自由粒子本征函数的规格化和箱归一化

2．三维情况
Enx ny nz
p 2 π 2 h2 2 2 =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= (nx + n y + nz2 ) 2 µ 2 µ L2
v 1 i v v exp pn ⋅ r (2 L )3/ 2 h
ψ n n n (r ) =
n y z
n x , n y , n z = 0,±1,±2, L
二、本征函数的箱归一化
1．一维情况
[ − L, L ] 的范围内运动，则它的波函数是归一化的。 若限定粒子在 的范围内运动，则它的波函数是归一化的。 的值很大时， 当L的值很大时，可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。 的值很大时 可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。
在上述限制下，粒子是不可能处于箱外的，故箱外的波函数为 在上述限制下，粒子是不可能处于箱外的， 零。 在箱内，设粒子动量或动能算符的本征函数仍为 在箱内，
2 pL sin =0 h
pL = nπ h
pn =
πh
L
n
n = 0, ±1, ±2,L
2 pn π 2 h 2 2 En = = n 2 2µ 2µ L
显然，动量和能量的本征值都是断续的。 显然，动量和能量的本征值都是断续的。 显然，随着箱尺度的增大，能级的间距变小。 显然，随着箱尺度的增大，能级的间距变小。当 L → ∞时，能 级的间距趋向于零，或者说能级变成连续的， 级的间距趋向于零，或者说能级变成连续的，这正与自由粒子能量 本征值是连续的相吻合。 本征值是连续的相吻合。 L 2 * c = 1 / 2L 归一化 ∫−Lψ p ( x)ψ p ( x)dx = 2 c L = 1
n n
ψ p ( x) =
n
1 2L
e ipn x / h
自由粒子的能量本征函数在无穷远处不为零， 自由粒子的能量本征函数在无穷远处不为零，这种状态称为非 束缚态。箱中的粒子的能量本征函数在无穷远处为零， 束缚态。箱中的粒子的能量本征函数在无穷远处为零，这种状态称 束缚态。一般说来，连续谱对应非束缚态，而断续谱对应束缚态。 为束缚态。一般说来，连续谱对应非束缚态，而断续谱对应束缚态。
ψ p ( x) = ce ipx / h
因为粒子出现在箱的两端处的概率相同， 因为粒子出现在箱的两端处的概率相同，所以 ψ p ( − L) = ψ p ( L) 此即所谓周期性条件。 此即所谓周期性条件。 有 周期性条件
e
ip 2 L / h
=1
2 pL cos =1 h