第八章_单因素方差分析(1)

a
如果我们只研究这 a个不同处理，则有
i 0,
且每个
是常数。
i
i 1
i i为第i个处理的平均数。
ij
是y
的试验的随机误差（也
ij
称为噪声）。固定效应模型
我们假定ij相互独立且服从正态分布N(0, 2)。
因此，方差分析假定yij～N( i , 2 ),这是方差分析的条件。
❖ （三）因素处理效应和实验模型的分类
因此，两两 t检验的精确性有待提高 。
正确答案：
进行关于 a(a 3)个样本平均数差异的假 设检验， 应使用一种更为合理的 统计分析方法－方差分 析。
❖ 二、方差分析的几个概念
1、方差分析（analysis of variance）：将试验数据的总变异分 解成不同来源的变异，从而评定不同来源的变异相对重要性 的一种统计方法。
2、试验指标（experiment index）：为衡量试验结果的好坏或 处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。
3、试验因素（experiment factor）：试验中所研究的影响试验 指标的因素：单因素、双因素或多因素试验。
4、因素水平（level of factor）：因素的具体表现或数量等级。
答：常采用第五章里讲的t检验法。
现在，如何进行a 个样本的平均数差异的假设检验（a 3）？
某人答：两两进行t检验。
评论：这种方法是不行的。
主要原因有三：
原因（1）：检验的工作量大
当有a个样本平均数，两两组合，就有a(a 1) 个平均数的差。 2
例如，a 10时，就有109＝45个平均数的差。 2
yi•
1 n
yi•表示第i个处理所有数据的平均值
an
y••
yij 表示所有处理中全部数 据的总和
i1 j1
y ••
1 an
y••全部数据的总平均值
注意：“•”表示对一个下标的求和
（二）单因素试验的数据描述
yij可表示成 yij i ij
其中，为全体试验值的总体平 均数，
i为第i个处理的效应，表示处 理i对试验结果产生的影响 。
换句话说，采用两两 t检验法，要进行 45次t检验，程序太繁琐。
原因（2）：检验的I 型错误增大，从而检验的
可靠性低
a 2时，H0只有一个，即 1＝2 a 3时，H0有3个，即1＝2，2＝3，1＝3
a 5时，H0有10个，即1＝2，2＝3， , 4＝5
a 2时只作一次假设检验， H0被接受的概率为 1＝0.95
I
型错误
(H
为真时，但却被我们否
0
定)＝1－0.95
0.05
a 3时作3次检验， H0被接受的概率为（1）3＝0.953＝0.8574 I 型错误＝1－0.8574 0.1426
a 5时作10次检验， H0被接受的概率为（ 1）10＝0.9510＝0.5987
I 型错误＝1－0.5987 0.4013
第八章 单因素方差分析 （One－factor ANOVA)
ANOVA: Analysis of Variance
目的要求
掌握：方差分析的意义、功用与应用范围；多 重比较法及多重比较结果的表示法。
熟悉：不同类型单因素资料的方差分析方法。 了解：方差分析的线性模型和期望均方。统计
软件Excel、SPSS应用。
2、随机效应模型 如果处理效应是由随机因素所引起的效应，就称为随机效 应。 固定因素是指因素的水平可以严格地人为控制，水平固定 后它的效应值也是固定的，实验重复时可以得到相同的结 果。 处理固定因素所用的模型称为固定效应模型，简称为固定 模型。 固定模型的方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个 水平，并不能将其结论推广到其他未考虑的水平上。
1、固定效应模型 如果处理效应是由固定因素所引起的效应，就称为固定效 应。 随机因素是指因素的水平可以严格地人为控制，水平固定 后它的效应值也是固定的，实验重复时可以得到相同的结 果。 处理固定因素所用的模型称为固定效应模型，简称为固定 模型。随机效应模型的方差分析所得到的结论可以推广到 总体水平上
7、重复（repetition）：在试验中，将一个处理实施在两个或 两个以上的试验单位上称为处理有重复，处理实施的试验 单位数目称为处理的重复数。观测数≠重复
❖ 三、方差分析的数学模型
（一）单因素试验的数据描述
重复数（j)
1 2 3
┇ j ┇
n 组总和 组平均数
处理（组别）（i=1,2,...,a）
通过以上分析，随着 a的增大，检验的 I 型错误的概率 大大增大，这样的检验 是不可靠的。
原因（3）检验统计量的精确性低
t 检验的统计量是
y1 y2
(n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
1 n1
1 n2
这部分是对原始数据方 差 2的估计，它只用了两个 样本的数值。
但我们有a个样本，没有被全部同时的利用来估计 2。 所以，我们认为对 2的估计有待改善。
5、试验处理（treatment）：在试验对象上实施的事先设计好 的具体项目，简称处理。在进行单因素试验时，试验因素的一个
水平就是一个处理；对于双因素试验，处理的个数等于两个因素水平 个数的乘积。每个处理可以看做是一个总体，每个处理得到的一组数 据可以看做是从这个处理总体中抽取的一个样本的数据。
6、试验单位（experiment unit）：在试验中能接受不同试验 处理的独立的试验载体，是获得观测数据的单位。
1
2
…i
…a
y11
y21
…
yi1…ya1y12y22…
yi2
…
ya2
y13
y23
…
yi3
…
ya3
┇
┇
┇┇┇┇
y1j
y2j
…
yij
…
yaj
┇
┇
┇
┇┇
y1n y1.
y 1•
y2n y2.
y 2•
…
yin
…
yan
…
yi. …
ya.
…
y i•
…
y a•
yij 表示第 i个处理的第 j次观测值
n
yi• yij 表示第i个处理所有数据的和 j 1
讲授内容
第一节 方差分析的基本原理 第二节 固定效应模型 第三节 随机效应模型 第四节 多重比较 第五节 方差分析应具备的条件
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析要解决的问题 二、方差分析的几个概念 三、方差分析的数学模型 四、方差分析的原理
❖ 一、方差分析要解决的问题
如何进行关于两样本的 平均数差异的假设检验 ，如H0：1＝2？