许多领域都有着广 泛的应用，如雷达、声呐、地震勘探、生物医学工程等。
现代谱估计技术可以实现对信号的快速、准确的分析，从而 提高信号处理的效率和精度，为许多领域的发展提供了重要 的技术支持。
02
现代谱估计方法
基于模型的谱估计方法
参数模型法
通过建立信号的参数模型，如AR模 型、MA模型等，利用已知参数进行 谱估计。
现代谱估计
• 引言 • 现代谱估计方法 • 现代谱估计的算法实现 • 现代谱估计的性能评估 • 现代谱估计的未来展望
01
引言
谱估计的定义
谱估计是对信号的频率成分进行分析 和描述的过程，通过分析信号在不同 频率下的幅度和相位信息，可以得到 信号的频率特性。
谱估计可以分为时域谱估计和频域谱 估计两种方法，时域谱估计是在时间 域内对信号进行分析，而频域谱估计 则是在频率域内对信号进行分析。
04
现代谱估计的性能评估
均方误差性能评估
01
均方误差（MSE）是衡量估计量与真实值之间误差 的常用指标，用于评估现代谱估计的性能。
02
MSE越小，表示估计的精度越高，性能越好。
03
在实际应用中，可以通过最小化均方误差来优化现 代谱估计器的性能。
交叉验证性能评估
交叉验证是一种评估模型泛化 能力的有效方法，也适用于现
02
在实际应用中，需要考虑各种 因素，如噪声、信号遮挡、多 径干扰等，这些因素会影响估 计器的性能。
03
实际应用性能评估需要充分考 虑实际应用场景的特点，并设 计相应的实验来评估估计器的 性能。
05
现代谱估计的未来展望
深度学习在谱估计中的应用
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1967年以后为现代谱估计阶段，是基于非线性的谱分析。 包括各种模型参数法，熵谱法及最小方差法，与奇异值/特 征值分解处理的非参数法等。 当数据序列较长时，经典谱估计有较好的性能，但对于 短序列，经典谱估计存在分辨率不高等致命弱点。现代谱 估计具有优良性能，为经典法所不及。
现代谱估计的主要方法有：
N
2
时间序列由角频率0的正弦信号与噪声叠加而成。 则周期图（寻找数据的隐周期性即频率）在0 处会出 现峰值。通过计算周期图。由各峰值可显示出正弦频 率信号。
1930年，维纳-辛钦定理,证明自相关函数和功率谱互 为傅立叶变换，建立了使用傅氏方法处理随机过程的 理论体系。谱分析的第二步。
1958年，布莱克曼（Blackman）和图基（Tukey）经典论 文“由通信工程观点对功率谱的测量”给出用维纳相关法 从抽样序列得到功率谱的实现方法——BT法。其性能与窗 函数选择有关。周期图和BT法称为经典谱估计方法。（且 是线性估计方法）。 上述方法的最大问题是由于数据截断（或开窗）带来的 频率泄漏。弱信号的主瓣很容易被强信号的旁瓣所淹没。 对于短序列这一情况尤为突出。
p x
5.2 AR模型参量法
模型参量法的基本思想是根据所研究信号的先验知 识，对信号窗外的数据作出某种比较合理的假设（外 推或预测）。具体步骤为： 1、选择一个好的模型。 输入为 n 或 t 或白噪声情况下，使输出等于所 研究的信号，至少也是对该信号的一个近似。AR, MA, ARMA及谐波信号模型。 2、利用已知的自相关函数或数据求模型参数。 3、利用求出的模型参数估计该信号的功率谱。
1971年，范登博斯证明，最大熵谱分析I法与AR 模型参量法等效。因此也将该法列为模型参量法谱估 计。 1979年，美国海军实验室绍尔（Shore）提出最 q x 小交叉熵谱分析I法。 H p, q q x ln dx
以后又有最大熵谱分析II法、最小交叉熵谱分析II 法、最大熵分析拓广、最小交叉熵分析拓广、多信号 交叉熵谱分析等，已可独立成为现代谱估计的重要组 成部分。 4、多谱（高阶谱）与多维谱估计 通常的谱估计或功率谱估计，只包含振幅信息。 但许多实际问题需要相位信息。这种情况可考虑使用 多谱（高阶谱）——高阶累积量的多维傅氏变换。 5、自适应谱估计和鲁棒估计
递推求解的方法。
设p-1阶AR参量矩阵方程为：
rxx (1) rxx ( p 1) 1 2 rxx (0) p 1 a r (1) r (0) r ( p 2) xx xx xx p 1,1 0 a r ( p 1) r ( p 2) r (0) 0 xx xx xx p 1, p 1
第五章 现代谱估计
主要内容：
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 谱估计的发展 AR模型参数法 最大熵谱估计 最大似然谱功率估计 谐波分解模型
5.1 谱估计的发展
19世纪末舒斯特（Schuster）周期图 1 S x1e j x2 e j 2 ... xN e jN
1、模型参量谱估计——可得到高分辨率的谱估计。而 这取决于假定模型对观察数据的适配能力。 2、非参量谱估计 不用有限参数描述的信号模型，直接由自相关延 迟序列得到。高信噪比下不如模型法，但在低信噪比 下，模型参量谱估计的分辨率大为下降。 1973年，皮萨伦科（Pisarenko）提出特征矢量 法，开辟了基于自相关矩阵或数据矩阵进行特征分解 的非参量谱估计。 3、熵谱估计 1967年，伯格提出最大熵谱分析法。其方法是对 已知延迟点上的自相关函数不加修改，而是对未知延 迟点上的自相关函数按信息论中的最大熵外推而得。
p AR ( f )
(3)
2
1 ak exp( j k )
k 1 p 2
(4)
5.2.2 莱文森-德宾（Levinson-Durbin）算法
2 2 { a , },{ a , a , 此算法是以 1,1 1 2,1 2,2 2 }
2 {ap1,1, ap1,2 ,, ap1, p1, p 1}
xx
l 1
l xx
取k=0,1,2,…,p，可得矩阵表达为：
rxx (0) rxx (1) rxx ( p) 1 2 a rxx (0) rxx ( p 1) 1 0 rxx (1) a r ( p ) r ( p 1) r (0) 0 p xx xx xx
* rxx k E ห้องสมุดไป่ตู้ x x nk n
p E al xn k l n k xn l 1
al rxx k l E x nk n l 1 p al rxx k l , k 0 l 1 (2) p a r k l 2 , k 0 l xx l 1 p 此式(2)可简写成： r (k ) a r (k l ) k p
5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4
尤拉-沃克（Yule-Walker）方程 莱文森-德宾（Levison-Durbin）算法 BURG 算法 AR模型阶数的判定
5.2.1 尤拉-沃克（Yule-Walker）方程
AR（p）模型
xn al xn l n
l 1
p
(1)
现代谱估计的主要方法有：
N
2
时间序列由角频率0的正弦信号与噪声叠加而成。 则周期图（寻找数据的隐周期性即频率）在0 处会出 现峰值。通过计算周期图。由各峰值可显示出正弦频 率信号。
1930年，维纳-辛钦定理,证明自相关函数和功率谱互 为傅立叶变换，建立了使用傅氏方法处理随机过程的 理论体系。谱分析的第二步。
1958年，布莱克曼（Blackman）和图基（Tukey）经典论 文“由通信工程观点对功率谱的测量”给出用维纳相关法 从抽样序列得到功率谱的实现方法——BT法。其性能与窗 函数选择有关。周期图和BT法称为经典谱估计方法。（且 是线性估计方法）。 上述方法的最大问题是由于数据截断（或开窗）带来的 频率泄漏。弱信号的主瓣很容易被强信号的旁瓣所淹没。 对于短序列这一情况尤为突出。
p x
5.2 AR模型参量法
模型参量法的基本思想是根据所研究信号的先验知 识，对信号窗外的数据作出某种比较合理的假设（外 推或预测）。具体步骤为： 1、选择一个好的模型。 输入为 n 或 t 或白噪声情况下，使输出等于所 研究的信号，至少也是对该信号的一个近似。AR, MA, ARMA及谐波信号模型。 2、利用已知的自相关函数或数据求模型参数。 3、利用求出的模型参数估计该信号的功率谱。
1971年，范登博斯证明，最大熵谱分析I法与AR 模型参量法等效。因此也将该法列为模型参量法谱估 计。 1979年，美国海军实验室绍尔（Shore）提出最 q x 小交叉熵谱分析I法。 H p, q q x ln dx
以后又有最大熵谱分析II法、最小交叉熵谱分析II 法、最大熵分析拓广、最小交叉熵分析拓广、多信号 交叉熵谱分析等，已可独立成为现代谱估计的重要组 成部分。 4、多谱（高阶谱）与多维谱估计 通常的谱估计或功率谱估计，只包含振幅信息。 但许多实际问题需要相位信息。这种情况可考虑使用 多谱（高阶谱）——高阶累积量的多维傅氏变换。 5、自适应谱估计和鲁棒估计
递推求解的方法。
设p-1阶AR参量矩阵方程为：
rxx (1) rxx ( p 1) 1 2 rxx (0) p 1 a r (1) r (0) r ( p 2) xx xx xx p 1,1 0 a r ( p 1) r ( p 2) r (0) 0 xx xx xx p 1, p 1
第五章 现代谱估计
主要内容：
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 谱估计的发展 AR模型参数法 最大熵谱估计 最大似然谱功率估计 谐波分解模型
5.1 谱估计的发展
19世纪末舒斯特（Schuster）周期图 1 S x1e j x2 e j 2 ... xN e jN
1、模型参量谱估计——可得到高分辨率的谱估计。而 这取决于假定模型对观察数据的适配能力。 2、非参量谱估计 不用有限参数描述的信号模型，直接由自相关延 迟序列得到。高信噪比下不如模型法，但在低信噪比 下，模型参量谱估计的分辨率大为下降。 1973年，皮萨伦科（Pisarenko）提出特征矢量 法，开辟了基于自相关矩阵或数据矩阵进行特征分解 的非参量谱估计。 3、熵谱估计 1967年，伯格提出最大熵谱分析法。其方法是对 已知延迟点上的自相关函数不加修改，而是对未知延 迟点上的自相关函数按信息论中的最大熵外推而得。
p AR ( f )
(3)
2
1 ak exp( j k )
k 1 p 2
(4)
5.2.2 莱文森-德宾（Levinson-Durbin）算法
2 2 { a , },{ a , a , 此算法是以 1,1 1 2,1 2,2 2 }
2 {ap1,1, ap1,2 ,, ap1, p1, p 1}
xx
l 1
l xx
取k=0,1,2,…,p，可得矩阵表达为：
rxx (0) rxx (1) rxx ( p) 1 2 a rxx (0) rxx ( p 1) 1 0 rxx (1) a r ( p ) r ( p 1) r (0) 0 p xx xx xx
* rxx k E ห้องสมุดไป่ตู้ x x nk n
p E al xn k l n k xn l 1
al rxx k l E x nk n l 1 p al rxx k l , k 0 l 1 (2) p a r k l 2 , k 0 l xx l 1 p 此式(2)可简写成： r (k ) a r (k l ) k p
5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4
尤拉-沃克（Yule-Walker）方程 莱文森-德宾（Levison-Durbin）算法 BURG 算法 AR模型阶数的判定
5.2.1 尤拉-沃克（Yule-Walker）方程
AR（p）模型
xn al xn l n
l 1
p
(1)