2015年步步高二轮复习-专题八 第1讲 函数与方程思想

第1讲函数与方程思想
1．函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．
2．和函数与方程思想密切关联的知识点
(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0
时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.
热点一 函数与方程思想在不等式中的应用
例1 (1)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.
(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是__________． 答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0,3)
解析 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1
x
3.
设g (x )＝3x 2－1
x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4
，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，
因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫
12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，
f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x
3，
设g (x )＝3x 2－1
x 3，且g (x )在区间[－1,0)上单调递增，
因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.
(2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )在R 上为奇函数．
又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 所以x <0时，F (x )为增函数．
因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x >0时，F (x )也是增函数． 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．
所以，由图可知F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．
思维升华 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )>0或f (x )<0恒成立，一般可转化为f (x )min >0或f (x )max <0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．
(1)若2x ＋5y ≤2－
y ＋5－
x ，则有( )
A ．x ＋y ≥0
B ．x ＋y ≤0
C ．x －y ≤0
D ．x －y ≥0
(2)已知函数f (x )＝1
2x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m ≥3
2
B ．m >32
C ．m ≤3
2
D ．m <32
答案 (1)B (2)A
解析 (1)把不等式变形为2x －5－
x ≤2－
y －5y ，构造函数y ＝2x －5－
x ，其为R 上的增函数，所
以有x ≤－y .
(2)因为函数f (x )＝1
2x 4－2x 3＋3m .所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3，经检验
知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －27
2，不等式f (x )＋9≥0恒成
立，即f (x )≥－9恒成立，
所以3m －272≥－9，解得m ≥3
2，故选A.
热点二 函数与方程思想在数列中的应用 例2 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．
(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1
S 2n ，若对任意的n ∈N *，
不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )， 得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)， b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1
S 2n
＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)
＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －1
2n ＋1
＝
1n ＋1－12n ＋1＝n
2n 2＋3n ＋1
＝1
2n ＋1n
＋3
， 令f (x )＝2x ＋1
x
(x ≥1)，
则f ′(x )＝2－1
x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，
所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝1
6
，
要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝1
6，
所以实数k 的最小值为1
6
.
思维升华 (1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；
(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解．
(1)(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6
的值是________．
(2)已知函数f (x )＝(1
3)x ，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为( )
A ．－1
B ．1 C.23
D ．－23
答案 (1)4 (2)D
解析 (1)因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4. (2)由题设，得a 1＝f (1)－c ＝1
3－c ；
a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－2
9；
a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227
. 又数列{a n }是等比数列，
∴(－29)2＝(13－c )×(－2
27)，∴c ＝1.
又∵公比q ＝a 3a 2＝13
，
∴a n ＝－23(13)n －1＝－2(1
3)n ，n ∈N *.
且数列 {a n }是递增数列， ∴n ＝1时，a n 有最小值a 1＝－2
3
.
热点三 函数与方程思想在几何中的应用
例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2
2.直线y ＝k (x －1)与
椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为
10
3
时，求k 的值． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，c a ＝2
2，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得b ＝ 2.
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)，x 24＋y 2
2＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.
设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.
所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2
.
又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离 d ＝
|k |
1＋k 2
， 所以△AMN 的面积为 S ＝1
2|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2
. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝10
3，解得k ＝±1.
所以，k 的值为1或－1.
思维升华 几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．
(1)(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2
＋y 2
b
2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点
F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________． (2)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(2，5)
C ．[2，5]
D ．(3，5)
答案 (1)x 2＋3
2y 2＝1 (2)B
解析 (1)设点B 的坐标为(x 0，y 0)， ∵x 2
＋y 2
b
2＝1，且0<b <1，
∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →
，
∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2
，y 0＝－b 23.
∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b
2
3. 将点B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 2
3代入x 2＋y
2b 2＝1， 得b 2＝2
3
.
∴椭圆E 的方程为x 2＋3
2
y 2＝1.
(2)e 2
＝(c a )2＝a 2＋(a ＋1)2
a 2
＝1＋(1＋1
a
)2， 因为当a >1时，0<1
a <1，所以2<e 2<5，
即2<e < 5.
1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．
2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．
3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．
4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量
.
真题感悟
1．(2014·辽宁)已知a ＝2－13，b ＝log 21
3，c ＝12
1log 3
，则( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．c >a >b
D ．c >b >a
答案 C 解析 0<a ＝1
3
2 <20＝1，b ＝log 21
3
<log 21＝0，
c ＝1
2
1log 3>121
log 2
＝1， 即0<a <1，b <0，c >1，所以c >a >b .
2．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2
＋(y －6)2
＝2和椭圆x 2
10
＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的
最大距离是( ) A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2
答案 D
解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2
＋(y －6)2
＝r 2
(r >0)，与椭圆方程x 2
10
＋y 2＝1联立得方程组，消
掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0. 令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0， 解得r 2＝50， 即r ＝5 2.
由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62， 故选D.
3．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b
x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且
该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．
答案 －3
解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b
x 2，
直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－7
2
.
由题意得⎩⎨⎧
4a ＋b
2＝－5，
4a －b 4＝－7
2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－2，则a ＋b ＝－3.
4．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元) 答案 160
解析 设该长方体容器的长为x m ，则宽为4
x m ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋
2(x ＋4x )×10，即y ＝80＋20(x ＋4x )(x >0)．因为x ＋4x ≥2
x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4
x
，即x ＝2时取“＝”)，
所以y min ＝80＋20×4＝160(元)． 押题精练
1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 f ′(x )>2转化为f ′(x )－2>0，构造函数F (x )＝f (x )－2x ， 得F (x )在R 上是增函数．
又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )>2x ＋4， 即F (x )>4＝F (－1)，所以x >－1.
2．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )
A ．1 B.12 C.52 D.22
答案 D
解析 可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x .
令F (x )＝x 2
－ln x ，F ′(x )＝2x －1x ＝2x 2
－1
x
，
所以当0<x <2
2
时，F ′(x )<0，F (x )单调递减； 当x >
2
2
时，F ′(x )>0，F (x )单调递增， 故当x ＝t ＝
2
2
时，F (x )有最小值，即|MN |达到最小． 3．(2014·辽宁)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－5，－3]
B ．[－6，－9
8]
C ．[－6，－2]
D ．[－4，－3]
答案 C
解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3
≥x 2
－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，所以a ≥
⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3max .
设φ(x )＝x 2－4x －3
x 3
，
所以φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4
＝－(x －9)(x ＋1)
x 4>0， 所以φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6.所以a ≥－6. 当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，所以a ≤⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3
，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)
x 4
. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，φ(x )在[－2，－1)上单调递减， 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0，φ(x )在(－1,0)上单调递增． 所以当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝
1＋4－3
－1
＝－2，所以a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 4．若关于x 的方程(2－2－|x －2|
)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．
答案 [－1,2) 解析 令f (x )＝(2－2
－|x －2|
)2.要使f (x )＝2＋a 有实根，只需2＋a 是f (x )的值域内的值．∵f (x )
的值域为[1,4)，∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.
5．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值． 解 依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ， 整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0，① ∵a ≠0，
函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，
∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1＝(3a －1)·(－a －1)>0， ∴－1<a <1
3且a ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
且x 1<x 2，
由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1
a
.
设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |
2，
∴S ＝1
21＋12|x 1－x 2|·|－a |2＝12－3a 2－2a ＋1
＝12
－3⎝⎛⎭⎫a ＋132＋43.∵－1<a <13且a ≠0，∴当a ＝－13时，S 取得最大值33
. 即△OAB 的面积S 的最大值为
3
3
.
6.如图，已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2
a 2－1＝1(a >1)，⊙M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，P 为椭
圆G 上一点，过P 作⊙M 的两条切线PE 、PF ，E 、F 分别为切点． (1)求t ＝|PM →
|的取值范围；
(2)把PE →·PF →表示成t 的函数f (t )，并求出f (t )的最大值、最小值．
解 (1)设P (x 0，y 0)，则x 2
0a 2＋y 20a 2－1
＝1(a >1)，∴y 20＝(a 2－1)⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2， ∴t 2
＝|PM →|2＝(x 0＋1)2＋y 20＝(x 0＋1)2＋(a 2－1)⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2＝⎝⎛⎭
⎫1a x 0＋a 2， ∴t ＝⎪⎪⎪⎪1a x 0＋a .
∵－a ≤x 0≤a ，∴a －1≤t ≤a ＋1(a >1)．
(2)∵PE →·PF →＝|PE →||PF →|cos ∠EPF ＝|PE →
|2(2cos 2∠EPM －1) ＝(|PM →|2－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(|PM →|2－1)|PM |2
－1 ＝(t 2
－1)⎣⎡⎦⎤2(t 2
－1)t 2－1＝t 2＋2
t 2－3，
∴f (t )＝t 2＋2
t
2－3(a －1≤t ≤a ＋1)．
对于函数f (t )＝t 2＋2t
2－3(t >0)，显然在t ∈(0，4
2]时，f (t )单调递减，
在t ∈[4
2，＋∞)时，f (t )单调递增．∴对于函数f (t )＝t 2＋2t
2－3(a －1≤t ≤a ＋1)，
当a>4
2＋1，即a－1>
4
2时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋
2
(a＋1)2
，
[f(t)]min＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2
(a－1)2
；
当1＋2≤a≤4
2＋1时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋
2
(a＋1)2
，
[f(t)]min＝f(4
2)＝22－3；
当1<a< 1＋2时，[f(t)]max＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2
(a－1)2
，
[f(t)]min＝f(4
2)＝22－3.。