模糊数学方法

1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为
聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法 。然 而，在科学技术、经济管理中有很多事物的类与类之间并 无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是 模糊关系，比如植物、微生物、动物之间，温饱型家庭与小 康型家庭之间等。对上述事物的分类就应该用模糊数学方 法。根据事物的某些模糊性质进行分类的数学方法称为模糊 聚类分析 。
F (U ) { A | A : U [0,1]}
注： (U ) 是一个普通集合，且 U F (U ) F
（2） 模糊集的表示方法： 对于有限论域 U {x1 , x2 xn }，设 A F (U ) （1）Zadeh表示法： A ( xi ) A ( x1 ) A ( x2 ) A ( xn ) A
模糊数学方法
一．模糊数学的基本概念 二．模糊关系与模糊矩阵 三．模糊聚类分析方法 四．模糊模式识别方法
五．模糊综合评判方法
一. 模糊数学的基本概念
（1）模糊集与隶属函数的概念 论域：论及到的对象全体构成的集合，记为U。 Def. 设U为一论域，如果给定了一个映射:
A : U [0,1], x A ( x) [0,1]
则称R为模糊等价矩阵。
注：对于满足自反性和对称性的模糊关系 R 与模糊矩阵R，则
~
分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵。
截矩阵：设 R (rij ) mn 为模糊矩阵，对任意的 0,1
（1）如果令
1, rij , i 1, 2, , m; rij ( ) , 0, rij j 1, 2, , n
第一步. 数据标准化 （1）获取数据: 设论域U＝ {x1 , x2 , , xn } 为所需分类研究的 对象，每个对象又由m个指标表示其性态，即
xi xi1 , xi 2 , , xim (i 1,2,, n)
于是得到问题的原始数据矩阵为 A ( xij ) nm
（2）数据的标准化处理：实际中的数据通常具有不同的性质 和量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原
R (rij ) mn
rij [0,1](i 1, 2 m; j 1, 2 n)
，且
则称R为模糊矩阵。比较特殊的情况有下边两种： rij {0,1}(i 1, 2 m; j 1, 2 n) (1) 如果 ，则称R为布 尔（Bool）矩阵。
(2) 当m=1,或n=1时，则相应的模糊矩阵为 R (r1 , r2 ,, rn )
R (r1 , r2 , , rm )T
或
，分别称为模糊行向量和模糊列向量。
Def. 若模糊关系 R F (U U ) ,且满足 ~ （1）自反性： R ( x, x ) 1 ~ （2）对称性： R ( x, y ) R ( y, x) （3）传递性： R 。 R R ~ ~ ~ （或 R R ( x, y ) ( R ( x, z ) R ( z , y )) R ( x, y ) ）
c
”分别表示取大算子和取小算子，
并且并和交运算可以直接推广到任意有限及无限的情
况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等 运算规律。
隶属函数的确定方法
模糊数学的基本思想是隶属程度的思想。应用模 糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶 属函数。
1. 模糊统计方法
模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊 统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的.
i j k 1 m
~
x
k 1
m
，显然 rij [0,1] .
rij 1 2
ik
注：若出现某些 rij 0 ，可令 rij'
，则有 rij' [0,1] 。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij ) nm
（2）绝对值指数法. 令
始数据矩阵做标准化处理，即通过适当的数据变换和压缩，将
其转化为模糊矩阵。现介绍以下两种常用方法：
(i) 平移——标准差变换. 当原始数据之间具有不同量纲时，应用该方法可以使每个 变量的均值为0，标准差化为1，从而消除了量纲的差异影响， 即令 其中
x
' ij
xij x j sj
(i 1, 2 n; j 1, 2 m )
模糊统计实验包含下面四个基本要素
（1）论域U；
（2）U中的一个固定元素 x0 ； （3）U中的一个随机变动的集合 A* （普通集） ； （4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊集A ，对 ，或 x0 A* ， A* 的变动起着制约作用，其中 x0 A*
致使 x0对A 的隶属关系是不确定的。
并： A B ( x) A ( x) B ( x) max( A ( x), B ( x)) 交： A B ( x) A ( x) B ( x) min( A ( x), B ( x))
补：
其中“ ”和“
A ( x) 1 A ( x)
果模糊矩阵 R ( rij ) nn 满足：
（1）自反性：I R(或r 1, i 1, 2,, n) ； ii （2）对称性：R T R(或rij r ji ; i, j 1,2,, n) ； （3）传递性：R R R （或
( r
k 1
n
ik
rkj ) rij ; i, j 1, 2, , n ）
则称 R 是U上的一个模糊等价关系，其隶属度 R ( x, y )
~
~
~
~
~
~
zU
~
~
~
表示 ( x, y ) 的相关程度。 注：当 U {x1 , x2 ,, xn } 为有限论域时，U上的模糊等价关系 可表示为n n 阶的模糊等价矩阵 R ( rij ) nn 。
模糊等价矩阵：设论域为 U {x1 , x2 ,, xn } ， I 为单位矩阵，如
模糊传递矩阵：设R是 n n 阶的模糊矩阵，如果满足:
R R R R(或 (rik rkj ) rij ; i, j 1,2,, n)
2 k 1
n
则称R为模糊传递矩阵。称包含R的最小的模糊传递矩阵为传 递闭包，记为 t ( R ) Th. 对于任意的模糊矩阵 R (rij ) nn ，则
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
则称 R (rij ( )) mn 为R的 截矩阵.
（2）如果令
1, rij , i 1, 2, , m; rij ( ) , 0, rij j 1, 2, , n
则称 R (rij ( )) mn 为R的 强截矩阵. 注：对任意的 0,1 ， 截矩阵都是布尔矩阵.
如果
R
~
的隶属函数为 R：U V 0,1 , ( x, y ) R ( x, y )
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
rij R( xi , x j )(i, j 1,2, , n) ，则称之为相似系数。
下边为确定相似系数 rij 的多种方法：
（1）数量积法. 对于xi {xi1 , xi 2 ,, xim } U ,令 M max( xik x jk ) ，则取
rij 1 M 1, i j x jk , i j
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
验主观的选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量
数据确定其中所包含的参数。
3. 其它方法
实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是很
多的，主要根据问题的实际意义来具体问题具体分析
二. 模糊关系与模糊矩阵
模糊关系：设U，V为论域，则称乘积空间
的一个模糊子集
R F U V） （
~
U V
上
为从U到V的模糊关系。
rij exp{ xik x jk }(i, j ห้องสมุดไป่ตู้ 1, 2, , n)
m k 1
则 R (r ) ij nm
（3）海明距离法. 令
rij 1 H d ( xi , x j ), m d ( x , x ) xik x jk i j k 1
（3）向量表示法：
A ( A ( x1 )， A ( x2 )， ， A ( xn ))
如果U为无限论域，设 A F (U ) ,则
A
U
A ( x)
x
这里“
A ( x) ”不是积分号，“ ”也不是分数。 x
（3）模糊集的运算
模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规 律。 设模糊集 A, B F (U ) ，其隶属函数为 A ( x), B.( x) （1）若对任意 x U ，有 B ( x) A ( x) ，则称A包含 B，记 B A （2）若 A B 且 B A ，则称A与B相等，记为B＝ A。 设模糊集 A, B F (U ) ，其隶属函数为 A ( x), B ( x) 则其相应的并、交、补及隶属函数为
1i n
max{xij } min {xij }
1i n 1i n
( j 1,2,, m).
第二步. 建立模糊相似矩阵
设论域U= {x1 , x2 ,, xn }, xi xi1 , xi 2 , , xim (i 1,2,, n)
即数据矩阵为 A ( xij ) nm .如果 xi 与 x j 的相似程度为
则该映射确定了一个模糊集合A，其映射 A 称 为模糊集A 的隶属函数， A ( x) 称为x 对模糊集A 的 隶属度，使 A ( x) 0.5 的点 x 称为模糊集A 的过渡
点，即是模糊性最大的点。
对一个确定的论域U 可以有多个不同的 模糊集合。 模糊幂集：论域U上的模糊集合的全体
(i, j 1,2,, n)
其中H为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2,, n) 的确定常数.则 R (rij )nm （4）欧氏距离法. 令
n 1
A ( xi ) 这里“ ”不是分数，“＋”也不表示求和，只是符号，
xi
xi
x1
x2
xn
它表示点 xi 对模糊集A的隶属度是 A ( xi ) （2）序偶表示法：
A {( x1 , A ( x1 ))，(x2 , A ( x2 ))， ，(xn , A ( xn )） }