数理方程第三章(1)

为正、为零或者为负而确定的。 或者为负而确定的。 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、抛物 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、 型或椭圆型的， 型或椭圆型的，那么就称方程在这个区域内是双 曲型、抛物型或椭圆型。 曲型、抛物型或椭圆型。
双曲型方程 注2：行波法适用于双曲型方程。 ：行波法适用于双曲型方程。
x = x1 + at
B
x1
x = x2 − at x2 x
B = {( x, t ) | x1 + at ≤ x ≤ x2 − at , t ≥ 0}
决定区域。 称三角区域 B 为区间 [ x1 , x2 ] 的决定区域
进一步的分析其物理意义表明, 进一步的分析其物理意义表明, 在 xot 平面上
x1 − at ≤ x ≤ x2 + at
称区域
(t > 0).
A = {( x, t ) | x1 − at ≤ x ≤ x2 + at , t > 0}
t
为区间 [ x1 , x2 ] 的影响区域。 影响区域
x = x1 − at
x = x2 + at
A
x1
x2
x
(3) 决定区域
t
考虑区间 [ x1 , x2 ],
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = 2 +2 + 2, ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3.1.4)
同理可得
∂u2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 = a ( 2 −2 + 2) 2 ∂t ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3.1.5)
将 (3.1.4), (3.1.5) 代入到 (3.1.1), 可以得到
∂ 2u = 0. ∂ ξ∂ η
连续积分两次得
u ( ξ ,η ) == f1 ( ξ ) + f2 (η ) ,
其中 f1 , f 2 是任意二次连续可微函数，即有 是任意二次连续可微函数，
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f2 ( x − at ) .
注： u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f2 ( x − at ) 是方程
x 1 1 C f1 ( x ) = ϕ ( x ) + ∫ ψ (ξ ) dξ + 2 2 2a 0 x f x = 1 ϕ x − 1 ψ ξ dξ − C 2 ( ) 2 ( ) 2a ∫ ( ) 2 0
x
由此即得原定解问题的解: 由此即得原定解问题的解:
1 1 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫atψ (ξ ) dξ 2 2a x −
2
解：特征方程为
( dy )
2
+ 2sin xdxdy − cos x ( dx ) = 0
2 2
dy dy ⇒ + (1 + sin x ) − (1 − sin x ) = 0 dx dx
y = x + cos x + C1 , 积分曲线为 y = − x + cos x + C2 .
是任意二次连续可微函数， 其中 f1 , f 2 是任意二次连续可微函数，即有
u ( x, t ) = f1 ( 3 x − y ) + f2 ( x + y ) .
u | y =0 = 3 x 2 , u y | y = 0 = 0, 把这个函数代入到条件
f1 ( 3 x ) + f 2 ( x ) = 3 x 2 − f '1 ( 3 x ) + f '2 ( x ) = 0
(3.1.2) 问题) 初值问题 (Cauchy问题 问题
的通解, 我们可以求出方程 (3.1.1) 的通解,考虑变量代换
ξ = x + at , η = x − at.
利用复合函数求导法则得
(3.1.3)
为什么？ 为什么？
∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u = + = + ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂ x ∂ξ ∂ η ∂ 2u ∂ ∂u ∂u ∂ξ ∂ ∂u ∂u ∂η = 2 ∂ξ + ∂η ∂x + ∂η ∂ξ + ∂η ∂x ∂ξ ∂x
O
x-at
x+at
（2）影响区域 由左、右行波叠加而得。 u( x , t ) 由左、右行波叠加而得 [ x1 , x2 ]上的初 始振动，在 时刻， 始振动 在 t 时刻，右行波传到 [ x1 + at , x2 + at ], 左行波传到 [ x1 − at , x2 − at ], 初始振动传播的范围是
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
初始位移 ϕ ( x )， 初始速度 ψ (x ) 的无界弦的自由 振动
utt − a 2 uxx = 0 ( −∞ < x < +∞ , t > 0) (3.1.1) (3.1.1) u t = 0 = ϕ ( x ), ut t = 0 = ψ ( x ), ( −∞ < x < +∞ )
1 − f1 ( 3 x ) + f 2 ( x ) = C 3
9 2 f1 ( 3 x ) = 4 x − C ' f ( x ) = 3 x2 + C ' 2 4
1 2 f1 ( x ) = 4 x − C ' f ( x ) = 3 x2 + C ' 2 4
第三章 行波法与积分变换法
求解偏微分方程时 求解偏微分方程时，一般不能先求出方程 偏微分方程 通解,然后根据给定的条件确定特解 特解。 的通解,然后根据给定的条件确定特解。 但在少数情况下，可以求出方程的通解 但在少数情况下， 含有任意函数的解）， ），并可由给定条件 （含有任意函数的解），并可由给定条件 求出特解。 求出特解。
x + at
（1）依赖区间 1 依赖区间是讨论时空平面上任一点 ( x, t ) 的 将依赖于哪些点的初值的问题。 u ( x, t ) 将依赖于哪些点的初值的问题。 由 D’Alembert 公式
u ( x, t ) =
ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at )
2
1 x + at + ∫x−at ψ (ξ )dξ 2a
代入到 u ( x, t ) = f1 ( 3 x − y ) + f2 ( x + y ) , 得原问题的解为： 得原问题的解为：
1 3 2 2 2 2 u( x, y) = ( 3x − y) + ( x + y) = 3x + y 4 4
例 求下面方程的通解
u xx − 2 sin xu xy − cos xu yy = 0.
注1：容易看出,一维波动方程的两族特征线 容易看出,
x ± at = 常数
的解。 恰好是常微分方程 ( dx ) − a ( dt ) = 0 的解。
2 2 2
这个常微分方程称为波动方程
utt = a2uxx (−∞ < x < ∞, t > 0)
的特征方程。 特征方程。
定义： 定义：二阶线性偏微分方程
无限长弦自由振动的达朗贝尔( 公式. 无限长弦自由振动的达朗贝尔(D’Alembert)公式. 达朗贝尔 公式
= f1 ( x + at ) + f2 ( x − at ) ,
首先考虑 u2 = f 2 ( x − at ) , 假定 f 2 ( x ) 的图形已经 u 给定，那么， 的推移， 给定，那么，随着时间 t 的推移， 2 = f 2 ( x − at ) 轴正方向平行移动, 平行移动 的图形以速度 a 向 x 轴正方向平行移动 故称齐次 的解为右行波 右行波。 波动方程形如 u2 = f 2 ( x − at ) 的解为右行波。 同理, 表示一个以速度a 同理, u1 = f1 ( x + at ) 表示一个以速度 向 x 轴负 且传播过程中，波形也不变化。 方向传播的行波 ，且传播过程中，波形也不变化。 称为左行波 左行波。 称为左行波。
u |t =0 = f1 ( x ) + f2 ( x ) = ϕ ( x ) 积分， 两端对 x 积分， ut |t =0 = af '1 ( x ) − af '2 ( x ) = ψ ( x ) 可得
1 f1 ( x ) − f 2 ( x ) = ∫ ψ ( ξ ) d ξ + C a0
Auxx + 2Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G, (*)
的特征方程为
A ( dy ) − 2Bdxdy + C ( dx ) = 0
2 2
这个常微分方程的积分曲线(解)称为偏微分 这个常微分方程的积分曲线( (*)的特征曲线. 方程 (*)的特征曲线.
回忆： 回忆：两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类
utt = a2uxx (−∞ < x < ∞, t > 0)
的通解, 它包含两个任意函数。 的通解, 它包含两个任意函数。 对无限长的自由振动, 如果初始状态满足条件 对无限长的自由振动 (3.1.2), 则
u |t = 0 = f1 ( x ) + f 2 ( x ) = ϕ ( x ) ut |t = 0 = af '1 ( x ) − af '2 ( x ) = ψ ( x )
1 斜率为 ± 的两族直线 x ± at = 常 数 a
对一维波动方程研究起重要作用， 对一维波动方程研究起重要作用，称这两族直线 为一维波动方程的特征线。波动沿特征线传播。 为一维波动方程的特征线。波动沿特征线传播。 特征线 自变量变换
ξ = x + at , η = x − at
称为特征变换,行波法也叫特征线法。 称为特征变换,行波法也叫特征线法。 特征变换 特征线法
2
− 2dxdy − 3 ( dx ) = 0
2
或者
dy dy dx − 2 dx − 3 = 0.
2
3x − y = C1 它的两族积分曲线为 x + y = C2
3x 做特征变换 ξ = 3x − y
, η = x + y
∂ 2u 容易验证， 容易验证，经过变换原方程化成 = 0. ∂ξ∂η 它的通解为 u = f1 ( ξ ) + f 2 (η )
B 2 − AC > 0 ⇒ 每点有两条相异的实特征线。
求下面问题的解: 例 求下面问题的解:
uxx + 2uxy − 3u yy = 0 u | y =0 = 3 x 2 , u y | y =0 = 0
解 先确定所给方程的特征曲线。 先确定所给方程的特征曲线。特征方程为
( dy )
Auxx + 2Buxy + Cu yy + Dux + Eu y + Fu = G,
称为是双曲型 抛物型或 双曲型、 一个方程在点 ( x0 , y0 ) 称为是双曲型、抛物型或椭 圆型的， 圆型的， 是根据式子
B 2 ( x 0 , y0 ) − A ( x 0 , y 0 ) C ( x 0 , y 0 )
上的初值， u ( x, t ) 仅依赖于 [ x − at , x + at ] 上的初值，称 依赖区间。 区间 [ x − at , x + at ] 为点 ( x, t ) 的依赖区间。
t
(x,t)
依赖区间
过 ( x , t ) 点，两条斜率分别为 1 ± 的 直 线 在 x轴 上 截 得 的 区 间 x a
所以, 所以, 令
ξ = y − x − cos x, η = y + x − cos x.
经过变换原方程化成
从而
∂ 2u = 0. ∂ξ∂η
u ( x, y ) = f1 ( y − x − cos x) + f 2 ( y + x − cos x)
为原问题的通解， 为原问题的通解，其中 f1, f2 是任意二次连续 可微函数。 可微函数。
1 1 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫atψ (ξ ) dξ 2 2a x −
达朗贝尔公式表明, 达朗贝尔公式表明, 弦上的任意振动总是以行 波形式分别向两个方向传播出去, 波形式分别向两个方向传播出去, 其传播速度 恰好是常数 ，因而这个方法称为行波法 行波法。 恰好是常数 a，因而这个方法称为行波法。 下面进一步分析达朗贝尔公式的物理意义。 下面进一步分析达朗贝尔公式的物理意义。