一维热传导方程

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一维热传导方程

一． 问题介绍

考虑一维热传导方程：

（1）,0),(22T t x f x

u a t u ≤<+∂∂=∂∂ 其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题

1）（<∞-（2）

1）（x <0（3）

(4)

二． N,M 都

三． 第 第k+1层值不能通过第k 层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。

1. 向前差分格式

（5）

,22111j k j k j k j k j k j f h u u u a u u ++-=--++τ

)(j j x f f =， )(0

j j j x u ϕϕ==，00==k N k u u ，

其中j=1,2,…，N-1，k=1,2,…,M-1。以2/h a r τ=表示网比。则方程（5）可以改写为：

易知向前差分格式是显格式。

2. 向后差分格式

（6）

,11111)21(j k j k j k j k j f u ru u u ru τ+=-++-+-+++ )(0j

j j x u ϕϕ==，00==k N k u u ， 其中j=1,2,…，N-1，k=1,2,…,M-1，易知向前差分格式是显格式。

3. 六点对称格式（Grank-Nicolson 格式）

将向前差分格式和向后差分格式作算术平均，即得到六点对称格式：

（7 利用 （8或

（9用到四．通过误差估计方程

（1）可知对任意的r ，Richardson 格式都不稳定，所以Richardson 格式绝对不稳定。

（2）当210≤

1>r 时，向前差分格式的误差无限增长。因此向前差分格式是条件稳定。

（3）向后差分格式和六点对称格式都绝对稳定，且各自的截断误差阶分别为)(2h O +τ和)(22h O +τ。

五． 数值例子

例1令f(x)=0和a=1，可求得u （x,t ）一个解析解为u(x,t)=exp(x+t)。

1． 用向前差分格式验证得数值结果如下：

请输入n的值(输入0结束程序):

2

请输入m的值(输入0结束程序):

17

xjtk真实值x[i][k]近似值u[i][k]误差err[i][k]

0.3333330.0555561.4753411.4738670.001474

0.6666670.0555562.0590042.0569470.002057

0.3333330.1111111.5596231.5570370.002586

0.6666670.1111112.1766302.1737190.002911

0.3333330.1666671.6487211.6456190.003102

0.6666670.1666672.3009762.2973850.003591

0.3333330.8888893.3947233.3874720.007251

0.6666670.8888894.7377184.7295560.008162

0.3333330.9444443.5886563.5809910.007665

0.6666670.9444445.0083734.9997450.008628

当n等于2和m等于17时最大误差为0.008628 其中r=1/2，格式是稳定的。

2.用向后差分格式验证得数值结果如下：

请输入n的值(输入0结束程序):

6

请输入m的值(输入0结束程序):

6

xj真实值x[i]近似值u[i]误差err[i]

第1层结果时间节点Tk=0.142857 0.1428571.3307121.3350020.004289 0.2857141.5350631.5423580.007295 0.4285711.7707951.7799490.009154 0.5714292.0427272.0525240.009797 0.7142862.3564182.3653460.008927 0.8571432.7182822.7242560.005974 第1层的最大误差是0.009797

第2层结果时间节点Tk=0.285714 0.1428571.5350631.5417970.006734 0.2857141.7707951.7824240.011629

第2

第3

第3

第4

第4

第5

0.4285713.1357153.1616000.025886 0.5714293.6172513.6444850.027234 0.7142864.1727344.1967160.023982 0.8571434.8135204.8287880.015268 第5层的最大误差是0.027234

第6层结果时间节点Tk=0.857143 0.1428572.7182822.7320170.013735 0.2857143.1357153.1595780.023864 0.4285713.6172513.6472400.029989 0.5714294.1727344.2042780.031544 0.7142864.8135204.8412870.027767 0.8571435.5527085.5703780.017670

当n等于6时最大误差为0.031544 3.用六点对称格式验证数值结果如下：请输入n的值(输入0结束程序):

6

请输入m的值(输入0结束程序):

6

xj真实值x[i]近似值u[i]误差err[i]

第1层结果时间节点Tk=0.142857

0.1428571.3307121.3309880.000276 0.2857141.5350631.5355220.000459

第1

第2

第2

第3

第3

第4

0.4285712.7182822.7193770.001095 0.5714293.1357153.1368670.001153 0.7142863.6172513.6182610.001010 0.8571434.1727344.1733650.000631

第4层的最大误差是0.001153

第5层结果时间节点Tk=0.714286

0.1428572.3564182.3569990.000581 0.2857142.7182822.7192840.001003 0.4285713.1357153.1369730.001258 0.5714293.6172513.6185730.001322 0.7142864.1727344.1739000.001166 0.8571434.8135204.8142710.000751