《里程碑上的数》数学案例

《里程碑上的数》数学案例及分析

孙雯

一、主题与背景

开展“反思式”教研活动以来，要求教师不仅要从学生的学情、学校的校情出发，而且要从学科特点、教师本身的特点入手，寻找课题的切入口，并促使“自主学习”作为新课程理念下的一种有效的学习方式，通过教师各种教学方式指导学生接受、采用。本文给出了教学案例《里程碑上的数》（义务教育课程标准实验教科书七年级数学第七章第五节）两节反思课。

二、情景描述

1、创设情景，引入新课：

（展示课件）

[问题1]一个两位数，个位数字是y，十位数字是x，那么这个两位数可以表示为＿＿＿＿；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可以表示为＿＿＿＿。

[分析]个位数字是y，既表示有y个1，十位数字是x，说明有x个10，所以这个两位数是x个10和y个1的和，既10x+y；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，既y 个10和x个1的和，既10y+x。

[提问]有的同学将这个两位数表示成为xy的形式可以吗？（因为xy这个代数式中x和y是相乘的关系，与两位数中两个数字之间所表示的含义不同，例如：23，它表示的是2个10和3个1相加，而不表示2和3相乘。）

（展示课件）

[问题2]两个两位数分别为x和y，如果将x放到y的左边就得到一个四位数，那么这个四位数可表示为＿＿＿＿；如果将x放到y的右边就得到一个新的四位数可表示为＿＿＿＿。

[分析]两位数x放到两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此就将x扩大了100倍，既在这个四位数中含有x个100，而这个两位数y在四位数的数位没有发生变化，因此这个四位数里还含有y个1。因此用x、y表示这个四位数为100x+y。同理，如果将x放到y的右边得到一个新的四位数为100y+x.

（展示课件）

[问题3] 一个两位数，个位数字是y，十位数字是x，如果在它们中间加一个0变成一个三位数，那么这个三位数可表示为＿＿＿＿。

[分析] 一个两位数，个位数字是y，十位数字是x，如果在它们中间加一个0，十位数字x便成了百位上的数，因此这个三位数是由x个100，0个10，y个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100x+y。

接下来，我们就用上面的几个小知识解决下面的综合性问题。

2、讲授新课：

请同学们翻开课本第234页，我们来研究“里程碑上的数”。同学们先阅读课本上的第一段文字及文字下的三幅图片，考虑一下这些文字和图片阐述了怎样的一个问题。

（展示课件）

小明坐着摩托车在公路上匀速行驶，小明12：00时看到里程碑上的数是一个

两位数，它的数字之和是7；13：00时看到里程碑上两位数与12：00时看到的两位数的个位数和十位数颠倒了；在14：00时看到的里程碑上的数比12：00时看到的两位数的中间多了个0，试确定小明在12：00时看到里程碑上的数字是多少？

[分析]我们可以注意到“里程碑上的数”这个场景十分有意思，它既是一个数字问题，又与行程有关，同时，相对而言又有一定的难度，但我们知道一个复杂问题往往是由几个简单的问题组合而成的，要想求出小明在12：00时看到里程碑上的数，就要确定这个两位数个位和十位上的数字，我们不妨设小明在12：00时看到里程碑上的数的十位数字是x，个位数字是y。

根据题意，你能写出12：00、13：00、14：00时小明看到里程碑上的数字

模型，为此，我们必须找出题目中的等量关系。

小明在12：00时看到里程碑上的数，它的数字之和是7，于是我们可以得到一个等量关系，即为x+y=7。从题目中，我们还可以注意到小明坐着的摩托车在公路上匀速行驶，说明12：00~13：00与13：00~14：00两段时间内行驶的路程相等。现在我们关键是用x、y表示出这两个时间段中行驶的路程。根据12：00、

(10y+x)-(10x+y)= (100x+y)-(10y+x)

根据上面的分析，请同学们在练习本上列出方程组，解出方程组的解。

解：设小明在12：00时看到里程碑上的数的十位数字是x，个位数字是y 根据题意得：x+y=7

(10y+x)-(10x+y)= (100x+y)-(10y+x)

化简，得：x+y=7

6x-y=0

解得：x=1

y=6

答：小明在12：00时看到里程碑上的数是16。

从上述问题的求解过程中，我们可以得到一些启示：遇到较复杂的问题，我们通过把它化简为几个简单问题去分析，可以使思路明晰，使复杂问题在化解的过程中迎刃而解，下面我们再来看一道例题。

（展示课件）

[例]两个两位数的和为68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边接着写较小的两位数，也得到一个四位数。前一个四位数比后一个四位数大2178，求这个两位数。

[分析]设较大的两位数为x，较小的两位数为y。根据题意写出这两个四位数的代数式：

在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可以表示为：100x+y；

在较大的数的左边接着写较小的数，所写的数可以表示为：100y+x。

寻找等量关系：（1）较大的两位数+较小的两位数=68

（2）前一个四位数-后一个四位数=2178

最后，求解。

解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。

根据题意得：x+y=68

(100x+y)-(100y+x)=2178

化简，得：x+y=68

x-y=32

解得：x=45

y=23

答：较大的两位数是45，较小的两位数是23。

（展示课件）

[试试看]一个两位数，减去它的个位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1。这个两位数是多少？

[分析]设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y。那么这个两位数可以表示为10x+ y。考虑：在除法运算中，除数、被除数、商和余数之间有什么关系？根据题意，找出等量关系：

原数-3（个位数+十位数）=23

商×（个位数+十位数）+余数=原数

根据等量关系列方程组求解。

解：设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y。

根据题意得：（10x+y）-3（x+y）=23

5(x+y)+1=(10x+y)

化简，得：7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：这个两位数是56。

（展示课件）

[试试看]小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在另一个加数的后面多写了一个0，得到的和是341。原来的两个数分别是多少？

[分析]设原来的两个数分别为x，y

等量关系：（1）10小明的数+小亮的数=242

（2）10小亮的数+小明的数=341

根据等量关系列方程组求解。

（因为时间的关系，学生课后自己练习）

3、课堂小结

（由于此时下课铃已响，老师就口述列方程组解决实际问题的一般步骤）