《信号检测与估计》复习纲要与复习题参考答案-2012
《信号检测与估计》第九章习题解答
T x 2 (t )dt −2 A
0
Tx(t
0
)sin
(ω
0
t
+θ
)dt
+
A
2
T 0
sin
2
(ω
0
t
+θ
)dt
⎟⎞ ⎠
由于 ∫0Tsin 2 (ω0t
+ θ )dt
=
1 2
∫0T(1 − cos 2(ω0t
+ θ ))dt
=
T 2
，得到
( ) ∫ ∫ f
x A,θ
−1
= Fe N0
T x 2 (t )dt 2 A
ω0
ω0
s(t
)
=
⎪ ⎨
A
⎪
⎪ ⎪⎩
A（1
+
cos
ω0t）
− 2mπ < t ≤ 2mπ
ω0 2mπ
<t
≤
(2ωm0 +1)π
ω0
ω0
试证明时延τ
的无偏估计量的方差为
σ
2 τˆ
≥
3 + 4m
(2E / N0 )ω02
。其中 E 为信号能量。
解：略
9.4 接收信号 x(t) = s(t) + n(t)，s(t)的到达有时延τ ，求时延τ 的无偏估计量τˆ 的最小方差。其中 n(t)
⎤ ⎥⎦
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] = 4
N
2 0
T / 2 ∂s(t −τ )
−T / 2 ∂τ
T /2
E
−T / 2
n(t )n(u )
∂s(u −τ ) dudt
信号检测与估计试题——答案(不完整版)
一、概念：1. 匹配滤波器。
概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。
应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。
在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。
2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。
我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。
《信号检测与估计》第十章习题解答
《信号检测与估计》第十章习题解答10.1 设线性滤波器的输入信号为()()()t n t s t x +=，其中()[]0E =t s ，()[]0E =t n ，并且已知()ττ-e =S R ，()ττ-2e=N R ，()0=τsn R ，求因果连续维纳滤波器的传递函数。
解：连续维纳滤波器与离散维纳滤波器的形式是相同的，即()()()()+⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=s B s P s B s H xs w112opt σ 因此需要求解()t s 的复功率谱和()t x 的时间信号模型。
考虑到信号与噪声不相关，因此观测数据的功率谱就等于信号的复功率谱加上噪声的复功率谱。
对观测数据的复功率谱进行谱分解，就可以得到()t x 的时间信号模型。
()t s 的复功率谱为()()()20s -10s 1-s --121111e e e e s s s d d d s P S −=−++=+==∫∫∫∞−+∞++∞∞−τττττττ ()t n 的复功率谱为()2s -2-44e es d s P N −==∫+∞∞−τττ因此，观测数据的复功率谱为()()()()()()()()()s s s s ss ss s P s P s P N S X −+−++=−+−=+=2211-226441122 取12=w σ()()()()s s ss B +++=2126()()()()()()()()()s s s s s s s s B s P s B s P N xs +=−==1-2-262-2-1-2612--2令()()()s B s P s F xs -=，()τf 是()s F 的拉普拉斯反变换。
要求()τf 是因果的，可将s 平面右半平面的极点扔掉，()()()[]12e 61,e Re e21-s s +=−==∫τττπτs F s ds s F jf C给()τf 取因果，并做拉普拉斯变换，得到()s d s F +⋅+=⋅⋅+=∫∞++11126e e 1260s --τττ()()()()()()())()()122261112626211112opt +++=+×+×+++×=⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=+ss ss s s s B s P s B s H xs wσ10.2 设已知()()()n n n s n x +=，以及()()()z z z G S 4.014.0192.01−−=−，()1=z G N ，()0=z G sn ()n s 和()n n 不相关。
信号检测与估计理论(复习题解)
H1)
s2 1k
s1k s0k
k 1
k 1
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
Var(l |1H1) Var(l | H
)
E
N
k 1
nk
s1k
N k 1
nk
s0k
2
N
2
2
s n
1k
k1
N
s2 0k k 1
信号检测与估计理论
内容提要 例题解答
第1章 信号检测与估计概论 信号的随机性及其统计处理方法。
内容提要
第1章 信号检测与估计概论
略
例题解答
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
一. 离散随机信号
1. 概率密度函数p(x)及特性： 非负,全域积分等于1,落入[a,b]间的概率。
2. 统计平均量：均值,方差。
解：似然函数为
p(x
|
H0
)
1
2
2 n
N
2
exp
N
k 1
( xk
s0k
2
2 n
)2
p(x
|
H1)
1
2
2 n
N
2
exp
N
k 1
(xk s1k
2
2 n
)2
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
其中,观测噪声n服从对称三角分布,如图3.1(a)所示。
若似然比检测门限 1,求最佳判决式,图示判决域,计算P(H1 | H0 )。
《信号检测》12期末试题A4
《信号检测与估计理论》期末试题（2012）注：第四、五、六题中任选2题作答，第七、八题中任选1题作答。
姓名 学号 是否学位课 得分一、 名词解释（每题3分，任选5题作答，共15分）1、Bayes 估计2、似然函数3、虚警概率4、线性最小二乘估计5、匹配滤波6、高斯过程7、克拉美-罗界8、函数的正交级数展开二、填空题（每空2分，共20分）1、在信号检测理论模型中，概率转移机构是将信源输出的假设按一定的 映射到观测空间。
2、信号统计检测的贝叶斯准则就是在假设的 已知，各种代价因子赋定的情况下，使 最小的准则。
3、对于一种假设检验，它的性能主要与 有关。
4、两个联合平稳随机过程()X t 、()Y t 如果相互正交，已知[],[]x y E X E Y μμ==，则它们的互相关函数12(,)XY R t t 为 ，互协方差函数12(,)XY C t t 为 。
5、如果似然比函数()x λ是x 的连续函数，则接收机工作特性有如下共同特点：①接收机工作特性都是 ；②接收机工作特性均位于 之上；③接收机工作特性在某点的斜率等于该点上D P 和F P 所要求的 。
6、如果非随机量θ的估计值ˆθ满足 ，则称ˆθ是θ的无偏估计。
三、简答题（每题5分，共20分，任选4题作答）1、设12,X X 是相互正交的同分布的高斯变量，其均值为μ，方差为2σ，试求12,X X 的相关系数。
2、已知高斯实平稳过程()X t 的均值为x μ，方差为2x σ。
()X t 在任意时刻12,t t 所对应的随机变量为1()X t 、2()X t ，自相关矩阵为12(,)x R t t ，试写出随机变量1()X t 、2()X t 的协方差矩阵。
3、分别简述匹配滤波器和相关器的输入输出关系，并说明它们的相互关系。
4、说明序列检测的概念与特点。
5、说明参量的线性最小均方误差估计的基本思路。
四（15分）、在二元数字通信系统中，假设H 1时，信源输出为常值电压A ，假设H 0时，信源输出为-A ；信号在通信信道传输过程中叠加了高斯噪声()n t ；在接收端对接收信号()x t 进行N 次独立采样，样本为,1,2,,k x k N = ；如果噪声样本k n 是均值为0、方差为2n σ的高斯随机变量。
信号检测与估计理论(复习题解)-精选文档
a ba 0 图 2. 1 (b)
ab y
2 b y x
2 2 y 4 x
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2 . 3 设连续随机信号 x ( t ) a cos( t ), 其振幅 a 和频率 已知 相位 在 [ , ) 范围内均匀分布。分析 该信号的广义平稳 并求其自 差函数 。 解 ： 分析该信号是否满足广 义平稳的条件。 信号的均值 ( t ) E a cos( t ) a cos( t ) p ( ) d x
2 1 ( y b ) / 2 1 x p ( y ) exp 2 2 2 2 2 x x 1 2
2 1 y ( 2 b ) x exp 2 2 8 8 x x 1 2
二. 离散随机信号矢量
1. 概率密度函数描述 。 2. 统计平均量：均值矢量 , 协方差, 协方差矩阵。 3. 各分量之间的互不相关 性和相互统计独立性及 关系。 4. 高斯离散随机信号矢量 的概率密度函数及特 点： x ~ N ( μ , C ), 互不相关等价于相互统 计独立 , 独立同分布 x x
E ( x b ) b
y
2 y
2 2 22 E ( y b ) E ( x b b ) E ( x 0 ) a / 6
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
当 a b 2 a 时, p ( y ) 的函数曲线如图 2 . 1 (b)所示 。 p ( x) p( y ) 1/ a 1/ a
第 1章
信号检测与估计概论
《信号检测与估计》第十二章习题解答
《信号检测与估计》第十二章习题解答12.1 采用下式给出的有偏自相关函数的定义，并加窗，得到BT 谱估计器：()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−=−+=+=∑∗1,,2,11ˆ1,,1,01ˆL L N N m m R N m m n x n x N m R X X ()⎪⎩⎪⎨⎧−≤=其它011N m m W N()()()()∑−−−=−⋅⋅=11e ˆˆN N m m j X N X m R m W G ωω证明该BT 估计器与周期图相同。
解：()()()()()()()()()()()()()()()()()211111111e 1e e 1e e 1e 1e ˆˆωωωωωωωωj N N m n m j nj N N m nj n m j N N m m j N N N m m j X N XX N m n x n x N m n x n x N m n x n x N m W m R m W G =⋅+⋅⋅=⋅⋅+=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=⋅⋅=∑∑∑∑∑∑∑−−−=+−−∗−−−=−+−∗−−−=−∗−−−=− 12.2 设自相关函数()3,2,1,0,==m m R m X ρ。
试用Levinson-Durbin 递推法求解AR （3）模型参量。
解： ()()ρ−=−=0111X X R R a 110=a()()221121101ρσ−=⋅−=X R a ()()012211122=+−=σX X R a R a ρ−=⋅+=11221121a a a a ()2212222211ρσσ−=⋅−=a因此模型为一阶 ()()[]()012322222133=⋅+−=σX X X R a R a R a021332232=⋅+=a a a aρ−=⋅+=22332131a a a a()2222332311ρσσ−=⋅−=a 所以模型为()()()n w n x n x +−=1ρ12.3 设5=N 的数据记录为：10=x ，21=x ,32=x ,43=x ,54=x ，AR 模型的阶数3=p 试用Levinson-Durbin 递推法求模型参量。
《信号检测与估计》第四章习题解答
(3sinω0T
−
2sin3ω0T
)
则判决规则变为
H1
I
> <
β
H0
两种错误判决的概率分别为
+∞
∫ P(D1 | H0 ) = β f (I | H0 )dI
《信号检测与估计》习题解答
β
∫ P(D0 | H1) = −∞ f (I | H1)dI
平均错误概率 Pe 为
∫ ∫ Pe
= P(H0 )P(D1 | H0 ) + P(H1)P(D0
T 0
[x(t
)−
B
cos(ω2t
+φ
)]2
dt
《信号检测与估计》习题解答
( ) ( ) ( ) f xH0 =
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
s
0
(t
)]2
dt
=
2π σ k
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
A
cos
ω1t
−
B
cos(ω
2
t
+φ
)]2
dt
2π σ k
根据最小差错概率准则有
0 N0
T 2 s2(τ )dτ = 2a2T
0 N0
N0
输出信号
xo (T
)
=
T
∫0
h(t )x(T
−
t )dt
=
∫Ts(T 0
− t)x(T
−
t )dt
=
T
∫0
2 N0
s(τ
)x(τ
《信号检测与估计》复习纲要与复习题参考答案-2012
x[n] A cos 2 f 0 n ~ N (0, 2 )
那么
N 1 n 0
P( X ; A)
1 2 exp 2 x[n] A cos 2 f 0 n 2 2 2 1 1 exp 2 2
是 LMMSE 估计量
是
MVU 估计量
否 线性信号
是 LSE 计算后验PDF均值
是 MVU 使之无偏 估计量 否 MLE
是 否
否 是 使后验PDF最大 否 MAP 估计量
前二阶噪声矩已知 是 BLUE
矩估计量
经典方法
贝叶斯方法
如何选择一个检测器－二元信号检测
先验已知 P(H0)，P(H1) 是 代价已知 Cij 是 C00＝C11=0 C01＝C10=0 否 数据PDF已知 是 否 指定先验PDF 是 否 否 否 选择NP准则 数据PDF已知 否 指定先验PDF 否
估计量选择的决策过程估计量选择的决策过程是一个多维问题信号处理信号处理问题问题先验知识先验知识新的数据模型或取更多的数据pdf已知前二阶矩已知计算后验pdf均值使后验pdf最大是是是是是是是否否否否否否是pdf已知满足crlb完备充分统计量存在计算mle计算矩法估计量使之无偏噪声中的信号线性信号前二阶噪声矩已知是是是是是是是是否否否否否否否否lmmse估计量否mmse估计量map估计量mvu估计量mvu估计量mle矩估计量lseblue否否经典方法经典方法贝叶斯方法贝叶斯方法如何选择一个检测器二元信号检测如何选择一个检测器二元信号检测ml2先验已知ph0ph1选择np准则代价已知cijc00c110c01c100ph0ph1数据pdf已知数据pdf已知指定先验pdf数据pdf已知指定先验pdf指定先验pdf否是否否否否否否否否否是是是是是是是是是贝叶斯风险3map2尝试np准则或其它方法数据pdf已知线性信号模型指定先验pdf只有未知信号线性信号模型是是是是是否否否否否lrt16lrt1lrt7lrt7lrt20信号参数未知噪声参数未知信号和噪声参数未知高斯噪声线性信号模型噪声iid线性信号模型高斯噪声白高斯噪声线性信号模型线性信号模型是是是是是是是是是是否否否否否否glrt17glrt811rao1013lmp14rao21glrt811rao1013lmp14glrt6glrt11rao13glrt18glrt11rao13rao19glrt11rao13二元假设检验的最佳贝叶斯方法二元假设检验的最佳贝叶斯方法二元假设检验的最佳二元假设检验的最佳neymanpearson方法方法复合二元假设检验的准最佳方法复合二元假设检验的准最佳方法如何选择一个检测器如何选择一个检测器多注
《信号检测与估计》第二章习题解答
E[x]
=
0
，
R(t, t
+τ
)
=
R(τ
)
=
a2 2
cos ω0τ
即数学期望与时间无关，自相关函数仅与时间间隔有关，故 X (t) 为广义平稳随机过程
2.7 设有状态连续，时间离散的随机过程 X (t) = sin(2πAt)，式中， t 只能取正整数，即 t = 1,2,3,L ，
A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，试讨论 X (t)的平稳性。
cos
t2
+
1 9
sin
t2
cos t1
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+
1 9
cos t2
+
1 9
cos(t1
-
t2
)+
1 9
sin(t1
+
t2
)
2.4 随机过程 X (t)为 X (t) = A cosω0t + B sin ω0t
[ ] [ ] 式中，ω0 是常数，A 和 B 是两个相互独立的高斯随机变量，而且 E[A] = E[B] = 0 ，E A2 = E B2 = σ 2 。
1 ↔ e−aτ u(τ )
jω + a
所以
RX (τ ) = ⎜⎜⎝⎛
1 e− 3
3τ −
1e 3
3τ + 1 e− 22
2τ − 1 e 22
2τ ⎟⎟⎠⎞u(τ )
平均功率
信号检测与估计理论
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
信号检测和估计—原理和其应用
信号检测和估计—原理和其应用信号检测与估计考试题库考试内容：1.随机信号分析平稳随机信号与非平稳随机信号，随机信号的数字特征，平稳随机过程，复随机过程，随机信号通过线性系统。
2.信号检测信号检测的基本概念，确知信号的检测（包括匹配滤波原理、高斯白噪声中已知信号检测、简单二元检测）3.信号估计信号参数（包括贝叶斯估计、最大似然估计、线性均方估计和最小二乘估计），信号波形估计（主要指卡尔曼滤波）。
一、填空（1x15=15）1.可以逐一列举的随机变量称为（离散型随机变量）随机变量；可能的取值占满一个连续区间的随机变量称为（连续型随机变量）随机变量。
（P3）2.服从正态分布的调幅噪声经过包络检波之后服从（瑞丽分布）分布。
（P5）3.（方差）就是描述随机变量的在其均值周围发散程度的度量。
（P6）4.全体观测结果构成的函数族称为（随机过程）。
（P9）5.一维分布函数只能反映随机过程在某一时刻的统计规律，随机过程在不同时刻的相互联系需要用（多位分布函数）来描述。
6.有一类随机过程的统计特征（不随时间变化），称为平稳随机过程。
（P12）7.线性时不变（LTI）系统的特性在时域用冲击响应（h(t)）来描述，在频域用频率响应函数（H(W)）来描述。
（P15）8.高斯分布的随机过程通过LTI系统后是（高斯过程）过程。
(P16)9.高斯过程是随机过程的概率密度函数为__________，白噪声是指具有均匀（功率谱密度恒为常数）的随机信号。
（P17）10.在信号传输和处理过程中，经常会受到各种干扰，使信号产生失真或受到污染，这些干扰信号通常称为（噪声）。
（P18）11.白噪声的均值为（零）。
（P18）12.功率谱密度恒为常数的随机信号称为（白噪声）。
（P18）13.限带白噪声的相关函数比理想白噪声的相关函数宽，（既噪声的相关时间加长）。
（P20）14.在雷达系统中要根据观测（回波信号）来判断目标是否存在。
（P49）15.为了寻找未知先验概率情况下的最佳判决准则，首先研究（风险）与先验概率之间的关系。
《信号检测与估计》总复习
《信号检测与估计》总复习2005.4第一章 绪 论本章提要本章简要介绍了信号检测与估计理论的地位作用、研究对象和发展历程，以及本课程的性能和主要内容等。
第二章 随机信号及其统计描述 本章提要本章简要阐述了随机过程的基本概念、统计描述方法，介绍了高斯噪声和白噪声及其统计特性。
本章小结（1）概率分布函数是描述随机过程统计特性的一个重要参数，既适用于离散随机过程，也适用于连续随机过程。
一维概率分布函数具有如下性质1),(0≤≤t x F X[]0)(),(=-∞<=-∞t X P t F X ；[]1)(),(=+∞<=+∞t X P t F X ；),(),())((1221t x F t x F x t X x P X X -=<≤；若21x x <，则),(),(12t x F t x F X X ≥概率密度函数可以直接给出随机变量取各个可能值的概率大小，仅适用于连续随机变量。
一维概率密度具有如下性质：0),(≥t x f X ；1),(=⎰+∞∞-dx t x f X ；x d t x f t x F x X X ''=⎰∞-),(),(；[]⎰=-=<≤21),(),(),()(1221x x X X X dxt x f t x F t x F x t X x P（2）随机过程的数字特征主要包括数学期望、方差、自相关函数、协方差函数和功率谱密度。
分别描述了随机过程样本函数围绕的中心，偏离中心的程度、样本波形两个不同时刻的相关程度、样本波形起伏量在两个不同时刻的相关程度和平均功率在不同频率上的分布情况。
定义公式分别为：[]dxt x xf t X E t m X X ⎰+∞∞-==),()()([]{}[]dx t x f t m x t m t X E t X X X X ⎰+∞∞--=-=),()()()()(222σ[]212121212121),,,()()(),(dx dx t t x x f x x t X t X E t t R X X ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==[][]{}[][]2121212211221121),,,()()()()()()(),(dx dx t t x x f t m x t m xt m t X t m t X E t t C X X X X X X ⎰⎰∞+∞-∞+∞---=--=。
信号检测与估计复习纲要与习题参考答案_2012
2011《信号检测与估计》复习纲要“信号检测与估计”理论是现代信息科学的一个重要组成部分，它是把所要处理的问题，归纳为一定的“数学模型”→运用“概率论”、“随机过程”、“数理统计”等数学工具→以普遍化的形式提出，以寻求普遍化的答案和结论，并且理论与工程实践相结合，以雷达系统、通信系统、声纳系统为主要研究对象，主要内容包括：● 随机信号与噪声理论(The Theory of Random Signals and Noise)——分析随机信号与噪声的数学工具● 统计判决（检测）理论(Statistical Decision Theory)——研究在噪声干扰背景中，所关心的信号是属于哪种状态的最佳判决问题(Detection of Signals in Noise)● 参量估计理论(Estimation Theory of Signal Parameters)——研究在噪声干扰背景中，通过对信号的观测，如何构造待估计参数的最佳估计量问题(Estimation of Signal Parameters)● 滤波理论(Filtering Theory)——为了改善信号质量，研究在噪声干扰中所感兴趣信号波形的最佳恢复问题，或离散状态下表征信号在各离散时刻状态的最佳动态估计问题(Estimation of Signal Waveform) 复习重点：信号检测与参量估计 ● 信号检测：根据有限观测，“最佳”区分一个物理系统不同状态的理论 ● 参量估计：根据有限观测，“最佳”找出一个物理系统不同参数的理论如何选择一个估计量&估计量选择的决策过程信号处理否估计量LSE经典方法贝叶斯方法如何选择一个检测器－二元信号检测如何选择一个检测器－多元信号检测*注：ARMA：自回归滑动平均BLUE：最佳线性无偏估计CFAR：恒虚警率CRLB ：Cramer-Rao下限EM：数学期望最大化GLRT：广义似然比检验IID：独立同分布LLR：对数似然比LMMSE：线性最小均方误差LMP：局部最大势LRT：似然比检验LSE：最小二乘估计LSI：线性时不变MAP：最大后验概率MLE：最大似然估计MMSE：最小均方误差估计MVU：最小方差无偏NP：Neyman-Pearson准则PRN：伪随机噪声RBLS：Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe定理ROC:接收机工作特性UMP：一致最大势WGN：白色高斯噪声WSS：广义平稳2011《信号检测与估计》复习参考题参数估计部分：1.基本概念理解：最小方差无偏估计，最佳线性无偏估计，最大似然估计，最小二乘估计，矩方法估计，最小均方误差估计，最大似然估计，线性最小均方误差估计，一般（经典）线性模型和贝叶斯线性模型。
《信号检测与估计》第三章习题解答
( ) f x H0 =
1
− x2
e2
2π
N
∑ 根据定理：当 xi ~ N (0,1) ，且 i = 1,2,L, N 之间相互独立时， x = xi2 服从 χ 2 分布，其概率密 i =1
度函数为
fi(x) =
1
2
i 2
Γ
⎜⎛
i
⎟⎞
i −1 − x
x2 e 2
。得到
⎝2⎠
( ) f
i =1
H1 > <
H0
1 M
ln l0
+1=
β
即判决门限为
β
=
1 M
ln l0
+1
（2）
3.7 在二元假设检验问题中，两假设下的接收信号分别为
H1：x(t ) = r12 + r22 H0：x(t) = r1
其中， r1 和 r2 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为 1。求 Bayes 最佳判决公式。
信号检测与估计第三章习题解答经济法基础第三章习题热学第三章习题答案教育学第三章练习题信号与系统习题解析电磁学习题解答数值分析习题解答控制工程基础习题解答数学模型习题参考解答材料力学习题解答
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第三章习题解答
3.1 在二元数字通信系统中，发送端等概发送 2V 和 0V 的脉冲信号，信道上迭加的噪声服从均值
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
⎡ ⎢1 + ⎣
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
《信号检测与估计》第七章习题解答
《信号检测与估计》第七章习题解答7.1 在二元数字通信系统中，两个假设下的观测波形()t x 分别为L ,2,1,1:1=+=i n x H i iL ,2,1,:0==i n x H i i式中，i n 是均值为零、方差为1的高斯白噪声，要求虚警概率410−=α，漏报概率110−=β，且()()5.010==H P H P 。
求：（1）序贯似然比检测的判决门限及判决规则。
（2）序贯似然比检测的平均观测取样数。
（3）若采用常规的固定样本数的似然比检测，求满足检测性能所要求的取样数。
解：（1）单次观测所得随机变量x 的似然函数为2)1(1221)|(−−=x e H x f π 20221)|(x e H x f −=π得到似然必为2101)()()(−==x e H x f H x f x l对应的对数似然比为21ln )(ln 21−==−x e x l x 假定顺序得到取样，则第N 步的对数似然比为 22121ln )](ln[122)1(1212N x e e l N i i x N x N N N i i N i i −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=∑−∑−−==ππx 两个检测门限值分别为303.21ln ln 0−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=αβl 105.91ln ln 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=αβl 序贯似然比检测的判决规则如下303.221−≤−∑=N xN i i 0H 假设为真 105.921≥−∑=N xN i i1H 假设为真105.92303.21<−<−∑=N x N i i 增加一次观测转入下一检测阶段 []21211]|)21[(|)(ln 11=−=−=H x E H x l E []21210]|)21[(|)(ln 00−=−=−=H x E H x l E （2）将各参数的取值分别代入1H 假设为真时的平均取样数和0H 假设为真时的平均取样数公式得[]93.15|)(ln ln ln )1(]|[1011=+−=H x l E l l H N E ββ []60.4|)(ln ln )1(ln ]|[0010=−+=H x l E l l H N E αα总的平均取样数为265.10]|[)(]|[)(][1100=+=H N E H P H N E H P N E因此取样数为11就可以达到预期的检测性能。
信号检测与估计第一章课后答案
22]exp[22228.8)])R pp101022]p x x H ss 22]1x x s +似然函数为221/22()(|)(2/2)exp[]2/2x k x k m a P m H ps s --= （k=1，0）虚警概率100(|)(|)[]/2x x P D H P m H dm erfc bb s ¥==ò漏报概率0111(|)1(|)1[]/2x x P D H P m H dm erfc bb s ¥-=-=-ò平均风险011001Pr (|)(|)f m R Qr Qc P D H Pc P D H =+=+=1[]{1[]}/2/2f m Qc erfc Pc erfc b b s s -+-其中b 为（1）式确定1.3只用一次观测x 来对下面两个假设作选择，0H ：样本x 为零均值、方差20s 的高斯变量，1H ：样本x 为零均值、方差21s 的高斯变量，且21s >20s 。
根据观测结果x ，确定判决区域0D 和1D 。
画出似然比接收机框图。
1H 为真而选择了0H 的概率如何？ 解：（1）似然函数221(|)exp()2*2k k kx P x H s s p -= （k=1，0） 似然比2100220101(|)111exp[()](|)2P x H x P x H s s s s =-³L 判为1H 化简得2220101221002ln 0x s s sb s s s L³=>- （21s >20s ） 判为1H得 1:||D x b ³ 0:||D x b <0L 根据选取准则而定21exp()2bbbbs s p(2s p12s p 222lns ps=b ||1x b > |1b £则||x—bx ³0 判为1H<0 判为0H1001(|)(|)2P D H P x H dx dx bbbbb a --====òò所以得判决区域为1:||||1D x x a £> 0:||1D x a <£1.7 1.7 根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断1H ：()1()x t n t =+0H ：()()x t n t =设n （t ）为零均值和功率为2s 的高斯过程，且00111001,1c c c c ===。
信号检测估计复习资料
第二章随机信号及其统计描述1.两个随机过程不相关一定独立。
（）2.严格的平稳随机过程不一定是宽平稳随机过程。
（）3.平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换。
（）4.白噪声是一种理想化模型，在实际中是不存在的。
（）5.功率谱密度是样本函数x在单位频带内在1欧姆电阻上的平均功率值。
（）6.加性噪声按功率谱密度分为（）噪声和（）噪声。
7.有色噪声的功率谱密度在频率范围内是均匀分布的。
（）8.对于白噪声下面哪个量是均匀分布的（）。
A.噪声电压B.噪声电流C.噪声功率D.噪声功率谱密度9.在信号检测与估计理论中，通信接收机中的噪声可以近似为平稳随机过程。
（）第三章经典检测理论1.什么是二元检测，其本质是什么？画出其理论模型。
2.二元检测中有两类错误的判决概率，两类正确判决概率。
( )3.下面哪种概率是虚警概率（）。
A．P（D0|H0）B．P（D1|H0）C.P（D1|H1）D. P（D0|H1）4.二元检测中有先验概率和后验概率，P（H0）是（）概率，P（H0|x）是（）概率。
5.下面哪个为后验概率密度函数（）。
A.f(x|H0)B.f(x|H1,a)C.f(a|x)D.f(a)6.经典检测理论中常用的4个检测准则分别为（）、（）、（）和（）。
7.最大后验概率准则和最小错误概率准则判决公式是不同的。
（）8.最大后验概率准则为何称为理想观测者准则？9.极大极小风险准则是在先验概率未知的情况下，使可能出现的最大风险达到极小的判别准则。
（）10.Neyman-Pearson准则规定，在给定( )概率情况下，使得（）概率尽可能大。
11.最大后验估计和最大似然估计的使用条件。
12.下面哪种判决准则是时平均风险最小的准则（）。
A.最大后验概率准则B.最小错误概率准则C.Bayes准则D.Neyman-Pearson准则13.当先验概率未知和代价函数均未知时，使用的判决准则是Neyman-Pearson准则。
信号检测与估计理论 (复习题解)
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
五. 线性时不变系统对平稳连续随机信号的响应
1. 输入平稳连续随机信号x(t),响应y(t)也是平稳的。
2. 响应y(t)均值 y H (0)x，自相关函数ry ( ) h( ) h( ) rx ( )， 功率谱密度Py () | H () |2 Px ()。
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1. 一维雅可比变换,特别是简单线性函数时的变换。 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1. 任意tk时刻采样所得样本x(tk ) (xk；tk )(k 1,2, , N )的概率密度 函数描述。
2. 统计平均量：均值,均方值,方差,自相关函数,协方差函数及关系。
图2.1(a)
图2.1(b)
ab y
例2.2
设x ~
N(x
,
2 x
)。若y
2
x
b,
求p(
y)及
y和
2。
y
解：y
2x
b是线性变换,所以y
~
N(
y
,
2 y
)。
反函数 x ( y b) / 2, 雅可比 J d[(y b) / 2]/ dy 1/ 2。所以
p(
y)
1
2
2 x
1
2
exp
(
y
b) / 2
a x a 其他
(a 0)
如图2.1(a )所示。已知x的均值和方差分别为 x
0,
2 x
a2
/ 6。
设y x b,求p( y)及y的均值和方差；当a b 2a时,画出p( y)的函数
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否
ML（4）
多元假设检验的最佳贝叶斯方法
*注：
ARMA：自回归滑动平均 BLUE：最佳线性无偏估计 CFAR：恒虚警率 CRLB ：Cramer-Rao 下限 EM：数学期望最大化 GLRT：广义似然比检验 IID：独立同分布 LLR：对数似然比 LMMSE：线性最小均方误差 LMP：局部最大势 LRT：似然比检验 LSE：最小二乘估计 LSI：线性时不变 MAP：最大后验概率 MLE：最大似然估计 MMSE：最小均方误差估计 MVU：最小方差无偏 NP：Neyman-Pearson 准则 PRN：伪随机噪声 RBLS：Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe 定理 ROC:接收机工作特性 UMP：一致最大势 WGN：白色高斯噪声 WSS：广义平稳
ˆ2 1 N 1 2 x [ n] N n 0
ˆ 2 的方差，并考察当 N 时会发生什么情况？ 这是无偏估计吗？求
3. 如 果 观 测 到 数 据 x[n] A w[n], n 0,1,, N 1 ， 其 中 噪 声 数 据
w [w[0], w[1],, w[ N 1]]T N (0, C) ，求 A 的 CRLB。有效估计量存在吗？如果
N
充分统计量为
N 1 x[n]cos 2 f 0 n n 0 T ( X ) N 1 x[n]2 n 0
由（1）已经知道 A
x[n]cos 2 f n
n 0 N 1 n0 0
N 1
cos
2
2 f 0 n
并且，
N 1 N 1 2 E ( x[n]2 ) E A cos 2 f 0 n w[n] n 0 n 0
S T C 1 X 1 S T C 1S N
BLUE 为
x[n]
n 0
N 1
在拉普拉斯分布时，BLUE 并不是最小方差估计量。 ｂ）从题目可以知道， x ~ N ( ,1) 。那么该高斯分布的方差为 var( x) 1 。因此
S I,C I
S T C 1 X 1 BLUE 为 T 1 S C S N
如何选择一个估计量&估计量选择的决策过程
信号处理 问题
是 是一个多维问题 否 先验知识 否 是 是 先验知识 否 新的数据模型或取 更多的数据 否 是
PDF已知 是 满足CRLB 否 完备充分统计量 存在 否 计算MLE 否 计算矩法估计量 否 是 是
否
噪声中的信号 是
否 PDF已知
否 前二阶矩已知 否 是 MMSE 估计量
是 LMMSE 估计量
是
MVU 估计量
否 线性信号
是 LSE 计算后验PDF均值
是 MVU 使之无偏 估计量 否 MLE
是 否
否 是 使后验PDF最大 否 MAP 估计量
前二阶噪声矩已知 是 BLUE
矩估计量
经典方法
贝叶斯方法
如何选择一个检测器－二元信号检测
先验已知 P(H0)，P(H1) 是 代价已知 Cij 是 C00＝C11=0 C01＝C10=0 否 数据PDF已知 是 否 指定先验PDF 是 否 否 否 选择NP准则 数据PDF已知 否 指定先验PDF 否
求两种情况下均值 的 BLUE。解释一下 的 MVU 估计。
解 ： a ） 从 题 目 可 以 知 道 ， x ~ Laplace( ,1) 。 那 么 该 拉 普 拉 斯 分 布 的 方 差 为
var( x)
2
2
2 /1 2 。因此 S I , C 2I （S 为比例项，C 为协方差）
2011《信号检测与估计》复习参考题
参数估计部分：
1.基本概念理解：最小方差无偏估计，最佳线性无偏估计，最大似然估计，最小 二乘估计，矩方法估计，最小均方误差估计，最大似然估计，线性最小均方误差 估计，一般（经典）线性模型和贝叶斯线性模型。 2.观测数据为 {x[0], x[1],, x[ N 1]} ，其中 x[n] 是独立同分布的且服从 N (0, 2 ) ， 利用下式估计方差 2 ，即
（1）幅度 A，假定方差已知
N 1 1 N 1 1 N 1 2 exp 2 x[n] exp 2 A2 cos 2 2 f 0 n 2 x[n] A cos 2 f 0 n n 0 n 0 2 2 n 0 h( X ) g (T ( X ), A )
是
是 信号参数未知 否 LRT（1） 否 LRT（7） 是 噪声参数未知 信号和噪声 参数未知
线性信号模型
只有未知信号
是 GLRT（6）
是
是 是 LRT（16） 否 线性信号模型 高斯噪声 否
高斯噪声 GLRT（8，11） 噪声IID 线性信号模型 否 Rao(10,13) LMP(14) 是 Rao（21） 白高斯噪声
充分统计量为
T ( X ) x[n]cos 2 f 0 n
n 0
N 1
又因为
N 1 N 1 E (T ( x)) E ( A cos 2 f 0 n w[n]) cos 2 f 0n A cos 2 2 f 0n n 0 n 0
所以 参数 A 的 MVU 估计量为 A
x[n]
n 0
N 1
高斯分布时，BLUE 和 MVU 等效。
6. 某种电子器件有效工作时间 t 的分布为
e t f (t ) 0 t0 t0
若采集了 N 次实验数据，同一类型电子器件在同样工作条件下所得有效工作时 间分别为 T1 , T2 ,, TN ，求 的最大似然估计。
Rao(19)
是 MAP（2）
是 数据PDF已知 是 否 指定先验PDF 是 否 GLRT（17）
GLRT（11） Rao(13)
是 GLRT（18）
ML（2）
二元假设检验的最佳贝叶斯方法
二元假设检验的最佳Neyman-Pearson方法
复合二元假设检验的准最佳方法
如何选择一个检测器－多元信号检测
2011《信号检测与估计》复习纲要
“信号检测与估计” 理论是现代信息科学的一个重要组成部分， 它是把所要处理的问题， 归纳为一定的“数学模型”→运用“概率论” 、 “随机过程” 、 “数理统计”等数学工具→以普 遍化的形式提出，以寻求普遍化的答案和结论，并且理论与工程实践相结合，以雷达系统、 通信系统、声纳系统为主要研究对象，主要内容包括： 随机信号与噪声理论(The Theory of Random Signals and Noise)——分析随机信号与噪声 的数学工具 统计判决（检测）理论(Statistical Decision Theory)——研究在噪声干扰背景中，所关 心的信号是属于哪种状态的最佳判决问题(Detection of Signals in Noise) 参量估计理论(Estimation Theory of Signal Parameters)——研究在噪声干扰背景中， 通 过 对 信 号 的 观 测 ， 如 何 构 造 待 估 计 参 数 的 最 佳 估 计 量 问 题 (Estimation of Signal Parameters) 滤波理论(Filtering Theory)——为了改善信号质量，研究在噪声干扰中所感兴趣信号波 形的最佳恢复问题，或离散状态下表征信号在各离散时刻状态的最佳动态估计问题 (Estimation of Signal Waveform) 复习重点：信号检测与参量估计 信号检测：根据有限观测， “最佳”区分一个物理系统不同状态的理论 参量估计：根据有限观测， “最佳”找出一个物理系统不同参数的理论
解：从题目可以知道，似然函数为
N
P(T ; ) exp( Tn )
n 1
N exp( Tn )
n 1
N
两边取对数
L(T , ) ln P(T ; ) N ln Tn
n 1
N
求导数
L(T , ) N N Tn 0 n1
x[n]cos 2 f n
n 0 N 1 n0 0
N 1
cos
2
2 f 0 n
（2）幅度 A，噪声方差未知
1 P( X ; A) 2 2
N 1 N 1 1 N 1 2 exp 2 x[n] A2 cos 2 2 f 0 n 2 x[n] A cos 2 f 0 n * 1 n 0 n 0 h( X ) 2 n 0 g (T ( X ), A )
那么 的 MLE 为
N N
1 2 2 1 2 2
1 P( X ; A) 2 2
N
x[n] A cos 2 f n
n 0 0
1 N 1 2 exp 2 x[n] A2 cos 2 2 f 0 n 2 x[n] A cos 2 f 0 n n 0 n 0 2 n 0
5.观测数据样本 {x[0], x[1],, x[ N 1]} 是 IID 的，服从如下分布： (1)拉普拉斯
1 p( x[n]; ) exp[ | x[n] |] 2
(2)高斯
p( x[n], ) 1 1 exp ( x[n] ) 2 2 2
解：由题目可以知道
x[n] A cos 2 f 0 n ~ N (0, 2 )
那么
N 1 n 0
P( X ; A)
1 2 exp 2 x[n] A cos 2 f 0 n 2 2 2 1 1 exp 2 2