2020年中考数学培优复习- 动点问题中的函数图象及规律探索问题(原卷版)
2020中考复习专题：简单动点问题的函数图像真题解析
2020中考复习：简单动点问题的函数图像1.(2014徐州18题3分)如图①，在正方形ABCD 中，点P 沿边DA 从点D 开始向点A 以1 cm/s 速度移动；同时点Q 沿边AB ，BC 从点A 开始向点C 以2 cm/s 的速度移动，当点P 移动到点A 时，P ，Q 同时停止移动，设点P 出发x s 时，△PAQ 的面积为y cm2，y 与x 的函数图象如图②所示，则线段EF 所在直线对应的函数关系式为____________．2.(2019甘肃省卷)如图①，在矩形ABCD 中，AB<AD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿AB →BC →CD 向点D 运动，设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AD 边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 如图①，点P 从△ABC 的顶点A 出发，沿A －B －C 方向匀速运动，到达点C 时停止运动．设点P 的运动时间为x ，线段AP 的长度为y ，y 与x 的函数图象如图②所示，其中D 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积为________．【思维教练】当P 点在AB 上时，AP 长度逐渐增大，结合图象可得AB ＝________，当P 点从B 到C 运动时，AP 长度先逐渐减小，当AP________BC 时，AP 最短，而后AP 逐渐增大，则从图象可得△ABC 为________三角形，则即可通过三线合一求得△ABC 的面积．4. (2018河南)如图①，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →D →B 以1 cm/s 的速度匀速运动到点B.图②是点F 运动时，△FBC 的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则a 的值为( )A. 5B. 2C. 25 D. 25. (2018乌鲁木齐改编)如图①，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止；点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，速度均为每秒1个单位长度．若点P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t ，△BPQ 的面积为y ，已知y 与t 的函数图象如图②所示，当0≤t ≤10时，y 与t 的函数关系式为________________．6.(2019云龙区二模)如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，BC＝2 cm，∠A＝30°，四边形DEFG为矩形，DE＝2 3 cm，EF＝6 cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合，Rt△ABC以每秒1 cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止.设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为y cm2，运动时间为x s.能反映y cm2与x s之间的函数关系的大致图象是()7.(2019乐山)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，直线l⊥A B.当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F.设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x 的函数关系如图②所示，则四边形ABCD的周长是.。
2020年中考数学压轴题冲刺提升 专题01 动点与函数图象(解析版)
专题01 动点与函数图象【例1】（2019·郑州外国语测试）如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图象为（）A B C D【答案】D.【解析】解：由题意知，AD=DE=CE=BC=4，AE，△△AED=△BEC=45°，△△MEN=90°，又△EN=t，EM－t，△S=12EM EN ⋅⋅=()12t t ⋅⋅=(2142t -⋅-+，（0≤t ）图象为抛物线，开口朝下，当x 时，S 取最大值， 故答案为D .【变式1-1】（2019·洛阳二模）如图，点 P 是边长为 2 cm 的正方形 ABCD 的边上一动点，O 是对角线的交点，当点 P 由 A →D →C 运动时，设 DP =x cm ，则△POD 的面积 y （cm 2） 随 x （cm ）变化的关系图象为（ ）A BC D 【答案】B .【解析】解：当P 点在AD 上运动时，0<x ≤2时， y =12·PD ×1=12x ， 当P 点在DC 上运动时，0<x ≤2， y =12·PD ×1=12x ， 故答案为：B .【变式1-2】（2019·叶县一模）如图，在△ABC 中，△ABC ＝60°，△C ＝45°，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE △BC ，BD ＝DE ＝2，CE ＝52，BC ＝245．动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿B →D →E →C 匀速运动，运动到点C 时停止．过点P 作PQ △BC 于点Q ，设△BPQ 的面积为S ，点P 的运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D .【解析】解：△PQ △BQ △S △BPQ ＝12PQ •BQ ①当点P 在BD 上（即0s ≤t ≤2s ）BP ＝t ，BQ ＝PQ •cos 60°＝12t ，PQ ＝BP •sin 60°tS △BPQ ＝12PQ •BQ＝12•12t tt 2 该图象是关于t 的二次函数，其图象为一段开口朝上的抛物线； ②当P 在DE 上时（即2s ＜t ≤4s ）PQ ＝BD •sin 60°BQ ＝BD •cos 60°+（t ﹣2）＝t ﹣1S △BPQ ＝12PQ •BQ＝12（t ﹣1）＝2t ﹣2， 该图象为一条线段，由左向右上升； ③当P 在DE 上时（即4s ＜t ≤132s ）PQ ＝PC •sin 45°＝4﹣2t ，BQ ＝BC ﹣CQ ＝245－4+2tS △BPQ ＝12PQ •BQ =12t ）（245t ）通过计算可知，此时函数解析式为二次函数，且二次项系数为：14<0，即该段图象为一段开口朝下的抛物线；综上所述，答案为D .【例2】（2019·省实验一模）如图，正方形ABCD ，对角线AC 和BD 交于点E ，点F 是BC 边上一动点（不与点B ，C 重合），过点E 作EF 的垂线交CD 于点G ，连接FG 交EC 于点H ．设BF ＝x ，CH ＝y ，则y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A .【解析】解：△四边形ABCD 是正方形， △△EBF ＝△ECG ＝45°，AC △BD ，EB ＝EC ， △EF △EG ，△△BEC ＝△FEG ＝90°， △△BEF ＝△CEG ， △△BEF △△CEG ， △EF ＝EG ， △△EFG ＝45°， △△CFH ＝△BEF ， △△BEF △△CFH ， △BE BECH CF=， △x y =，△y ＝﹣x 2x （0＜x ）， 图象为一段开口朝下的抛物线， 即答案为：A ．【变式2-1】（2019·名校模考）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF △BC 于F ．设AE ＝x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE 【答案】D ．【解析】解：A 、由图1可知，若线段BE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而BA ＜BC ，选项A 错误；B、由图1可知，若线段EF是y，则y随x的增大而减小，选项B错误；C、由图1可知，若线段CE是y，则y随x的增大而减小，选项C错误；D、由图1可知，若线段DE是y，则y随x的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A的距离是DA，在点C时的距离是DC，DA＞DC，选项D正确；故答案为：D．【变式2-2】（2018·洛宁县模拟）如图1，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点，且△APD=60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，图1中某线段的长度为y，y与x的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（）图1 图2A．线段AD B．线段AP C．线段PD D．线段CD【答案】A.【解析】解：△△APD=60°，△ABC是等边三角形，△△B=△C=60°，△△APB+△CPD=120°，△PDC+△CPD=120°，△△APB=△PDC，△△ABP△△PCD，△AB BP CP CD=,即：44xx CD=-，△CD=()45x x-，当x=0时，CD=0，不符题意；△AD=4－CD=4－()45x x-=()2116255x-+，符合题意，即答案为：A.【例3】（2019·周口二模）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2 cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则CDBE的值为（）ABCD图1 图2【答案】D.【解析】解：由图象可知，t=8时，P点与E点重合；t=10时，P与D点重合，△P点的运动速度为2cm/s，△DE=4，BE=16，S△BCE=12·BC·CD=8 CD，即8 CD，即CD，△CDBE,故答案为：D.【变式3-1】（2019·枫杨外国语三模）如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB﹣BC匀速运动到点C停止．在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图 2 所示，其中点Q为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是，则a的值为图1 图2【答案】【解析】解：由图可知，Q点对应的是AK△BC的位置，即△ABC边BC上的高为5，由△ABC的面积是BC=，图1图2由抛物线的两端纵坐标相等，即对应的AK 的长度相等，说明AB =AC ，由勾股定理得：AB =即a =故答案为：【变式3-2】（2019·中原名校大联考）如图1，在矩形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 方向运动，当点M 到达点C 时停止运动，过点M 作MN △AM 交CD 于点N ，设点M 的运动路程为x ，CN ＝y ，图2表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．20B ．18C ．10D ．9【答案】A ．【解析】解:由图2知：AB +BC ＝9，设AB ＝m ，则BC ＝9﹣m ， 如图所示，当点M 在BC 上时，则AB ＝m ，BM ＝x ﹣a ，MC ＝9﹣x ，NC ＝y ， △MN △AM ，则△MAB ＝△NMC ，tan △MAB ＝tan △NMC ，即BM CNAB CM=, 即9x m y m x-=-，化简得：y ＝﹣1m x 2+9m m +x ﹣9， 当x ＝92m +时，y 取最大值45，即45＝()294m m +﹣9， 解得：m ＝5或m =16.2（舍）， △AM ＝5，BC ＝4，ABCD的面积为20，故答案为：A．1. （2019·濮阳二模）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM△x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：设点P的运动速度为x，（1）当点P在AB上时，S=12·OA·AP=12·OA·at，该段函数图象为一条线段，且S随t的增大而增大，（2）点P在曲线BC上时，S=12k，为一定值，即图象为一条平行于x轴的线段；（3）点P在OC上时，S=12·PM·OM设△AOC=β，P运动全路程为s，则OP=s－at，则S=12·PM·OM=12OPsinβ·OPcosβ=12（s－at）2sinβcosβ函数图象为一段开口朝上的抛物线，且S随t的增大而减小；综上所述，答案为：D.2.（2019·南阳模拟）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE△AC，交BC于E点；过E点作EF△DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y 与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：△△ABC是等边三角形，△△A＝△C＝△ABC＝60°，△DE△AC，△△EDF＝△A＝60°，△DEB＝△B＝60°△EF△DE，△△DEF＝90°，△△F＝90°﹣△EDC＝30°；△△EDB＝△DEB＝60°，△△EDB是等边三角形．△ED＝DB＝2﹣x，在Rt△DEF中，EF ED2﹣x）．△y＝12 ED•EF＝12（2﹣x）（2﹣x），（x﹣2）2，（0≤x≤2），图象为一段开口朝上的抛物线，y随x增大而减小；所以答案为：A．3.（2019·平顶山三模）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：由题意知，（1）当点F在PD上运动时，△AEF的面积为y=12AE•AD＝2x（0≤x≤2），为一次函数，图象为直线；（2）当F在AD上运动时，△AEF的面积为：y=12 AE•AF=12x(6－x)=－12x2+3x,为二次函数，且开口朝下；故答案为：A．4.如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：△当0＜t≤5时，y=25t2 △tan△ABE=34△点H的坐标为（11，0）△△ABE与△QBP不可能相似．其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】△△△.【解析】解：△过点P作PF△BC于F，根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得：AB=4，△AD△BC，△△AEB=△PBF，△sin△PBF=sin△AEB=45，△PF=PBsin△PBF=45 t，△当0＜t≤5时，y=12BQ·PF=25t2即△正确；△由图知：ED=2，△AE=AD﹣ED=5﹣2=3，△tan△ABE=34AEAB=，△正确；△由图象知，在D点时，出发时间为7s，由CD=4，得H（11，0），△正确；△当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，△tan△PBQ=tan△ABE=34，△34PQBQ=，即11354t-=，解得：t=294．△错误；故答案为：△△△．5.（2019·焦作二模）如图1，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设xAP=，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC的面积为.【答案】【解析】解：由垂线段最短可知，当DP△AB时，y此时，由△B=60°，得：BD tan60°=2，△BC=4，S△ABC24，即答案为：6.（2019·三门峡一模）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）ABCD ．【答案】B .【解析】解：当0≤x ≤1时，重叠部分为△A ’B ’C ’21=当1<x ≤2时，重叠部分为等边三角形，边长B ’C =2－x ， ())2222x x -=-，为开口朝上的抛物线， 综上所述，答案为：B .7.（2019·许昌月考）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：当点P在AD上时，S=12AB·AP=AP，则S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，S=2，S保持不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，则S随着时间t的增大而减小；当点P在FG上时，S=1，面积S不变；当点P在GB上时，S=12AB·BP=BP，S随着时间t的增大而减小；故答案为：B．8.（2019·信阳模拟）如图1，在△ABC中，△C=90°，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CA→AB 匀速运动，到达点B时停止运动，点P出发一段时间后动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC匀速运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，并停止运动，设点P的运动时间为t s，△PQC的面积为S cm2，S 关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤3，3≤t≤4时，函数图象均为线段（不含点O），4＜t＜8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：△AC=3cm；△当S=65时，t=35或6．下列结论正确的是（）A．△△都对B．△△都错C．△对△错D．△错△对【答案】A.【解析】解：由函数图象可知当0＜t≤3时，点P在AC上移动，△AC=t×1=3×1=3cm．故△正确；在Rt△ABC中，S△ABC=6，即12BC×3=6，得：BC=4．由勾股定理可知：AB=5．（1）当0＜t≤3时，S=12 BC•PC=12×4t=2t．（2）当3<t≤4时，PB=AB-AP=5-（t-3）=8-t，过点P作PH△BC，垂足为H，则35 PH ACPB AB==，△PH=35PB=35（8-t），S=12 BC•PH=12×4×35（8-t）=-65t+485，（3）当4＜t＜8时，过点P作PH△BC于H．同理：S =2324961055t t -+ 当0＜t ≤3时，2t =65，解得t ＝35， 当3≤t ≤4时，−65t +485＝65，解得：t =7（舍去）， 当4＜t ＜8时，232496610555t t -+=，解得t =6或t =10（舍去）， △当t 为35或6时，△PQC 的面积为65． 故△正确． 故答案为：A ．9.（2018·新乡一模）如图，平行四边形ABCD 中，ABcm ，BC =2cm ，△ABC =45°，点P 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿折线BC →CD →DA 运动，到达点A 为止，设运动时间为t (s )，△ABP 的面积为S (cm 2)，则S 与t 的函数表达式为.【答案】S =()((10221221(8)242t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪<≤+⎨⎪⎪++<≤+⎪⎩.【解析】解：（1）当点P 在BC 上运动时，即0≤t ≤2时，B过点A 作AH △BC 于H ， △AB,△B =45°， △AH =BH =1， S =12BP ·AH =12t ·1=12t ； （2）当点P 在CD 上运动时，即2<t时，S =12S 四边形ABCD =1； （3）当点P 在DA 上运动时，即t时，S =12AP ·AH =12(t －4)·1=12－t )； 综上所述，S =()((10221221(8)242t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪++≤+⎪⎩10.（2019·郑州外国语模拟）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =4cm ，△B =30°，点P 从点Bcm /s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发以2cm /s 的速度沿B →A →C 运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y ，运动时间为t （s ），则y 与t 的函数关系式为：.BBDBDP【答案】y=()()22023242t t t ≤≤⎨⎪-+<≤⎪⎩.【解析】解：当点Q 在线段AB 上运动时，即0≤t ≤2，过点Q 作QH △BC 于H ，由题意知，BQt ，BP =2t ， △△B =30°， △QH=2t ， y =12·BP ·QH =12×（2t ）t=t 2，当点Q 在线段AC 上运动时，即2<t ≤4，过点Q 作QH △BC 于H ，由题意知，CQ =8，BP =2t ， △△C =30°， △QH（8）， y =12·BP ·QH =12×（2t ）×2（8t ）=2（8t2）=232t -+，BB综上所述，y=()()22023242t t t ≤≤⎨⎪-+<≤⎪⎩.11.（2019·安阳一模）如图，在四边形ABCD 中，AD △BC ，DC △BC ，DC =4 cm ，BC =6 cm ，AD =3 cm ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2 cm /s 的速度沿折线BA -AD -DC 运动到点C ，点Q 以1 cm /s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发t s 时，△BPQ 的面积为y cm 2，则y 与t 的函数图象大致是（ ）ABCD【答案】B .【解析】解：过A 作AF △BC 于E ，则四边形ADCF 是矩形， △AD =CF =3，CD =AF =4， △BF =3，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AB =5， P 点从B 运动到A 点需2.5 秒，（1）当0≤t ≤2.5时，过P 作PE △BC 于E ， △ PE △AF ，BC△BP PE AB AF=,△254t PE=，即PE=85t，y=12·BQ·PE=12t·85t=245t，是一段开口朝上的抛物线；（2）当2.5<t≤4时，P点在AD上运动，y=12·BQ·CD=2t，是一条线段；（3）当4<t≤6时，P点在CD上运动，y=12·BQ·CP=12t(12－2t)=6t－t2，函数图象为一段开口朝下的抛物线，综上所述，选项B符合要求，故答案为：B.12.（2019·开封模拟）如图，菱形ABCD的边长是4 cm，△B=60°，动点P以1 cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动至点B停止，动点Q以2 cm/s的速度从点B出发沿折线BCD运动至点D停止．若点P，Q 同时出发，运动了t s，记△BPQ的面积为S cm2，则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）DA ．B ．C ．D ．【答案】C .【解析】解：当点Q 在线段BC 上时，即0≤t ≤2时， S =12BQ ·BP ·sin △B =122t ·（4－t ）=)24t t -， 图象为开口朝上的抛物线；当点Q 在线段CD 上时，即2<t ≤4时， S =12·BP ·(BC ·sin △B ) =12（4－t ）)4t -，图象为一条直线，S 随t 的增大而减小； 即答案为：C .13. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4cm ，动点P 从点A 出发，以lcm /s 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2cm ／s 的速度沿折线AD →DC →CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x（s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）【答案】A.【解析】解：当点Q在线段AD上时，即0≤t≤1，y=12·AP·AQ=12（2t）t=t2，为开口朝上的抛物线；当点Q在线段DC上时，即1≤t≤3，y=12·AP·AD=12（2t）×2=2t，为一段线段，y随x的增大而增大；当点Q在线段CB上时，即3≤t≤4，y=12·AP·BQ=12（2t）×(8－2t)=－2t2+8t，为开口朝下的抛物线；综上所述，选项A符合要求，即答案为：A.14.（2019·信阳一模）如图,锐角三角形ABC中,BC=6,BC边上的高为4,直线MN交边AB于点M,交AC 于点N,且MN△BC,以MN为边作正方形MNPQ,设其边长为x(x>0),正方形MNPQ与△ABC公共部分的面积为y,则y与x的函数图象大致是()A B C D【答案】D.【解析】解：当PQ在边BC上时，由题意知，MN△BC，过A作AH△BC于H，交MN于G，△MN AGBC AH=,即464x x-=，解得：x=2.4，当0<x≤2.4时，正方形MNQP在△ABC的内部，△y=x2，为开口朝上的抛物线，当2.4<x≤4时，过A作AH△BC于H，交MN于G，则MN AGBC AH=，即64x AG=，解得：AG=23x，△GH=4-23 x，y=MN·GH=x(4-23x)，为开口朝下的抛物线，对称轴为：x=3，即选项D符合题意，即答案为：D.15.（2018·开封二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,1),B0)，以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上. 若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（）图1 图2A B C D【答案】A .【解析】解：由A (0,1),B 0)，得：∠ABO =30°，∠ADC =∠OAB =60 （1）当点A 在x 轴上方时，菱形落在x 轴下方部分为三角形，S =12·（2t ）2，图象为开口朝上的抛物线； （2）当点A 在x 轴上方时，点C 在x 轴上方时，菱形落在x 轴下方部分为梯形，S =12·（t +t -1），图象为一段线段；（3）当点C 在x 轴下方时，S 12（6-2t ）（6-2t ）t -3)2图象为开口朝下的抛物线； 综上所述，选项A 符合要求； 故答案为：A .。
专题02 动点问题中的函数图象及规律探索问题(原卷版)
专题02 动点问题中的函数图象及规律探索问题一、基础知识点综述动点问题中函数图象的题目的解决方法是：先根据动点运动规律找出所求与动点运动之间的关系，进而获取相应函数的解析式及函数值变化规律，达到求解的目的.考查的重点是分段函数解析式的求解.探索规律问题通常用归纳法，即从简单到复杂，从特殊到一般，这类题目考查的是学生的观察与归纳能力，注意从特殊到一般的归纳方法.二、主要思想方法分类讨论、数学归纳.三、精品例题解析例1. （2019·达州改编）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在同一条直线上，且A点与F点重合，现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B 重合时停止. 在这个运动过程中，正方形ABCD与△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数解析式是例2. （2019·自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）例3. （2019·潍坊改编）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3，动点P沿着折线BCD从点B开始运动到点D，设运动的路程为x，△ADP的面积为y，则y与x之间的函数关系式是例4. （2019·深圳模拟）如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动. 设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看成x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于例5. 如图1，在扇形OAB中，∠O=60°，动点P从点O出发，沿O→A→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动过程中，△OBP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a，b的值分别为例6. （2019·河南模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF⊥BC于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE例7. （2019·博罗县一模）如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．例8. （2017·濮阳县一模）如图，等边△ABC边长为2，四边形DEFG是平行四边形，DG=2，DE=3，∠GDE=60°，BC和DE在同一条直线上，且点C与点D重合，现将△ABC沿D→E的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B与点E重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC与四边形DEFG的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．例9. （2019·衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．例10.a是不为1的有理数，我们把11a成为a的差倒数，如2的差倒数是－1，－1的差倒数是0.5. 已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……，以此类推，则a2019的值是例11. （2019·潍坊）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1,2,3，……，按照“加1”依次递增，一组平行线，l0，l1，l2，l3，……都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合. 若半径为2的圆与l1在第一象限交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限交于点P2，……，半径为n+1的圆与ln在第一象限交于点P n，则点P n的坐标为例12. （2019·连云港）如图，将一等边三角形三条边各八等分按顺时针方向标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，如图所示，将和为8的点连接起来，得到了“三角形坐标系”.在建立的坐标系中，每一点的坐标用过这一点且平行（重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标为（1,2,5），点B的坐标为（4,1,3），则点C的坐标为例13. （2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．例14. （2019·怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是．。
2020年中考数学三轮冲刺 难点题型突破 3 动点问题的函数图像
动点问题的函数图像1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．3．如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．5．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB＝100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（）A．B．C．D．6．如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（C点与A点不重合），CF⊥CD交AB于点F，DE⊥CD交AB于点E，G为半圆弧上的中点．当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE＝y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．7．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝9时，点R应运动到（）A．M处B．N处C．P处D．Q处8．如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12动点P从点A出发，沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y＝S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，已知A、B是反比例函数上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．11．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．12．如图，△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，AB＝4cm，BC与EF在直线ɭ上，开始时C点与E点重合，让△ABC沿直线l向右平移，直到B点与F点重合为止．设△ABC与△DEF的重叠部分（即图中影阴部分）的面积为ycm2，CE的长度为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．13．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t 的大致图象为（）A．B．C．D．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B．已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接MP，MQ，PQ．在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE 绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M 两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.300.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 y/cm 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：．（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是cm．（保留两位小数）．16．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ＝x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤，＜x≤m时，函数的解析式不同）．（1）填空：n的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．试题解析1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．解：∵∠CPD＝∠FPD，∠BPE＝∠FPE，又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE＝180°，∴∠CPD+∠BPE＝90°，又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP＝90°，∴∠BEP＝∠CPD，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CDP，∴，即，则y＝﹣x2+x，y是x的二次函数，且开口向下．故选：C．2．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y＝AE•AD＝2x（0≤x≤2），当F在AD上运动时，△AEF的面积为y＝AE•AF＝x（6﹣x）＝﹣x2+3x（2＜x≤4），图象为：故选：A．3．如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．解：根据题意，有AE＝BF＝CG，且正三角形ABC的边长为2，故BE＝CF＝AG＝2﹣x；故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．在△AEG中，AE＝x，AG＝2﹣x．则S△AEG＝AE×AG×sin A＝x（2﹣x）；故y＝S△ABC﹣3S△AEG＝﹣3×x（2﹣x）＝（3x2﹣6x+4）．故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；故选：D．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．解：如图1，连接CP，，∵点P是斜边AB的中点，∴S△ACP＝S△BCP＝S△ABC，出发时，S△PMN＝S△BCP＝S△ABC；∵两点同时出发，同时到达终点，∴点N到达BC的中点时，点M也到达AC的中点，∴S△PMN＝S△ABC；结束时，S△PMN＝S△ACP＝S△ABC，在整个运动过程中设BC＝a，AC＝b，∴S＝[ab﹣V N•t•﹣（a﹣V N•t）•V M•t﹣（b﹣V M•t）•]＝（ab﹣V N b•t﹣aV M•t+V N V M•t2﹣ab+aV M•t）＝V N V M•t2﹣（V N b+aV M）t+ab，∴△MPN的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化，∴△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是：．故选：A．5．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB＝100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（）A．B．C．D．解：设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt，设∠BOC＝α，当点C从运动到M时，∵vt＝＝，∴α＝，在直角三角形中，∵d＝50sinα＝50sin，∴d与t之间的关系d＝50sin，当点C从M运动到A时，d与t之间的关系d＝50sin（180﹣），故选：C．6．如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（C点与A点不重合），CF⊥CD交AB于点F，DE⊥CD交AB于点E，G为半圆弧上的中点．当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE＝y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．解：作OH⊥CD于点H，∴H为CD的中点，∵CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，∴OH为直角梯形的中位线，∵弦CD为定长，∴CF+DE＝y为定值，故选：B．7．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝9时，点R应运动到（）A．M处B．N处C．P处D．Q处解：点R在NP上时，三角形面积增加，点R在PQ上时，三角形的面积不变，点R在QN上时，三角形面积变小，点R在Q处，三角形面积开始变小．故选：D．8．如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过AD段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合．故选：A．9．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12动点P从点A出发，沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y＝S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．解：在Rt△ADE中，AD＝＝13，在Rt△CFB中，BC＝＝13，①点P在AD上运动：过点P作PM⊥AB于点M，则PM＝AP sin∠A＝t，此时y＝EF×PM＝t，为一次函数；②点P在DC上运动，y＝EF×DE＝30；③点P在BC上运动，过点P作PN⊥AB于点N，则PN＝BP sin∠B＝（AD+CD+BC ﹣t）＝，则y＝EF×PN＝，为一次函数．综上可得选项A的图象符合．故选：A．10．如图，已知A、B是反比例函数上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S＝K，保持不变，故排除B、D；②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故排除C．故选：A．11．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．解：如右图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，∵点E是正方形的对称中心，∴EN＝EM，由旋转的性质可得∠NEK＝∠MEL，在Rt△ENK和Rt△EML中，，故可得△ENK≌△EML，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的．故选：B．12．如图，△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，AB＝4cm，BC与EF在直线ɭ上，开始时C点与E点重合，让△ABC沿直线l向右平移，直到B点与F点重合为止．设△ABC与△DEF的重叠部分（即图中影阴部分）的面积为ycm2，CE的长度为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．解：∵△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，∴△ABC与△DEF的重叠部分也是等腰直角三角形，当△ABC沿直线ɭ自点E向右平移到点F，即0≤x≤4时，△ABC与△DEF的重叠部分的面积y＝x2，当4≤x≤8时，△ABC与△DEF的重叠部分的面积y＝（x﹣8）2，则y与x之间的函数图象大致是C．故选：C．13．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t 的大致图象为（）A．B．C．D．解：由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C．随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D．故选：A．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B．已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接MP，MQ，PQ．在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少解：如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，∴S△ACM＝S△BCM＝S△ABC，开始时，S△MPQ＝S△ACM＝S△ABC，点P到达AC的中点时，点Q到达BC的中点时，S△MPQ＝S△ABC，结束时，S△MPQ＝S△BCM＝S△ABC，所以，△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大．故选：C．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE 绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.300.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10y/cm32.88 2.81 2.69 2.67 2.803.15 3.85 5.24 6.01 6.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：0≤x≤1.65时，y随x增大而减小，当1.65＜x≤4.10时，y随x增大而增大．（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是 1.33或4cm．（保留两位小数）．解：（1）①当x＝BM＝0时，MN是三角形ABC的中位线，则MN＝AC＝3；②x＝BM＝，在△MBD中，BD＝4，BM＝，cos∠B＝＝cosβ，tanβ＝，过点M作MH⊥BD于点H，则BH＝BM cosβ＝，则MH＝，MD2＝HD2+MH2＝，则BD2＝BM2+MD2，故∠BMD＝90°，则y＝MN＝MD tanβ＝（DB sinβ）tanβ＝；故：答案为3，；（2）描点出如下图象，（3）从图象可以看出：0≤x≤1.65时，y随x增大而减小，当1.65＜x≤4.10时，y随x增大而增大（数值是估值，不唯一）；（4）方法一：MN＝2BM，即y＝2x，在上图中作直线y＝2x，直线与曲线交点的横坐标1.33和4故答案为：1.33或4．方法二：如图3，DN与CA的延长线交于点H．设BM＝x，MN＝2xEN＝3x﹣3，AN＝6﹣3x∵∠NDB＝∠H+∠C（外角的性质）∠NDB＝∠MDB+∠NDM∴∠MDB+∠NDM＝∠H+∠C∴∠MDB＝∠H，∠B＝∠C∴△MDB∽△DHC∴＝∴，CH＝，HA＝HC﹣AC＝﹣6又∵△HAN∽△DEN∴＝∴＝解得x1＝4，x2＝．故答案为：1.33或4．16．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ＝x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤，＜x≤m时，函数的解析式不同）．（1）填空：n的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．解：（1）如图1，，当x＝时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，∵PQ＝，QR＝PQ，∴QR＝，∴n＝S＝×（）2＝×＝．（2）如图2，，根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0＜x≤时，S＝×PQ×RQ＝x2，当点Q点运动到点A时，x＝2AD＝4，∴m＝4．当＜x≤4时，S＝S△APF﹣S△AQE＝AP•FG﹣AQ•EQ，AP＝2+，AQ＝2﹣，∵△AQE∽△AQ1R1，，∴QE＝，设FG＝PG＝a，∵△AGF∽△AQ1R1，，∴AG＝2+﹣a，∴a＝，∴S＝S△APF﹣S△AQE＝AP•FG﹣AQ•EQ＝（2）（2）﹣（2﹣）•（2）＝﹣x2+∴S＝﹣x2+．2020 中考综上，可得S＝故答案为：．。
2020年浙江省中考数学题型专练一 动点问题的函数图像含答案
题型一 动点问题的函数图像类型一 判断函数图像(2014.8)1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周，设点P 到点O的距离为s ，运动时间为t ，则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( )第1题图2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 cm ，点D 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，动点E 从点C 出发，沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ，设点E 运动的时间为x s ，△EFC 的面积为y cm 2(当E ，F ，C 三点共线时，设y ＝0)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( )第2题图3.如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x(k ＞0)在第一象限图象上的两点，动点P 从坐标原点O 出发，沿图中 箭头所指方向匀速运动，即点P 先在线段OA 上运动，然后在双曲线上由A 到B 运动，最后在线段BO 上运动，最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，设△POM 的面积为S ，点P 运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )第3题图4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是()第4题图5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为()第5题图6. (2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()第6题图类型二分析函数图像1.如图①，点P从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PG⊥AP交射线DC于点G.如图②是点P运动时CG的长度y随时间t变化的图象，其中点Q是第一段曲线(抛物线的一部分)的最高点，则AB的长度是()第1题图A. 2B. 3C. 4D. 232.(2019郑州模拟)如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝A D.动点P从点B出发，沿折线B－A－D－C方向以 1 cm/s的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S(cm2)与运动时间t(s)的函数图象如图②所示，则AD等于()第2题图A. 5 cmB. 34 cmC. 8 cmD. 2 3 cm3.如图①，菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线B－C－D运动到点D.图②是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是()第3题图A. 2B. 2.5C. 3D. 234.如图①，在正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿A－B－C运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE，交CD于点F，设点E运动的路程为x，FC＝y(当点A，E重合时，点D，F重合；当点C，E重合时，不妨设y＝0)，y与x的函数关系的大致图象如图②，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是1，则正方形ABCD的面积是()第4题图A. 8B. 12C. 16D. 4.85.如图①，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C运动，设P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象如图②所示，则当△PCD和△P AB的面积相等时，y的值为.第5题图6.如图①，已知点E，F，G，H是矩形ABCD各边的中点，动点M从点E出发，沿E→F→G匀速运动，设点M运动的路程为x，点M到矩形顶点B的距离为y，如果表示y关于x函数关系的图象如图②所示，那么四边形EFGH的面积是.第6题图参考答案类型一 判断函数图象1. C 【解析】点P 在OA 上从点O 向点A 运动的过程中，s 随着t 的增大而增大，点P 在AB ︵上运动时，s ＝OP ＝12AB (定值)，点P 在OB 上从点B 向点O 运动的过程中，s 随着t 的增大而减小． 2. A 【解析】∵在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∴AB ＝42，AD ＝CD ＝22，CF ＝2，当点E 在CD 上时，CE ＝x ，点E 到BC 的距离h 1＝22x ，∴y ＝12×2×22x ＝22x (0≤x ≤22)；当点E 在AD 上时，BE ＝BD ＋DE ＝CD ＋DE ＝x ，∴点E 到FC 的距离h 2＝22BE ＝22x ，∴y ＝12×2×22x ＝22x (22≤x ≤42)． 3. D 【解析】设∠AOM ＝α，点P 运动的速度为a ，当点P 从点O 运动到点A 的过程中，S ＝12OM ·PM ＝12at ·cos α·at ·sin α＝12a 2·cos α·sin α·t 2，由于α及a 均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S 随着t 的增大而增大；当点P 从A 运动到B 时，由反比例函数性质可知△OPM 的面积为12k ，保持不变，本段图象应为与x 轴平行的线段；同理可得，当点P 从B 运动到O 过程中，S 也是t 的二次函数，且S 随着t 的增大而减小．4. B 【解析】∵四边形ABCD 为菱形，且∠B ＝60°，AB ＝2，∴当0＜t ＜2时，△APQ 的面积y ＝12t ·(2－t )·sin60°＝－34t 2＋32t ，函数图象为开口向下的一段抛物线，且当t ＝1时，y 最大值为34；当2＜t ＜4时，△APQ 的面积y ＝12(t －2)·(t －2)·sin60°＝34(t －2)2，函数图象为开口向上的一段抛物线，且当t ＝4时，y 最大值为3，故选B .5. B 【解析】当0≤x ≤2.5时，如解图①，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵EF ∥BD ，∴∠ODA ＝∠MEA ，∴∠OAD ＝∠MEA ，∴ME ＝MA ，同理可得AM ＝MF ，∴EM ＝AM ＝MF ，∴EF ＝2AM ，即y ＝2x ；当2.5<x ≤5时，如解图②，由题意知CM ＝AC －AM ＝5－x ，∵ME＝MC ＝MF ，∴EF ＝2MC ，即y ＝2(5－x )＝10－2x .综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤2.5）10－2x （2.5<x ≤5）.图① 图②第5题解图6. C 【解析】∵AB ＝4，点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝2，当0≤x ≤2时，如解图①，y ＝S △CPE ＝12PE·BC＝2x，∴此段函数图象是正比例函数的一部分；当2<x≤6时，如解图②，y＝S△CPE＝S正方形ABCD－S△BCE －S△APE－S△PCD＝42－12×4×2－12×2×(x－2)－12×4×[4－(x－2)]＝x＋2，∴此段函数图象是一次函数的一部分；当6<x≤10时，如解图③，y＝S△CPE＝12PC·BC＝12(10－x)×4＝－2x＋20，∴此段函数图象是一次函数的一部分，综上所述，根据各段图象及x的取值范围，可得函数图象如选项C所示．图①图②图③第6题解图类型二 分析函数图象1. B 【解析】结合图形分析函数图象可得：当点P 运动到点C 的位置时，CG ＝0，∴BC ＝4.当点P运动到线段BC 的中点时，CG ＝43.∵∠B ＝90°，∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∵PG ⊥AP ，∴∠APG ＝90°，∴∠APB ＋∠CPG ＝90°，∴∠BAP ＝∠CPG ，又∵∠ABP ＝∠PCG ＝90°，∴△ABP ∽△PCG ，∴AB PC ＝BP CG，当点P 为BC 的中点时，BP ＝PC ＝2，∴AB 2＝243，解得AB ＝3. 2. B 【解析】结合图形分析函数图象可得，当t ＝3时，点P 到达A 处，即AB ＝3；如解图，过点A作AE ⊥CD 于点E ，则四边形ABCE 为矩形，∵AC ＝AD ，∴DE ＝CE ＝12CD .当S ＝15时，点P 到达点D 处，则S ＝12CD ·BC ＝12·2AB ·BC ＝3×BC ＝15，则BC ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AD ＝AC ＝AB 2＋BC 2＝34.第2题解图3. D 【解析】由题图②得，t ＝4时两点停止运动，∴点P 以每秒1个单位的速度从点A 运动到点B 用了4秒，∴AB ＝4，∵点Q 运动到点C 之前和之后，△BPQ 面积算法不同，即t ＝2时，S 的解析式发生变化，∴题图②中点M 对应的横坐标为2，此时P 为AB 中点，点C 与点Q 重合，如解图，连接AC ，∵菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝4，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CP ⊥AB ，BP ＝12AB ＝2，∴CP ＝BC 2－BP 2＝42－22＝23，∴a ＝12BP ·CP ＝12×2×23＝2 3.第3题解图4. C 【解析】如解图，设AB ＝a ，当点E 在BC 上运动时(不与点B 、C 重合)，∵AE ⊥EF ，∴△EFC∽△AEB ，∴EC AB ＝FC EB ，即2a －x a ＝y x －a ，∴y ＝－1a x 2＋3x －2a ，－1a <0，当x ＝－32×（－1a ）＝32a 时，y 取得最大值，此时点E 为BC 的中点，y ＝1，把(32a ，1)代入y ＝－1ax 2＋3x －2a ，解得a ＝4，即AB ＝4，故正方形ABCD 的面积为4×4＝16.第4题解图5. 121313【解析】当P 点在AB 上运动时，D 点到AP 的距离不变，始终是AD 长，从图象可以看出AD ＝4，当P 点到达B 点时，从图象看出x ＝3，即AB ＝3.当△PCD 和△P AB 的面积相等时，P 点在BC 中点处，此时△ADP 面积为12×4×3＝6，在Rt △ABP 中，AP ＝AB 2＋BP 2＝13，则12AP ·y ＝6，解得y ＝121313. 6. 24 【解析】如解图，连接BD ，EG ，FH ，∵点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，∴EF ∥BD ∥GH ，EF ＝GH ＝12BD ，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF ＝EH ，∴平行四边形EFGH 是菱形，由题图②得BE ＝3，点M 运动到点G 时，运动路程为10，又∵EF ＝FG ，则可知菱形的边长为5，即EF ＝FG ＝GH ＝HE ＝5，∴AF ＝4，AD ＝8，∴S 菱形EFGH ＝12EG ·FH ＝24.第6题解图。
2020年浙江省中考数学题型专练一 动点问题的函数图像含答案
题型一 动点问题的函数图像类型一 判断函数图像(2014.8)1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周，设点P 到点O的距离为s ，运动时间为t ，则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( )第1题图2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 cm ，点D 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，动点E 从点C 出发，沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ，设点E 运动的时间为x s ，△EFC 的面积为y cm 2(当E ，F ，C 三点共线时，设y ＝0)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( )第2题图3.如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x(k ＞0)在第一象限图象上的两点，动点P 从坐标原点O 出发，沿图中 箭头所指方向匀速运动，即点P 先在线段OA 上运动，然后在双曲线上由A 到B 运动，最后在线段BO 上运动，最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，设△POM 的面积为S ，点P 运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )第3题图4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是()第4题图5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为()第5题图6. (2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()第6题图类型二分析函数图像1.如图①，点P从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PG⊥AP交射线DC于点G.如图②是点P运动时CG的长度y随时间t变化的图象，其中点Q是第一段曲线(抛物线的一部分)的最高点，则AB的长度是()第1题图A. 2B. 3C. 4D. 232.(2019郑州模拟)如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝A D.动点P从点B出发，沿折线B－A－D－C方向以 1 cm/s的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S(cm2)与运动时间t(s)的函数图象如图②所示，则AD等于()第2题图A. 5 cmB. 34 cmC. 8 cmD. 2 3 cm3.如图①，菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线B－C－D运动到点D.图②是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是()第3题图A. 2B. 2.5C. 3D. 234.如图①，在正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿A－B－C运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE，交CD于点F，设点E运动的路程为x，FC＝y(当点A，E重合时，点D，F重合；当点C，E重合时，不妨设y＝0)，y与x的函数关系的大致图象如图②，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是1，则正方形ABCD的面积是()第4题图A. 8B. 12C. 16D. 4.85.如图①，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C运动，设P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象如图②所示，则当△PCD和△P AB的面积相等时，y的值为.第5题图6.如图①，已知点E，F，G，H是矩形ABCD各边的中点，动点M从点E出发，沿E→F→G匀速运动，设点M运动的路程为x，点M到矩形顶点B的距离为y，如果表示y关于x函数关系的图象如图②所示，那么四边形EFGH的面积是.第6题图参考答案类型一 判断函数图象1. C 【解析】点P 在OA 上从点O 向点A 运动的过程中，s 随着t 的增大而增大，点P 在AB ︵上运动时，s ＝OP ＝12AB (定值)，点P 在OB 上从点B 向点O 运动的过程中，s 随着t 的增大而减小． 2. A 【解析】∵在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∴AB ＝42，AD ＝CD ＝22，CF ＝2，当点E 在CD 上时，CE ＝x ，点E 到BC 的距离h 1＝22x ，∴y ＝12×2×22x ＝22x (0≤x ≤22)；当点E 在AD 上时，BE ＝BD ＋DE ＝CD ＋DE ＝x ，∴点E 到FC 的距离h 2＝22BE ＝22x ，∴y ＝12×2×22x ＝22x (22≤x ≤42)． 3. D 【解析】设∠AOM ＝α，点P 运动的速度为a ，当点P 从点O 运动到点A 的过程中，S ＝12OM ·PM ＝12at ·cos α·at ·sin α＝12a 2·cos α·sin α·t 2，由于α及a 均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S 随着t 的增大而增大；当点P 从A 运动到B 时，由反比例函数性质可知△OPM 的面积为12k ，保持不变，本段图象应为与x 轴平行的线段；同理可得，当点P 从B 运动到O 过程中，S 也是t 的二次函数，且S 随着t 的增大而减小．4. B 【解析】∵四边形ABCD 为菱形，且∠B ＝60°，AB ＝2，∴当0＜t ＜2时，△APQ 的面积y ＝12t ·(2－t )·sin60°＝－34t 2＋32t ，函数图象为开口向下的一段抛物线，且当t ＝1时，y 最大值为34；当2＜t ＜4时，△APQ 的面积y ＝12(t －2)·(t －2)·sin60°＝34(t －2)2，函数图象为开口向上的一段抛物线，且当t ＝4时，y 最大值为3，故选B .5. B 【解析】当0≤x ≤2.5时，如解图①，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵EF ∥BD ，∴∠ODA ＝∠MEA ，∴∠OAD ＝∠MEA ，∴ME ＝MA ，同理可得AM ＝MF ，∴EM ＝AM ＝MF ，∴EF ＝2AM ，即y ＝2x ；当2.5<x ≤5时，如解图②，由题意知CM ＝AC －AM ＝5－x ，∵ME＝MC ＝MF ，∴EF ＝2MC ，即y ＝2(5－x )＝10－2x .综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤2.5）10－2x （2.5<x ≤5）.图① 图②第5题解图6. C 【解析】∵AB ＝4，点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝2，当0≤x ≤2时，如解图①，y ＝S △CPE ＝12PE·BC＝2x，∴此段函数图象是正比例函数的一部分；当2<x≤6时，如解图②，y＝S△CPE＝S正方形ABCD－S△BCE －S△APE－S△PCD＝42－12×4×2－12×2×(x－2)－12×4×[4－(x－2)]＝x＋2，∴此段函数图象是一次函数的一部分；当6<x≤10时，如解图③，y＝S△CPE＝12PC·BC＝12(10－x)×4＝－2x＋20，∴此段函数图象是一次函数的一部分，综上所述，根据各段图象及x的取值范围，可得函数图象如选项C所示．图①图②图③第6题解图类型二 分析函数图象1. B 【解析】结合图形分析函数图象可得：当点P 运动到点C 的位置时，CG ＝0，∴BC ＝4.当点P运动到线段BC 的中点时，CG ＝43.∵∠B ＝90°，∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∵PG ⊥AP ，∴∠APG ＝90°，∴∠APB ＋∠CPG ＝90°，∴∠BAP ＝∠CPG ，又∵∠ABP ＝∠PCG ＝90°，∴△ABP ∽△PCG ，∴AB PC ＝BP CG，当点P 为BC 的中点时，BP ＝PC ＝2，∴AB 2＝243，解得AB ＝3. 2. B 【解析】结合图形分析函数图象可得，当t ＝3时，点P 到达A 处，即AB ＝3；如解图，过点A作AE ⊥CD 于点E ，则四边形ABCE 为矩形，∵AC ＝AD ，∴DE ＝CE ＝12CD .当S ＝15时，点P 到达点D 处，则S ＝12CD ·BC ＝12·2AB ·BC ＝3×BC ＝15，则BC ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AD ＝AC ＝AB 2＋BC 2＝34.第2题解图3. D 【解析】由题图②得，t ＝4时两点停止运动，∴点P 以每秒1个单位的速度从点A 运动到点B 用了4秒，∴AB ＝4，∵点Q 运动到点C 之前和之后，△BPQ 面积算法不同，即t ＝2时，S 的解析式发生变化，∴题图②中点M 对应的横坐标为2，此时P 为AB 中点，点C 与点Q 重合，如解图，连接AC ，∵菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝4，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CP ⊥AB ，BP ＝12AB ＝2，∴CP ＝BC 2－BP 2＝42－22＝23，∴a ＝12BP ·CP ＝12×2×23＝2 3.第3题解图4. C 【解析】如解图，设AB ＝a ，当点E 在BC 上运动时(不与点B 、C 重合)，∵AE ⊥EF ，∴△EFC∽△AEB ，∴EC AB ＝FC EB ，即2a －x a ＝y x －a ，∴y ＝－1a x 2＋3x －2a ，－1a <0，当x ＝－32×（－1a ）＝32a 时，y 取得最大值，此时点E 为BC 的中点，y ＝1，把(32a ，1)代入y ＝－1ax 2＋3x －2a ，解得a ＝4，即AB ＝4，故正方形ABCD 的面积为4×4＝16.第4题解图5. 121313【解析】当P 点在AB 上运动时，D 点到AP 的距离不变，始终是AD 长，从图象可以看出AD ＝4，当P 点到达B 点时，从图象看出x ＝3，即AB ＝3.当△PCD 和△P AB 的面积相等时，P 点在BC 中点处，此时△ADP 面积为12×4×3＝6，在Rt △ABP 中，AP ＝AB 2＋BP 2＝13，则12AP ·y ＝6，解得y ＝121313. 6. 24 【解析】如解图，连接BD ，EG ，FH ，∵点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，∴EF ∥BD ∥GH ，EF ＝GH ＝12BD ，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF ＝EH ，∴平行四边形EFGH 是菱形，由题图②得BE ＝3，点M 运动到点G 时，运动路程为10，又∵EF ＝FG ，则可知菱形的边长为5，即EF ＝FG ＝GH ＝HE ＝5，∴AF ＝4，AD ＝8，∴S 菱形EFGH ＝12EG ·FH ＝24.第6题解图。
2020中考数学 函数图象的性质(包含答案)
2020中考数学 函数图象的性质（含答案）一、单选题（共有17道小题）1.正比例函数y kx =和反比例函数21y k x=-+（k 是常数且k ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）参考答案:C2.反比例函数my x=的图象如图所示，下列结论： ①常数1m <-；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③若点()1,A h -，()2,B k 在图象上，则h k <； ④若点(),P x y 在图象上，则点()',P x y --也在图象上。
其中正确的结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4参考答案:B3.在同一直角坐标系中，函数ay=-与()1,0y ax a =+≠的图象可能是（ ）参考答案:B4.在同一坐标系中，函数y ax b=+与2y ax b =+的图象可能为下列哪个（ ）yxDOy xC Oy x A O y xB O参考答案:C5.如果函数()0,2≠-=k kx y 的图象不经过第一象限，那么函数xky=的图象一定在（ ） A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 参考答案:D6.在同一直角坐标系中，反比例函数()0ky k x=≠和正比例函数()0y kx k =≠的图象可能是（）A. B. C. D. 参考答案:C7.在同一坐标系中，函数xky =和2+=kx y 的图象大致可能是（ ）x yO xyO xyOxyOC. D.参考答案:A8.在同一平面直角坐标系内，一次函数b ax y +=与二次函数b x ax y ++=82的图象可能是( )参考答案:C9.若0ab <，则正比例函数y ax =和反比例函数y bx=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）参考答案:B10.若正比例函数()0y mx m =≠，y 随x 的增大而减小，则它和二次函数2y mx m =+的图象大致可能是（ ）y x A O yxBOyxDOyxCOyxDO yx COyxB OB参考答案:B12.如图，在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =-和二次函数2y ax c =-+的图象大致可能为( )参考答案:D13.在同一平面直角坐标系中，一次函数b ax y +=和二次函数c bx ax y ++=2的图象可能为（ ）参考答案:A14.二次函数bx ax y +=2的图象如图所示，那么一次函数y ）参考答案:C15.已知0b <，二次函数22y ax bx a =++-A A BCDyxDOyxCOyxBOy xAOC D试根据图象分析，a 的值应等于（ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2参考答案:C16.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数by x=与一次函数y cx a =+在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）参考答案:B17.在同一平面直角坐标系中，函数y mxm =+,和函数222,)0y mx x m m =-++≠（是常数,且的图象可能是( )参考答案:D。
(完整版)2020年中考数学动态问题图形最值问题探究(含答案)
专题 09 动点类题目图形最值问题研究题型一：矩形中的相似求解例 1.（ 2019·绍兴） 如图，矩形 ABCD 中， AB=a ， BC=b ，点 M 、 N 分别在边 AB 、 CD上，点 E 、 F 分别在边 BC 、 AD 上， MN 、EF 交于点 P. 记 k=MN:EF.（ 1）若 a ： b 的值为 1，当 MN ⊥ EF 时，求 k 的值 .（ 2）若 a ： b 的值为 1，求 k 的最大值和最小值 .2（ 3）若 k 的值为 3，当点 N 是矩形的极点，∠MPE =60°， MP=EF=3 PE 时，求 a ：b 的值 .AFD NMBEC题型二：二次函数中几何图形最值求解 例 2.（ 2019·衡阳） 如图，二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0）和点 B（3， 0），与 y 轴交于点 N ，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD ，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP ，过点 P 作 CP 的垂线与y 轴交于点 E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点 P 在线段 OB （点 P 不与 O 、B 重合）上运动至哪处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（ 3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接 MN 、MB ．请问： △ MBN 的面积可否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明原由．题型三：二次函数中面积最值的求解例 3.（ 2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线C : y ax 2 2x c 订交于点A（ -1,0）和点 B（ 2,3）两点 .（1）求抛物线 C 函数表达式；（2）若点 M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形 MANB ，当平行四边形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积 S 及点 M的坐标；（3）在抛物线 C 的对称轴上可否存在定点F，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线y 17F 的坐标；若不存在，请说明原由 .的距离，若存在，求出定点4题型四：反比率函数中面积最值的求解例 4.（ 2018·扬州一模）如图1，反比率函数y= k（ x＞ 0）的图象经过点A（ 23， 1），射x线 AB 与反比率函数图象交于另一点B（ 1，a），射线 AC 与 y 轴交于点C，∠ BAC=75°，AD ⊥ y 轴，垂足为 D ．（1）求 k 的值；（2）求 tan∠ DAC 的值及直线AC 的解析式；（3）如图 2， M 是线段 AC 上方反比率函数图象上一动点，过M 作直线 l⊥ x 轴，与 AC 相交于点 N，连接 CM，求△ CMN 面积的最大值．题型五：反比率函数中面积最值的求解例 5.（ 2019·达州）如图 1，已知抛物线 y=－ x2+bx+c 过点 A(1,0)， B(－ 3,0).（1）求抛物线的解析式及其极点 C 的坐标；（2）设点 D 是 x 轴上一点，当tan（∠ CAO+∠ CDO ） =4 时，求点 D 的坐标；（3）如图 2，抛物线与 y 轴交于点 E，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA 交BE 于点 M，交 y 轴于点 N，△ BMP 和△ EMN 的面积分别为m、 n，求 m－ n 的最大值 .题型六：二次函数中最值及最短路径题型例 6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（ a＞0）的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，获取以以下图的抛物线，该抛物线与x 轴交于点 A、 B（点 A 在点 B 的左侧），OA=1，经过点 A 的一次函数 y=kx+b（ k≠0）的图象与 y 轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ ABD 的面积为 5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点 P 为 x 轴上任意一点，在（ 2）的结论下，求PE+ 3PA 的最小值．5例 7.（ 2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy 中， O 为坐标原点，点A（ 4， 0），点 B （0， 4），△ ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点 C，且⊙M 经过 O， A， C 三点．（1）求圆心 M 的坐标；（2）若直线 AD 与⊙ M 相切于点 A，交 y 轴于点 D，求直线 AD 的函数表达式；（3）在过点 B 且以圆心M 为极点的抛物线上有一动点P，过点 P 作 PE∥ y 轴，交直线AD 于点 E．若以 PE 为半径的⊙ P 与直线 AD 订交于另一点 F ．当 EF ＝ 4 5 时，求点 P 的坐标．答案与解析题型一：矩形中的相似求解例1.（ 2019·绍兴）如图，矩形 ABCD 中， AB=a， BC=b，点 M、 N 分别在边 AB、 CD 上，点 E、 F 分别在边BC、 AD 上， MN 、EF 交于点 P. 记 k=MN:EF.（1）若 a： b 的值为 1，当 MN ⊥ EF 时，求 k 的值 .（2）若 a： b 的值为1，求 k 的最大值和最小值 . 2（ 3）若 k 的值为 3，当点 N 是矩形的极点，∠MPE =60°， MP=EF=3 PE 时，求 a：b 的值.A FDNMB E C【解析】（ 1）当 a： b=1 时，可得四边形ABCD 为正方形，由MN ⊥ EF ，可证 MN =EF ，即 k=1；（ 2）先确定 MN 和 EF 的取值范围，当 MN 取最大值， EF 取最小值时， k 的值最大，否则反之；（ 3）依照 N 是矩形极点，分两种情况谈论，即N 分别与 D 点和 C 点重合，依照不同样图形求解 .【答案】见解析.【解析】解：（ 1）当 a：b=1 时，即 AB=BC，∵四边形 ABCD 是矩形，∴四边形 ABCD 是正方形，过 F 作 FG ⊥ BC 于 G，过 M 作 MH ⊥CD 于 H，以以下图所示，A FDNMHBG E C ∵MN⊥ EF ，∴∠ NMH =∠ EFG ，∵∠ MHN =∠ FGE =90°， MH =FG ，∴△ MNH ≌△ FEG ，∴MN=EF ，即 k=1；（ 2）由题意知： b=2a，所以得： a≤EF ≤5a，2a≤MN ≤5a ,所以当 MN 取最大值， EF 取最小值时， k 取最大值，为 5 ；25当 MN 取最小值， EF 取最大值时， k 取最小值，为；5（ 3）以以下图所示，A F DP NMBEC连接 FN ，ME，设PE=x，则 EF =MP=3x， PF=2x，MN =3EF=9 x， PN=6x，∴PF PN PE PM又∵∠ FPN =∠ MPE，∴△ FPN∽△ EPM ，∴∠ PFN=∠ PEM，∴FN∥ ME ，①当 N 点与 D 点重合时，由FN ∥ ME 得， M 点与 B 点重合，AF（N）DP HB C （M ）E过F 作 FH ⊥ BD 于 H ，∵∠ MPE=60°，∴∠ PFH =30°，∴ PH=x ， FH = 3x ， BH=BP+PH=4x ， DH =5x ，在 Rt △ DFH 中， tan ∠FDH =3 ，5即 a:b=3;5②当 N 点与 C 点重合时，过A FDM H PBE（N ） C过点 E 作 EH ⊥ MN 于 H ，连接 EM ，则 PH =x ，EH= 3x ， CH=PC+PH =13x ，在 Rt △ ECH 中， tan ∠ECH =3 ， 13∵ ME ∥ FC ，∴∠ MEB=∠ FCB=∠ CFD ，∵∠ B=∠ D ，∴△ MEB ∽△ CFD ，∴CD FC=2,MB MECD 2BM 2 3即 a:b=BC;BC13综上所述， a:b 的值为3 或 2 3 .513题型二：二次函数中几何图形最值求解例 2.（ 2019·衡阳） 如图，二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0）和点 B（3， 0），与 y 轴交于点 N ，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD ，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP ，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点 P 在线段 OB （点 P 不与 O 、B 重合）上运动至哪处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（ 3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接 MN 、MB ．请问： △ MBN 的面积可否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明原由．【解析】（ 1）将点 A 、B 的坐标代入二次函数解析式求解； （ 2）由 △ POE ∽△ CBP 得出比率 线段，可表示 OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段 OE 的最大值；（3）过点 M 作 MH ∥ y轴交 BN 于点 H ，由 S △MNB ＝S △BMH +S △MNH 即可求解． 【答案】见解析 .【解析】解：（ 1） ∵抛物线 y ＝ x 2+bx+c 经过 A （﹣ 1， 0）， B （ 3， 0），1 b c 09 3bc ，0 解得：b 2 c，3抛物线函数关系表达式为y ＝ x 2﹣2x ﹣ 3；（ 2）由题意知： AB ＝ OA+OB ＝ 4，在正方形 ABCD 中， ∠ ABC ＝ 90°， PC ⊥ BE ， ∴∠ OPE+∠ CPB ＝ 90°，∠CPB +∠ PCB ＝ 90°， ∴∠ OPE ＝∠ PCB ，又∵∠ EOP ＝ ∠ PBC ＝ 90°，∴△ POE ∽△ CBP ，∴BC OP ，BP OE∴4 x ， 3 xOE2∴OE ＝1x 2 3x1 x 3 9 ，44 216当 x3时，即 OP =3时线段 OE 长有最大值，最大值为9 ．2216（3）存在．如图，过点 M 作 MH ∥y 轴交 BN 于点 H ，∴N 点坐标为（ 0，﹣ 3），设直线 BN 的解析式为 y ＝kx+b ，3k b 0 ∴，b3∴直线 BN 的解析式为y ＝x ﹣ 3，设 M （ m ， m 2﹣2m ﹣ 3），则 H （ m ， m ﹣ 3）， ∴MH ＝ m ﹣ 3﹣（ m 2 ﹣2m ﹣3）＝﹣ m 2+3 m ，∴S △MNB ＝S △BMH +S △MNH ＝11 m 2m 2 3m3 27 ，2228∴a ＝ 3时， △ MBN 的面积有最大值，最大值是27，此时 M 点的坐标为（ 3，15）．2824题型三：二次函数中面积最值的求解例 3.（ 2019·自贡） 如图，已知直线 AB 与抛物线 C : y ax 2 2xc 订交于点 A （ -1,0）和点 B （ 2,3）两点 .（1）求抛物线 C 函数表达式；（2）若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点， 以 MA 、MB 为相邻的两边作平行四边的坐标；（3）在抛物线 C 的对称轴上可否存在定点 F ，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 y17 F 的坐标；若不存在，请说明原由 .的距离，若存在，求出定点4【答案】见解析 .【解析】解：（ 1）把 A （ -1,0），B （ 2,3）代入抛物线得：a 2 c 04a 4 c 3解得a 1c 3∴抛物线的函数表达式为：y=－x 2+2x+3（ 2）∵ A （ -1,0）， B （ 2,3），∴直线 AB 的解析式为： y=x+1，以以下图所示，过 M 作 MN ∥ y 轴交 AB 于 N ，设 M(m,－ m 2+2m+3)， N(m,m+1) ，（ -1＜ m ＜2）∴MN =－ m 2+m+2，∴S △△△ 1x A ) MNABM =S AMN +S BMN = ( x B2∴S △ ABM =1( m 2 m 2)33 (m 1 ) 227 ，22 28∴当1 时， △ ABM 的面积有最大值 27，而 S □MANB△ ABM27 ，此时1 7 m8=2S=M (, )242 2（ 3）存在，点 F (1,15)4原由以下：抛物线极点为D ，则 D （ 1,4），则极点 D 到直线 y17 的距离为 1 ，174 4设 F (1, n) 、 P(x, x 22x 3) ，设 P 到直线 y的距离为 PG.4则 PG=17( x 2 2 x3) x 22x 5 ，44∵P 为抛物线上任意一点都有 PG=PF ，∴当 P 与极点 D 重合时，也有 PG=PF .此时 PG= 1，即极点 D 到直线 y17 的距离为 1 ，44 41∴PF =DF = ，∴ F (1,15) ，4∵PG=PF ，∴PG 2=PF 2， ∵ PF 2( x 1)2(15x 2 2x 3)2( x 1)2(x 22x3 )244PG 2( x 22x 5) 2(15 43)25)2∴ (x 1)2x 2 2x 3)2 ( x 1)2( x 2 2 x (x 22x44 4整理化简可得 0x=0，∴当 F (1,15) 时，无论 x 取任何实数，均有 PG=PF .4题型四：反比率函数中面积最值的求解k例 4.（ 2018·扬州一模） 如图 1，反比率函数 y= x （ x ＞ 0）的图象经过点 A （2 3， 1），射线 AB 与反比率函数图象交于另一点 B （ 1， a ），射线 AC 与 y 轴交于点 C ，∠ BAC=75°，AD ⊥y 轴，垂足为 D ． （1）求 k 的值；（2）求 tan ∠ DAC 的值及直线 AC 的解析式；（3）如图 2， M 是线段 AC 上方反比率函数图象上一动点，过 M 作直线 l ⊥ x 轴，与 AC 相交于点 N ，连接 CM ，求 △ CMN 面积的最大值．11【答案】见解析.【解析】解：（ 1）∵将 A（2 3 ， 1）代入反比率函数y＝k ，x∴k＝ 2 3 ；（2）由（ 1）知，反比率函数解析式为y＝2 3，x∵点 B（ 1， a）在反比率函数y＝23 的图象上，x∴a＝ 2 3 ，∴点 B（ 1， 2 3 ）过 B 作 BE⊥ AD 于 E，以以下图所示，则AE＝BE ＝2 3 ﹣1．∴∠ ABE＝∠ BAE＝45°又∵∠ BAC＝75°，∴∠ DAC ＝30°3∴DC ＝ tan30°·AD＝ 2 3 ＝ 2，∴OC＝ 1，即 C（ 0，﹣ 1）设直线 AC 的解析式为y＝kx+b12∴ 2 3kb 1 ，b1解得k3 3 b1∴直线 AC 的解析式为 y ＝ 3 x ﹣ 13（ 3）设 M （ m ，2 3）， N （ m ， 3m ﹣ 1）m3则 MN ＝2 3－ （3 m ﹣ 1）＝2 3﹣ 3 m+1，m3 m 3∴S △CMN ＝ 1 （23 ﹣ 3 m+1） m ＝﹣ m 2+ m+2m 3＝﹣3（ m ﹣ 3 ） 2+ 9 3628当 m ＝3时， △ CMN 的面积有最大值，最大值为9 3 .28题型五：反比率函数中面积最值的求解例 5.（ 2019·达州） 如图 1，已知抛物线 y=－ x 2+bx+c 过点 A(1,0)， B(－ 3,0).（1）求抛物线的解析式及其极点 C 的坐标；（2）设点 D 是 x 轴上一点，当tan （∠ CAO+∠ CDO ） =4 时，求点 D 的坐标；（3）如图 2，抛物线与 y 轴交于点 E ，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA 交BE 于点 M ，交 y 轴于点 N ， △ BMP 和 △ EMN 的面积分别为 m 、 n ，求 m － n 的最大值 .【答案】见解析 .2【解析】解：（ 1）把点（ 1，0），（﹣ 3， 0）代入 y ＝﹣ x +bx+c ，得，0 1 b c ， 0 9 3bc解得 b ＝﹣ 2， c ＝ 3，2 2，∴y ＝﹣ x ﹣ 2x+3 ＝－（ x+1） +4∴此抛物线解析式为： y ＝﹣ x 2﹣2x+3，极点 C 的坐标为（﹣ 1， 4）；13（2）由（ 1）知：抛物线对称轴为x ＝﹣ 1，设抛物线对称轴与x 轴交于点 H ， H （﹣ 1， 0），在 Rt △ CHO 中， CH ＝4， OH ＝ 1，∴ t an ∠COH ＝ CH＝4，OH∵∠ COH ＝ ∠ CAO+∠ ACO ，∴当 ∠ ACO ＝ ∠ CDO 时，tan （ ∠CAO+∠CDO ）＝ tan ∠ COH ＝ 4，以以下图所示，当点 D 在对称轴左侧时，∵∠ ACO ＝∠ CDO ， ∠ CAO ＝∠ CAO ，∴△ AOC ∽△ ACD ，∴ AC AO ，AD AC∵AC ＝ 2 5 ， AO ＝ 1，∴AD ＝ 20， OD ＝ 19，∴D （﹣ 19， 0）；当点 D 在对称轴右侧时，点D 关于直线 x ＝ 1 的对称点 D'的坐标为（ 17， 0），∴点 D 的坐标为（﹣ 19，0）或（ 17， 0）；（ 3）设 P （ a ，﹣ a 2﹣ 2a+3），设直线 PA 的解析式为： y=kx+b ，将 P （ a ，﹣ a 2﹣ 2a+3）， A （ 1， 0）代入 y ＝ kx+b ，ak ba 2 2a 3 k b，解得， k ＝﹣ a ﹣ 3， b ＝ a+3 ，∴ y ＝（﹣ a ﹣ 3） x+a+3，当 x ＝ 0 时， y ＝ a+3，∴ N （ 0，a+3），14以以下图所示，∵m=S △ BPM ＝ S △BPA ﹣ S 四边形 BMNO ﹣ S △AON ， n=S △EMN ＝ S △EBO ﹣ S 四边形 BMNO ，∴m － n ＝ S △BPA ﹣ S △EBO ﹣ S △AON＝ 1×4×（﹣ a 2﹣ 2a+3）﹣ 1 ×3×3﹣ 1×1×（ a+3） 2 2 2＝﹣ 2（ a+ 9 ） 2+ 81，8 32 ∴当 a ＝﹣ 9 时， m － n 有最大值81.832题型六：二次函数中最值及最短路径题型例 6.（2019·绵阳） 在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax 2（ a ＞0）的图象向右平移1 个单位，再向下平移 2 个单位，获取以以下图的抛物线，该抛物线与 x 轴交于点 A 、 B （点 A在点 B 的左侧） ，OA=1，经过点 A 的一次函数 y=kx+b （ k ≠0）的图象与 y 轴正半轴交于点 C ，且与抛物线的另一个交点为D ， △ ABD 的面积为 5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求 △ACE 面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标；（3）若点 P 为 x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+ 3PA 的最小值．5【答案】见解析 .【解析】解：（ 1）由平移知，平移后获取的抛物线解析式为y=a （ x-1）2 -2，∵OA=1，15∴点 A 的坐标为（ -1，0），代入抛物线的解析式得， 4a-2=0 ，得： a= 1，2∴抛物线的解析式为 y1 x 1 21 x2 x3 ．2 ，即 y222令 y=0，解得 x 1=-1 ， x 2 =3，∴B （ 3，0），∴AB =OA +OB=4，∵△ ABD 的面积为 5，1∴S △ ABD = AB ·y D =5∴ y D = 5，25 1 x 2 x 3 ，解得 x 1=-2， x 2=4，2225∴D （ 4， ），设直线 AD 的解析式为 y=kx+b ，∴ 4kb5k12 ，2 ，解得：k b 0b1 2∴直线 AD 的解析式为： y=1x+ 1 . 2 2（ 2）过点 E 作 EM ∥y 轴交 AD 于 M ，以以下图所示，设 E （ a ， 1a 2－ a － 3 ）， M （a ， 1 a+ 1），2 2 2 2∴ME = － 1a 2+ 3a+2 ，2 2∴S △ ACE =S △ AME － S △CME =－ 1 （ a 2－ 3a － 4） =－ 1 （ a － 3 ） 2+25，44 2 1616∴当 a= 3 时， △ ACE 的面积有最大值，最大值是25，此时 E 点坐标为（ 3 ， 15 ）．21628（ 3）作 E 关于 x 轴的对称点 F ，连接 EF 交 x 轴于点 G ，过点 F 作 FH ⊥ AE 于点 H ，交轴于点 P ，∴AG = 5 ， EG = 15，2 8AG 4 ∴,EG3∵∠ AGE=∠ AHP =90° ∴sin ∠= PHEG 3EAGAE，AP53∴PH = AP ，∵E 、 F 关于 x 轴对称，∴PE =PF ，3∴PE + 5 AP=FP+HP=FH ，此时 FH 最小，∵ E F =15， ∠AEG =∠ HEF ，4∴sin ∠ AEG=sin ∠ HEF =AGFH4 AEAE 5∴FH =3．即 PE+ 3PA 的最小值是3． 5例 7.（ 2019·潍坊） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中， O 为坐标原点，点A （ 4， 0），点 B（ 0， 4），△ ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点 C ，且 ⊙M 经过 O ， A ， C 三点．（ 1）求圆心 M 的坐标；（ 2）若直线 AD 与 ⊙ M 相切于点 A ，交 y 轴于点 D ，求直线 AD 的函数表达式；（3）在过点B 且以圆心 M 为极点的抛物线上有一动点 P ，过点 P 作 PE ∥ y 轴，交直线 AD于点 E ．若以 PE 为半径的 ⊙ P 与直线 AD 订交于另一点 F ．当 EF ＝ 4 5 时，求点 P 的坐标．17【答案】见解析．【解答】解：（ 1）∵ AC 为△ ABO 的中线，点B（ 0，4），∴点 C（0， 2），∵点 A（ 4， 0），点M 为线段 AC 的中点，即 M（ 2， 1）；（2）∵⊙P 与直线 AD ，则∠ CAD ＝ 90°，设∠ CAO＝α，则∠ CAO＝∠ ODA＝∠ PEH ＝α，tan∠ CAO＝OC1αα5， cosα＝25 ，OA2＝ tan ，则 sin＝55AC＝ 10 ，则 CD＝AC＝ 10，sin则 D （ 0，﹣ 8），设直线 AD 的解析式为： y＝ mx+n：b8得：，解得： k=2， b=－ 8，4k b 0直线 AD的表达式为： y＝2x﹣ 8；（3）抛物线的表达式为：y＝ a（ x﹣ 2）2+1，3将点 B 坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝3x2﹣ 3x+4，41过点 P 作 PH ⊥ EF，则 EH ＝EF＝ 2 5 ，18(完满版)2020年中考数学动向问题图形最值问题研究(含答案) 21 / 21 cos ∠PEH ＝ EH cos 2 5PE 5得： PE ＝ 5，设点 P （ x ， 3 x 2﹣ 3x+4），则点 E （ x ，2x ﹣ 8），4则 PE ＝ 3 x 2﹣ 3x+4 ﹣ 2x+8＝5，4解得 x ＝ 14 或 2（舍），3则点 P （ 14 ， 19 ）．3 3 19。
2020年中考数学专题培优：二次函数图像和性质(含答案)
2020年中考数学专题培优 二次函数图像和性质一、单选题（共有10道小题）1.抛物线247y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2，-11)B ．(-2，7)C ．(2，11)D ．(2，-3)2.把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A.()2332y x =+- B.()2322y x =++ C.()2332y x =--D.()2332y x =-+3.若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点坐标为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x =1C.当x =1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）。
4.如图，二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论中正确的个数是（）①20a b +=；②420a b c +<-；③0ac >；④当0y <时，1x <－或2x >． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5.将抛物线216212＝－＋yx x 向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( )A ．21(8)52＝－＋yx B ．21(4)52＝－＋y x C ．21(8)32＝－＋y x D ．21(4)32＝－＋y x 6.已知二次函数()²,0y ax bx c c =++≠的图象如图所示，下列说法错误．．的是 ( )A.图像关于直线1x =对称B.函数()²,0y ax bx c c =++≠的最小值是－4C.－1和3是方程()²0,0ax bx c c ++=≠ 的两个根D.当1x <时，y 随x 的增大而增大CA B -1x=1xy O -11xyO7.对于二次函数22y x x =-+，有下列四个结论，其中正确的结论的个数为（）①它的对称轴是直线1x =；②设221112222,2y x x y x x =-+=-+，则21x x >时，有21y y >；③它的图象与x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0) ④当02x << 时，0y > A.1B.2C.3D.48.已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x …… -1 0 1 3 …… y …… -3 1 3 1 …… 则下列判断中正确的是( )A.抛物线开口向上B.抛物线与y 轴交于负半轴C.图象对称轴为直线x=1D.方程02=++c bx ax 有一个根在3与4之间9.如图，一段抛物线24(22)＝－＋－yx x ≤≤为1C ，与x 轴交于0A ，1A 两点，顶点为1D ；将1C 绕点1A 旋转180°得到2C ，顶点为2D ；1C 与2C 组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点111()P x y ，，222()Px y ，，与线段12D D 交于点333()P x y ，，设123x x x ，，均为正数，123＝＋＋t x x x ，则t 的取值范围是( )A ．68t <≤B ．68t ≤≤C ．1012t <≤D ．1012t ≤≤10.在同一平面直角坐标系中，函数y mx m =+,和函数222,)0y mx x m m =-++≠（是常数,且的图象可能是( )yxC 2C 1A 0D 2D 1A 1OAxyOB xy OC x y ODxyO二、填空题（共有7道小题） 11.抛物线开口方向对称轴顶点坐标()232y x =--()2132y x =+12.抛物线()2241y x =--的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ； 当x ＝ 时，y 有最 值为 ；在对称轴左侧，即当x 时，y 随x 的增大而 ， 在对称轴右侧，即当x 时，y 随x 的增大而 .13.在平面直角坐标系中，若将抛物线()132++-=x y 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．14.二次函数422-+=x x y 的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是15.抛物线3422+-=x x y 绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的表达式是 ．16.若抛物线c x x y +-=42的顶点在直线1+=x y 上，求c 的值______ 17.已知点P （m ，n ）在抛物线a x ax y --=2上，当m ≥﹣1时，总有n ≤1成立，则a 的取值范围是 .三、解答题（共有6道小题）18.抛物线()233y x =- 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A ，B 两点坐标及△AOB 的面积19.已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数xy 5=与二次函数c x x y ++-=22的图象交于点A (－1，m )． (1)求m ，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．20.已知抛物线32++=bx ax y 的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程082=-+bx ax 的一个根为4，求方程的另一个根．21.当k 分别取-1，1，2时，函数()2145y k x x k =--+-都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有最大值，请求出最大值。
2020中考数学 二次函数中动点问题专题练习(含答案)
2020中考数学 二次函数中动点问题专题练习（含答案）1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24(2)9y x c =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），交y 轴的正半轴于点C ，其顶点为M ，MH x ⊥轴于点H ，MA 交y 轴于点N ，25sin 5MOH ∠=．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿y 轴折叠，使点A 落在点D 处，连接MD ，Q 为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ 交x 轴于点G ，当Q 点在抛物线上运动时，是否存在点Q ，使以A 、N 、G 为顶点的三角形与ADM △相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG 的解析式；若不存在，请说明理由．（1）∵M 为抛物线24(2)9y x c =--+的顶点，∴(2,)M c ．∴2OH =，||MH c = ． ∵0a <，且抛物线与x 轴有交点， ∴0c >，∴MH c =，∵25sin 5MOH ∠=，∴255MH OM =． ∴52OM c =，∵222OM OH MH =+，∴4MH c ==， ∴(2,4)M ，∴22441620(2)49999y x x x =--+=-++； （2）∵(1,0)A -，∴D (1, 0)，∵M (2, 4)，D (1, 0)， ∴直线MD 解析式：44y x =-，∵ON//MH ，∴AON AHM △∽△， ∴13AN ON AO AM MH AH ===， ∴53AN =，43ON =，40,3N ⎛⎫⎪⎝⎭．如图，若ANG AMD △∽△，可得NG//MD ，∴直线QG 解析式：443y x =+，如图，若ANG ADM △∽△，可得AN AGAD AM=∴256AG =，∴19(,0)6G ，∴84:193QG y x =-+，综上所述，符合条件的所有直线QG 的解析式为：443y x =+或84193y x =-+． 2. 如图，已知点(2,4)A -和点(1,0)B 都在抛物线22y mx mx n =++上． （1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，若四边形AA B B ''为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB '的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B '、C 、D 为顶点的三角形与ABC △相似．（1）因为点(2,4)A -和点(1,0)B 都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =．（2）如图，由点(2,4)A -和点(1,0)B ，可得5AB =．因为四边形AA B B ''为菱形，所以5AA B B AB '='==．因为248433y x x =--+2416(1)33x =-++，所以原抛物线的对称轴1x =-向右平移5个单位后，对应的直线为4x =．因此平移后的抛物线的解析式为,2416(4)33y x =--+．（3）由点(2,4)A -和点(6,0)B '，可得AB '=．如图，由//AM CN ，可得B N B CB M B A''=''，即28．解得B C 'AC =．又BAC CB D '∠=∠． ①如图，当AB B C AC B D '='=3B D '=．此时3OD =，点D 的坐标为(3,0)． ②如图，当AB B D AC B C '='时，=，解得53B D '=．此时133OD =，点D 的坐标为13,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，1(3,0)D ，213,03D ⎛⎫⎪⎝⎭满足条件．3. 如图，已知抛物线C 1:1(2)()(0)y x x m m m=-+->与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点()2,2M ，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH EH +最小，并求出点H 的坐标；xyABO（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与BCE △相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．（1）∵抛物线C 1过点()2,2M ，∴12(22)(2)m m=-+-，解得4m =． （2）由（1）可得1(2)(4)4y x x =-+-的对称轴为1x =．连接CE ，交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH EH +最小．设直线CE 的解析式为+y kx b =，则4+02k b b =⎧⎨=⎩，解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴直线CE 的解析式为1+22y x =-.当1x =时，32y =．∴31,2H ⎛⎫⎪⎝⎭．（3）存在．分两种情形讨论：①当BEC BCF △∽△时，如图所示. 则BE BC BC BF=，∴2BC BE BF =⋅.由（2）知(2,0)B -，(0,2)E ，即OB OE =， ∴45EBC ∠=︒，∴45CBF ∠=︒.作FT x ⊥轴于点F ，则.BT TF =∴令(,2)F x x --(x ＞0)，又点F 在抛物线上，∴2x --=1(2)()x x m m-+-，∵20x +＞(∵x ＞0)，∴2x m =，2,22)F m m --（.此时22(22)(22)22(1)222BF m m m BE BC m =++--=+==+，， 又2BC BE BF =⋅，∴(m +2)2=2222(1)m ⋅+，解得222m =±.0m >Q ，222m ∴=+.②当BEC FCB △∽△时，如图所示．则BC ECBF BC=，2BC EC BF ∴=⋅．同①，=EBC CFB ∠∠Q ，BTF COE △∽△，2TF OE BT OC m∴==．∴令2,(2)F x x m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(0)x >，又点F 在抛物线上，21(2)|2|()x x x m m m∴-+=-+-．20(0)x x +>>Q ，2x m ∴=+．2(2,(4)F m m m∴+-+，EC =2BC m =+．又2BC EC BF =⋅，2(2)m ∴+=综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形2m =．4. 如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线3y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与ABC △相似，求k 的值．（1）83k =；（2）452k =或．5.如图5-1，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过(3,0A ）、(4,4)B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；（3）如图5-2，若点N 在抛物线上，且NBO ABO ∠=∠，则在（2）的条件下，求出所有满足POD NOB △∽△的点P 的坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）．图5-2（1）∵抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(3,0)A 、(4,4)B ． ∴，解得．∴抛物线的解析式是．（2）设直线OB 的解析式为1y k x =，由点(4,4)B ， 得：，解得：．∴直线OB 的解析式是．∴直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：． ∵点D 在抛物线上． ∴可设2(,3)D x x x -．又点D 在直线y x m =-上，∴，即． ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴，解得：． 此时，， ∴D 点坐标为(2,2)-．（3）∵直线OB 的解析式为y x =，且(3,0)A ，点A 关于直线OB 的对称点'A 的坐标是(0, 3)．设直线'A B 的解析式为，过点(4,4)B ，∴，解得：．∴直线'A B 的解析式是．∵，∴点N 在直线上，∴设点，又点N 在抛物线上，图②图①9301644a b a b +=⎧⎨+=⎩13a b =⎧⎨=-⎩23y x x =-144k =11k =y x =y x m =-23y x x =-23x x x m -=-240x x m -+=1640m ∆=-=4m =122x x ==232y x x =-=-23y k x =+2434k +=214k =134y x =+NBO ABO ∠=∠A B '134N n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，23y x x =-∴， 解得：，（不合题意，舍去），∴点N 的坐标为．方法一：如图1，将沿x 轴翻折，得到， 则，，∴O 、D 、都在直线上． ∵， ∴， ∴， 点的坐标为． 将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点． 综上所述，点P 的坐标是或．方法二：如图2，将绕原点顺时针旋转90︒，得到，则，， ∴O 、D 、B 2都在直线y x =-上．∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点． 综上所述，点的坐标是或．21334n n n +=-134n =-24n =345416⎛⎫- ⎪⎝⎭，NOB △11N OB △1345416N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()144B -，1B y x =-1POD NOB △∽△111POD N OB △∽△11112OP OD ON OB ==1P 345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1OPD △y x =-2453328P ⎛⎫⎪⎝⎭，345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭，453328⎛⎫ ⎪⎝⎭，NOB △22N OB △2453164N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()244B -，1POD NOB △∽△122POD N OB △∽△12212OP OD ON OB ==1P 453328⎛⎫⎪⎝⎭，1OPD △y x =-2345832P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，P 345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭，453328⎛⎫ ⎪⎝⎭，6. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且PBC △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得QCO △，QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）令0y =，即211(1)0444by x b x =-++=，解得：1x =或b ， ∵b 是实数且2b >，点A 位于点B 的左侧，∴点B 的坐标为(b , 0)，令0x =，解得：4by =，∴点C 的坐标为0,4b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：(b , 0)，0,4b ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）存在，假设存在这样的点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且PBC △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形．设点P 的坐标为(x , y )，连接OP ．则S 四边形112242PCO POB b PCOB S S x b y b =+=⋅⋅=⋅⋅=△△，∴416x y +=．过P 作PD x ⊥轴，PE y ⊥轴，垂足分别为D 、E ， ∴90PEO EOD ODP ∠=∠=∠=︒．∴四边形PEOD 是矩形． ∴90EPD ∠=︒．∴EPC DPB ∠=∠． ∴PEC PDB △≌△， ∴PE PD =，即x y =．由416x y x y =⎧⎨+=⎩解得165165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由PEC PDB △≌△得EC DB =， 即1616545b b -=-， 解得128225b =>符合题意．∴P 的坐标为1616,55⎛⎫⎪⎝⎭；（3）假设存在这样的点Q ，使得QCO △，QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似．∵QAB AOQ AQO ∠=∠+∠，∴QAB AOQ ∠∠＞，QAB AQO ∠∠＞．∴要使QOA △与QAB △相似，只能90QAO BAQ ∠=∠=︒，即QA x ⊥轴． ∵2b ＞，∴AB OA ＞，∴QOA ABQ ∠∠＞． ∴只能AOQ AQB ∠=∠．此时90OQB ∠=︒， 由QA x ⊥轴知QA ∥y 轴．∴COQ OQA ∠=∠．∴要使QOA △与OQC △相似，只能90QCO ∠=︒或90OQC ∠=︒． （I ）当90OCQ ∠=︒时，CQO QOA △≌△．∴4bAQ CO ==．由2AQ OA AB =⋅得：214b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．解得：843b =±．∵2b >，∴843b =+． ∴点Q 的坐标是(1,23)+．（II ）当90OQC ∠=︒时，OCQ QCA △∽△，∴OQ AQ CO QO =，即2OQ OC AQ =⋅．又2OQ OA OB =⋅，∴OC AQ OA OB ⋅=⋅．即14bAQ b ⋅=⨯．解得：AQ =4，此时b =17＞2符合题意，∴点Q 的坐标是(1, 4)． ∴综上可知，存在点(1,23)Q +或Q (1, 4)，使得QCO △，QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似．7. 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，过C 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为(1,0)-，B 点坐标为(4, 0)． （1）试求点C 的坐标；（2）若抛物线2y ax bx c =++过ABC △的三个顶点，求抛物线的解析式；（3）点(1,)D m 在抛物线上，过点A 的直线1y x =--交（2）中的抛物线于点E ，那么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P ，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与ABE △相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．（1）在中，，，由射影定理，得：，即，∴(0,2)C ； （2）∵抛物线经过(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C ， 可设抛物线的解析式为(1)(4)(0)y a x x a =+-≠，则有：2(01)(04)a =+-，，∴2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=++（3）存在符合条件的点，且或．根据抛物线的解析式易知：(1,3)D ，联立直线和抛物线的解析式有：， 解得，，∴(6,7)E -，∴，即， ，即，∴，若以、、为顶点的三角形与相似，则有两种情况：①；②． 易知，，Rt ABC △90ACB ∠=︒OC AB ⊥24OC OA OB =⋅=2OC =12a =-P 1307P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2205⎛⎫- ⎪⎝⎭，AE 2132221y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=--⎩10x y =-⎧⎨=⎩67x y =⎧⎨=-⎩30tan 141DBO -∠==-45DBO ∠=︒()()07tan 161EAB --∠==--45EAB ∠=︒DBA EAB ∠=∠P B D ABE △PBD BAE △∽△PBD EAB △∽△BD =EA =5AB =由①得：，即， 即，，由②得：即，，∴或．PB BD AB AE =5PB =157PB =137OP OB PB =-=BP BD AE AB '==425P B '=225OP OB BP ''=-=-1307P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2205⎛⎫- ⎪⎝⎭，8. 已知抛物线(3)(1)(0)y a x x a =+-≠，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线3y x b =-+与抛物线的另一个交点为D ．（1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与ABC △相似，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒23个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？（1）∵(3)(1)y a x x =+-，∴点A 的坐标为(3,0)-、点B 两的坐标为(1,0)， ∵直线3y x b =-+经过点A ，∴33b =-， ∴333y x =--，当2x =时，53y =-，则点D 的坐标为(2,53)-， ∴(23)(21)53a +-=-，解得，3a =-， 则抛物线的解析式为23(3)(1)32333y x x x x =-+-=--+； （2）如图1中，作PH x ⊥轴于H ，设点P 坐标(,)m n ，当BPA ABC △∽△时，BAC PBA ∠=∠，∴tan tan BAC PBA ∠=∠，即OC PHOA HB=，∴331a nm --=-+，即(1)n a m =--， ∴(1)(3)(1)n a m n m m =--⎧⎨=+-⎩解得4m =-或1（舍弃），当4m =-时，5n a =， ∵BPA ABC △∽△，∴AC ABAB PB=， ∴2AB AC PB =⋅，∴2242992525a a =+⋅+，解得15a =或15-（舍弃），则155n a ==-，∴点P 坐标154,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 当PBA ABC △∽△时，CBA PBA ∠=∠，∴tan tan CBA PBA ∠=∠，即OC PHOB HB=，∴311a nm --=-+，∴3(1)n a m =--，∴3(1)(3)(1)n a m n a m m =--⎧⎨=+-⎩， 解得6m =-或1（舍弃），当6m =-时，21n a =，∵PBA ABC △∽△，∴BC ABBA PB=，即2AB BC PB =⋅， ∴2224242197(21)a a ==+⋅+-，解得7a =-或7（不合题意舍弃），则点P 坐标76,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，综上所述，符合条件的点P 的坐标154,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和76,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． （3）如图2中，作DM//x 轴交抛物线于M ，作DN x ⊥轴于N ，作EF DM ⊥于F ，则53tan 3DN DAN AN ∠===，∴60DAN ∠=︒，∴60EDF ∠=︒，∴23sin EF DE EF EDF ==∠，∴Q 的运动时间123BE t BE EF =+=+，∴当BE 和EF 共线时，t 最小， 则BE DM ⊥，此时点E 坐标(1,43)-．9. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(2,2)-，点B 的坐标为(6,6)，抛物线经过A 、O 、B 三点，连结OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点E ． （1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线EF 与抛物线交于M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求BON △面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；（4）连结AN ，当BON △面积最大时，在坐标平面内求使得BOP △与OAN △相似（点B 、O 、P 分别与点O 、A 、N 对应）的点P 的坐标．（1）设 将点(2,2)A -，(6,6)B 代入得 得，．∴ 当时，．∴ （2）设抛物线的函数解析式为， ∴，解得，．∴抛物线的解析式为．（3）过点作轴的垂线NG ，垂足为G ，交OB 于点Q ，过B 作轴于H ，设，则则∴当时，面积最大，最大值为，此时点的坐标为．（4）解：过点作于S∵(2,2)A -，(6,6)B ，∴，，，， 在和中，∴∴ ∴ ∴．∴的延长线上存在一点，使．∵，，在中， y mx n =+2266m n m n -+=⎧⎨+=⎩12m =3n =132y x =+0x =3y =(03)E ，2y ax bx =+4223666a b a b -=⎧⎨+=⎩14a =12b =-21142y x x =-N x BH x ⊥21142N x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()Q x x ，BON QON BQN S S S ∆∆∆=+1122QN OG QN GH =⨯⨯+⨯⨯1()2QN OG GH =⨯⨯+12QN OH =⨯⨯21116242x x x ⎡⎤⎛⎫=--⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦23942x x =-+2327(3)44x =--+(06)x <<3x =BON △274N 334⎛⎫ ⎪⎝⎭，A AS GQ ⊥334N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 45AOE OAS BOH ∠=∠=∠=︒3OG =34NG =54NS =5AS =Rt SAN △Rt NOG △1tan tan 4SAN NOG ∠=∠=SAN NOG ∠=∠OAS SAN BOG NOG ∠-∠=∠-∠OAN BON ∠=∠ON P BOP OAN △∽△()22A -，334N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Rt ASN △22517AN AS SN =+=当时，得 过点P 作轴于点T ，∴． ∴，设P (4t , t )， ∴ ，（舍）．∴点的坐标为．将沿直线OB 翻折，可得出另一个满足条件的点 由以上推理可知，当点P 的坐标为或时，与相BOP OAN △∽△OB OP OA AN ==OP =PT x ⊥OPT ONG △∽△14PT NG OT OG ==22(4)t t +=2⎝⎭1154t =2154t=-P 15154⎛⎫ ⎪⎝⎭，OPT △15154P ⎛⎫' ⎪⎝⎭，15154⎛⎫ ⎪⎝⎭，15154⎛⎫⎪⎝⎭，BOP △OAN △。
2020中考专题复习：动点函数图像问题
2020中考专题复习：动点函数图像问题一、解题方法归纳：函数图象问题为广东中考的高频考点,2016年和2018年广东中考数学第10题都曾考到,预计2020年中考还会考到此类题型.其中由几何图形中的某些元素(点或线段或其他图形)的变化,从而导致相应的线段长度、线段比值或图形面积发生变化,进而分析两个变量之间的函数关系, 判断函数图象大致形状是这类题型的一个难点。
解决此类问题的关键是“化动为静,以静探动”即首先把动态问题按运动路径分类，每类形成相对静态问题，然后通过对各类相对静态问题的解决从而探究整体问题的解决。
解决这类题目通常按下面的步骤来进行:(1)根据点运动或图形运动的路径的特点进行分类讨论, 得到自变量的取值范围;(2)在某一个确定的范围内,用含自变量x(或t)的代数式表示出所需的线段长,利用面积公式或三角形相似的性质等,表示出所求图形的面积或线段比,化简得出y(或s)关于x(或t)的关系式;(3)根据关系式,结合自变量的取值范围,判断出函数图象.典型例题讲解：类型一：点动问题例1.如图,一只蚂蚁从O点出发,沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周,当蚂蚁运动的时间为t 时,蚂蚁最终与O点的距离为s,则s关于t的函数图象大致是( )针对性练习：1. (青海)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P 从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A 和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为( )2. (资阳)如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O 的路线匀速运动，设∠APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是( )3. 如图，等边△ABC的边长为2 cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→B→C的方向向点C移动，若△APQ的面积为S(cm2)，则下列最能反映S(cm2)与移动时间t(s)之间函数关系的大致图象是( )4. (泰安)如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是( )5. 如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的点，且AE＝BF ＝CG＝DH.设小正方形EFGH的面积为y，AE＝x，则y关于x的函数图象大致是( )类型二：线动，面动问题例2. 如图，正方形ABCD的顶点A(0，22)，B(22，0)，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t，(0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分(阴影部分)的面积为S，则函数S与t的图象大致是( )针对性练习：1. (鄂州)如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是( )2. (莆田)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD，设PD＝x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是( )3. (钦州)如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，tan∠B＝43.点D是边BC上的一个动点(点D与点B不重合)，过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F是AD的中点，连接EF.设△AEF的面积为y，点D从点B沿BC运动到点C的过程中，D与B的距离为x，则能表示y与x的函数关系的图象大致是( )。
2020年武汉市华一寄宿中考三轮冲刺复习培优同步练习：《二次函数》动点问题压轴答案解析
同步练习：《二次函数》动点问题压轴1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．（1）P的坐标，C的坐标；（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+4的顶点坐标为（3，），与y轴交于点A．过点A作AB∥x轴，交抛物线于点B，点C是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E在y轴的负半轴上，且AE＝AD，直线CE交抛物线y＝ax2+bx+4于点F．①求点F的坐标；②过点D作DG⊥CE于点G，连接OD、ED，当∠ODE＝∠CDG时，求直线DG的函数表达式．3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+4，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y 轴交于C点．（1）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由．（2）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．4．《函数的图象与性质》拓展学习展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线G1：y＝ax2+bx+与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，则a＝，b＝．【操作】将图①中抛物线G1沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线G2，G2在y轴左侧的部分与G1在y轴右侧的部分组成的新图象记为G，如图②．请直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点C作直线l平行于x轴，与图象G交于D，E两点，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．【应用】P是抛物线G2对称轴上一个动点，当△PDE是直角三角形时，直接写出P点的坐标．5．如图，已知二次函数y＝x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B，C；（2）当P点运动到（﹣1，﹣2）时，判断PB与⊙C的位置关系，并说出理由；（3）是否存在点P，使得△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值＝．6．如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将△ABO沿x轴正方向平移后，点A、点B的对应点分别为点D、点C，且四边形ABCD为菱形，连接AC，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，点P为AC上方抛物线上一动点，作PE⊥AC，垂足为E．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）求线段PE长度的最大值；（3）如图②，延长PE交x轴于点F，连接OP，若△OPF为等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．7．如图①，直线y＝﹣x﹣3分别与x轴、y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c经过B，C 两点，且与x轴的另一交点为A（1，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图①，点P在第三象限内的抛物线上．①连接AC，PB，PC，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；②G为x轴上一点，当PG+AG取得最小值时，求点P的坐标；（3）如图②，Q为x轴下方抛物线上任意一点，D是抛物线的对称轴与x轴的交点，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M，N．问：DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝x+相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于点D，抛物线的顶点为M．（1）求抛物线的表达式及点M的坐标；（2）设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；（3）Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点Q与点M对应）时，求点Q的坐标．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．10．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．11．如图，二次函数y＝+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）直接写出二次函数的解析式；（2）当P，Q运动到t秒时，将△APQ沿PQ翻折，若点A恰好落在抛物线上D点处，求出D点坐标；（3）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F恰好落在y轴上，求出对应的点P的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，且其对称轴为x＝1，其中点C（0，），点B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图（1），点D是直线CB上方抛物线上的动点，当四边形DCAB的面积取最大值时，求点D的坐标；②如图（2），连接CA，在抛物线上有一点M，满足∠MCB＝∠ACO，请直接写出点M的横坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝x2+6x+2的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2，直线l：y＝kx+b经过M，N两点．（1）求点M的坐标，并结合图象直接写出不等式x2+6x+2＜kx+b的解集；（2）若抛物线C2的顶点D与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；（3）若抛物线C1与x轴的交点为E、F，试问四边形EMBD是何种特殊四边形？并说明其理由．15．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C．其顶点为D．（1）求点D的坐标和直线BC对应的一次函数关系式；（2）若正方形PQMN的一边PQ在线段AB上，另两个顶点M、N分别在BC、AC上，试求M、N两点的坐标；（3）如图2，E是线段BC上的动点，过点E作DE的垂线交BD于点F，求DF的最小值．参考答案1．解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得x＝1或5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有，解得：，∴直线PC的解析式为y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝，∴BE＝，∴E（，0）或E′（，0），则直线PE的解析式为y＝﹣6x+22，∴Q（，﹣5），直线PE′的解析式为y＝﹣x+，∴Q′（，﹣5），综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（，﹣5）或（，﹣5）．2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4的顶点坐标为（3，），∴y＝a（x﹣3）2+＝ax2﹣6ax+9a+，∴9a+＝4，∴a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）如图1，设C（m，﹣m2+m+4）；∵AD＝AE，AD∥x轴，CD∥y轴，∴AD＝AE＝m，∵OA＝4，∴OE＝m﹣4，∵点E在y轴的负半轴上，∴E（0，4﹣m），设CE的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴CE的解析式为：y＝（﹣）x+4﹣m，解法一：∴﹣x2+x+4＝（﹣）x+4﹣m，∴﹣x2+（m﹣1）x+m＝0，x2+（4﹣m）x﹣4m＝0，（x+4）（x﹣m）＝0，x 1＝﹣4，x2＝m，∴定点F（﹣4，﹣6）；解法二：CE的解析式为：y＝（﹣）x+4﹣m＝（﹣x﹣1）m+x+4，由画图可知：F是直线CE上的定点，∴﹣x﹣1＝0，∴x＝﹣4，∴定点F（﹣4，﹣6）；②如图2，过E作EH⊥CD于H，交DG于Q，连接OQ，由①知：OE＝m﹣4，∵∠DAE＝∠ADH＝∠EHD＝90°，AD＝AE，∴四边形AEHD是正方形，∴∠EDH＝45°，AD＝AE＝DH＝EH，∵∠ODE＝∠CDG，∴∠ODE+∠EDQ＝∠EDQ+∠CDG＝45°，即∠ODQ＝45°，∴∠ADO+∠CDG＝45°，在OA的延长线上取AP＝QH，连接PD，∵∠PAD＝∠QHD＝90°，AD＝DH，∴△PAD≌△QHD（SAS），∴PD＝DQ，∠ADP＝∠CDG，AP＝QH，∴∠ADP+∠ADO＝45°＝∠ODQ，∵OD＝OD，∴△PDO≌△QDO（SAS），∴OP＝OQ，∵EH＝DH，∠EHC＝∠DHQ，∠GEH＝∠CDG，∴△EHC≌△DHQ（ASA），∴CH＝QH＝﹣（m﹣4）＝＝AP，∴OQ＝OP＝4+，∵OE＝m﹣4，EQ＝EH﹣QH＝m﹣（）＝﹣m，在Rt△OEQ中，由勾股定理得：OE2+EQ2＝OQ2，∴（m﹣4）2+（﹣）2＝（4+）2，m3﹣10m2﹣24m＝0，解得：m1＝0（舍），m2＝12，m3＝﹣2（舍），∴D（12，4），Q（6，﹣8），设直线DG的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴直线DG的函数表达式为：y＝2x﹣20．3．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4）（0＜x＜8），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（2）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），∴MN＝|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|＝|﹣m2+2m|．又∵MN＝3，∴|﹣m2+2m|＝3．当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3＝0，解得：m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3＝0，解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．4．解：【问题】y＝ax2+bx+＝a（x+1）（x﹣3），解得：a＝，b＝1，故答案为：﹣，1；【操作】抛物线G1沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线G2，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平移个单位，G1：y＝ax2+bx+＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，G2：y＝﹣（x﹣1+3）2+2+＝﹣x2﹣2x+，当x≥0时，y＝﹣x2﹣2x+，当x＜0时，y＝﹣x2+x+；【探究】C点的坐标为（0，）．当y＝时，，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，），当时，，解得：x1＝0，x2＝﹣4，∴D（﹣4，），∵，，∴抛物线G1的顶点为（1，2），抛物线G2的顶点为（﹣2，），∴﹣4＜x＜﹣2或0＜x＜1时，函数y随x的增大而增大；【应用】如图，过点P作x轴的平行线交过点D与x轴的垂线于点M，交过E点与x轴的垂线于点N，设点P（﹣2，m），则EN＝﹣m，PN＝4，DM＝﹣m，PM＝2，∵∠EPN+∠MPD＝90°，∠MDP+∠DPM＝90°，∴∠EPN＝∠MDP，∴tan∠EPN＝tan∠MDP，即，即，解得：m＝±2，故点P的坐标为：．5．解：（1）在y＝x2﹣4中，令y＝0，则x＝±3，令x＝0，则y＝﹣4，∴B（3，0），C（0，﹣4）；故答案为：（3，0），（0，﹣4）；（2）如图（2），当P点运动到（﹣1，﹣2）时，即处于点P1位置，此时，P（P1）B与⊙C相切；∵P 1（﹣1，﹣2），而点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣4）， ∴P 1B 2＝20，P 1C 2＝5，BC 2＝25，故P 1B 2+P 1C 2＝BC 2， ∴CP 1⊥P 1B ， ∴P 1B 与⊙C 相切；（3）存在点P ，使得△PBC 为直角三角形，当PB 与⊙相切时，△PBC 为直角三角形，如图（2）， 连接BC ， ∵OB ＝3．OC ＝4， ∴BC ＝5， ∵CP 2⊥BP 2，CP 2＝，∴BP 2＝2，过P 2作P 2E ⊥x 轴于E ，P 2F ⊥y 轴于F ， 则△CP 2F ∽△BP 2E ，＝，设OF ＝P 2E ＝2x ，FP 2＝OE ＝x ， ∴BE ＝3﹣x ，CF ＝2x ﹣4， ∴＝2， ∴x ＝，2x ＝，∴FP2＝，EP2＝，∴P2（，﹣），由（2）知，P1符合条件，即P1（﹣1，﹣2）；综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，﹣）；（4）如图（3），连接AP，∵OB＝OA，BE＝EP，∴OE＝AP，∴当AP最大时，OE的值最大，∵当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值＝5+，∴OE的最大值为故答案为：．6．解：（1）∵当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣2，∴，∴BC＝AB＝＝4，∴，∴，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；（2）过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点G，设直线AC为：y＝kx+t，则，解得，∴．设，则，∴＝，∵，∴∠BAO＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠CAD＝30°，∴∠PGE＝∠AGH＝60°，∴，∴＝＝＝，∵，∴当x＝1时，PE最大，最大值为；（3）由（2）知：∠CAD＝30°＝∠EAF，则∠AFE＝90°﹣∠EAF＝60°，当△OPF为等腰三角形，则△OPF为等边三角形，则直线OP的倾斜角为60°，设直线OP的表达式为：y＝x②，联立①②并解得：x ＝﹣2±2，∵点P 为AC 上方抛物线上一动点，即﹣2＜x ＜4， 故x ＝﹣2+2， 故点P （﹣2+2，6﹣2）．7．解：（1）在y ＝﹣x ﹣3中，令x ＝0，得y ＝﹣3；令y ＝0，得x ＝﹣3． ∴B （﹣3，0），C （0，﹣3）．设抛物线的函数解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1）． 将点C （0，﹣3）代入，得a ＝1． ∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）①如图1，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ．设点P 的坐标为（t ，t 2+2t ﹣3），则点F 的坐标为（t ，﹣t ﹣3）． ∴PF ＝﹣t ﹣3﹣（t 2+2t ﹣3）＝﹣t 2﹣3t ．∴S 四边形ABPC ＝S △BPC +S △ABC ＝PF •OB +AB •OC ＝（﹣t 2﹣3t ）+6＝．∵＜0，∴当t ＝时，S 四边形ABPC 取得最大值．∴此时点P 的坐标为；②如图2，作点P 关于x 轴的对称点P '，PP '交x 轴于点I ，连接AP ，AP '，过点P 作PJ ⊥AP '于点J ，交x 轴于点G ．当GJ ＝AG 时，PG +AG 取得最小值，此时sin ∠GAJ ＝．∴tan ∠GAJ ＝．设点P 的坐标为（t ，t 2+2t ﹣3），则PI ＝﹣t 2﹣2t +3，AI ＝﹣t +1． 由对称的性质，得∠PAI ＝∠GAJ ， ∴tan ∠PAI ＝，即．解得t 1＝，t 2＝1（舍去）．∴此时点P 的坐标为；（3）DM +DN 是定值．如图3，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ．∵ND ⊥x 轴， ∴QH ∥ND ．∴△BQH ∽△BND ，△AMD ∽△AQH ． ∴，．设点Q 的坐标为（k ，k 2+2k ﹣3），则HQ＝﹣k2﹣2k+3，BH＝3+k，AH＝1﹣k．∵D是抛物线的对称轴与x轴的交点，∴AD＝BD＝2．∴，．∴DN＝2﹣2k，DM＝2k+6．∴DM+DN＝2k+6+2﹣2k＝8．∴DM+DN是定值，该定值为8．8．解：（1）把点B（4，m）代入y＝x+中，得m＝，∴B（4，），把点A（﹣1，0）、B（4，）、C（0，﹣）代入抛物线中，得，解得∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，∴点M的坐标为（1，﹣2）．（2）∵点P为直线AB下方抛物线上一动点，∴﹣1＜x＜4，如图1所示，过点P作y轴的平行线交AB于点H，设点P的坐标为（m，m2﹣m﹣），则点H（m，m+），S △PAB ＝•HP •（x B ﹣x A ）＝•（﹣m 2+m +2）×5＝﹣（m ﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m ＝时，S 最大，最大为，此时点P （，﹣）．（3）如图2所示，令y ＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴D （3，0），∵M （1，﹣2），A （﹣1，0）， ∴△AMD 为等腰直角三角形， 设点N 的坐标为（n ，n 2﹣n ﹣）， ∵△QEN ≌△MFQ （AAS ），∴FQ ＝EN ＝2，MF ＝EQ ＝n 2﹣n ﹣， ∴n 2﹣n ﹣+1＝n +2， 解得n ＝5或﹣1（舍）， ∴点Q 的坐标为（7，0），根据对称性可知，点Q 的坐标为（﹣5，0）时也满足条件， ∵△ADM 是等腰直角三角形，∴当点Q 是AD 的中点，N 与A 或D 重合时，△QMN ∽△MAD ， 此时Q （1，0）时．综上所述：点Q 的坐标为（7，0）或（﹣5，0）或（1，0）． 9．解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC＝，设点E（0，m），则AE＝，CE＝|m+3|，∵△ACE是等腰三角形，∴①当AC＝AE时，＝，∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），∴E（3，0），②当AC＝CE时，＝|m+3|，∴m＝﹣3±，∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），③当AE＝CE时，＝|m+3|，∴m＝﹣，∴E（0，﹣），即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+2或t＝1﹣2，∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．10．解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；（2）设直线OA解析式为y＝kx，把A（3，3）代入得：k＝1，即直线OA解析式为y＝x，∵PB⊥x轴，∴P，C，B三点纵坐标相等，∵B（m，0），∴把x＝m代入y＝x中得：y＝m，即C（m，m），把x＝m代入y＝﹣x2+4x中得：y＝﹣m2+4m，即P（m，﹣m2+4m），∵P在直线OA上方，∴PC＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m（0＜m＜3），当m＝﹣＝时，PC取得最大值，最大值为＝．11．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴，解得，∴二次函数的解析式为；（2）如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作FQ⊥AP于F，∵AP＝AQ＝t，AP＝DP，AQ＝DQ，∴AP＝AQ＝QD＝DP，∴四边形AQDP为菱形．∵FQ∥OC，∴，∴，∴，，∴．∵DQ＝AP＝t，∴．∵D在二次函数上，∴，∴，或t＝0（与A重合，舍去），∴；（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．如图，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），∴AB＝4，OA＝3，OC＝4，∴，AQ＝4．∵QD∥OC，∴，∴，∴，．①作AQ的垂直平分线，交x轴于E，此时AE＝EQ，即△AEQ为等腰三角形．设AE＝x，则EQ＝x，DE＝|AD﹣AE|＝|﹣x|，∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，∴OA﹣AE＝3﹣＝﹣，∴E（﹣，0），点E在x轴的负半轴上；②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE＝QA＝4，∵ED＝AD＝，∴AE＝，∴OA﹣AE＝3﹣＝﹣，∴E（﹣，0）；③当AE＝AQ＝4时，∵OA﹣AE＝3﹣4＝﹣1，或OA+AE＝7，∴E（﹣1，0）或（7，0）．综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．12．解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，∴A（﹣4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入抛物线解析式得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）①如图1，作PF∥BO交AB于点F，∴△PFD∽△OBD，则，∵OB＝4为定值，∴当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵﹣＜0且对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，∴；②∵点C（2，0），∴CO＝2，如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，在△CPH和△FCO中，∠HPC＝∠OCF，∠PHC＝∠COF，PC＝FC，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，∴，解得，，∴，．13．解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线的解析式是：①；（2）①设直线BC的解析式为y＝kx+．∵直线BC过点B（3，0），∴0＝3k+，则k＝，故直线BC解析式为y＝x+．设直线m解析式为，且直线m∥直线BC，当直线m与抛物线只有一个交点时，点D到BC的距离最远，此时△BCD取最大值，故四边形DCAB有最大值．令，∴，△＝（﹣3）2﹣4××（3b﹣3）＝0时，直线m与抛物线有唯一交点，解之得：，则直线m的表达式为：y＝﹣x+②，联立①②并解得，∴D；②存在，点M的横坐标为或；符合条件的直线有两条：CM1和CM2（分别在CB的上方和下方），（Ⅰ）∵在Rt△ACO中，∠ACO＝30°，在Rt△COB中，∠CBO＝30°，∴∠BCM1＝∠BCM2＝15°，∵在△BCE中，∠BCE＝∠BEC2＝15°，∴BC＝BE＝，则E（，0），设直线CE解析式为：，∴，解之得：k＝，∴直线CE解析式为：，∴，解得：x1＝0，x2＝2﹣1；（Ⅱ）∵在Rt△OCF中，∠CBO＝30°，∠BCF＝15°，∴在Rt△COF中，∠CFO＝45°，∴OC＝OF＝，∴F（，0），∴直线CF的解析式为③，联立①③并解得：x3＝0（舍去），，即点M的横坐标为：或．14．解：（1）令y＝x2+6x+2中x＝0，则y＝2，∴N（0，2）；∵y＝x2+6x+2＝（x+2）2﹣4，∴M（﹣2，﹣4）．观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0时，抛物线C1在直线l的下方，∴不等式x2+6x+2＜kx+b的解集为﹣2＜x＜0；（2）∵y＝x2+6x+2抛物线C1：的顶点为M（﹣2，﹣4），沿x轴翻折后的对称点坐标为（﹣2，4）．∵抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，∴抛物线C2的顶点坐标为（2，4），∴p＝2﹣（﹣2）＝4．∵抛物线C2与C1开口大小相同，开口方向相反，∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+6x﹣2；（3）令y＝x2+6x+2＝0，则x＝﹣2，即点E、F的坐标分别为（﹣2﹣，0）、（﹣2+，0），点M（﹣2，﹣4）；同理点A、B、D的坐标分别为（2﹣，0）、（2+，0）、（2，4），由点的对称性知，DM、EB相互平分，故四边形EMBD是平行四边形，经验证该四边形不是矩形、菱形，故四边形EMBD是平行四边形．15．解：（1）y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），则函数的对称轴为x＝1，故点D（1，4）；设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故一次函数的表达式为：y＝﹣x+3；（2）如图1，由点A、C的坐标，同理可得直线AC的表达式为：y＝3x+3，设点M（m，﹣m+3），点N（n，3n+3），由题意得：NP＝MQ＝PQ，即m﹣n＝﹣m+3＝3n+3，解得：m＝，n＝﹣，故M（，），N（，）；（3）如图2，当以DF为直径的圆与BC有公共点，即圆相切于直线BC时，DF最小，设以DF为直径的圆的圆心为R，半径为r，∵圆相切于直线BC，故ER⊥BC，由点C、D的坐标知，直线CD的倾斜角为45°，而直线BC与x轴负半轴的夹角为45°，故直线CD与BC的夹角为90°，即CD⊥BC，由点B、C、D的坐标知，BD＝＝，同理CD＝，∴ER∥CD，故△BER∽△BCD，即，则，解得：r＝，DF最小值为2r＝＝．。
2020年中考数学压轴专题：函数的图象与性质专题(含答案)
2020中考数学 压轴专题 函数的图象与性质专题（含答案）1. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数y =mx ＋5(m ≠0)的图象与反比例函数y =足为点M ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ,使PA ＋PB 的值最小并求出此时点P 的坐标．第1题图将B (4,1)代入y =mx ＋5得:1=4m ＋5,△m =－1,△y =－x ＋5；(3)如解图,作点A 关于y 轴的对称点N ,则N (－1,4)．连接BN 交y 轴于点P ,点P 即为所求．设直线BN的关系式为y=kx＋b,第1题解图第2题图△A(4,0),令x=0,则y=3,△等腰Rt△ABC中,△BAC=90°,(2)△如解图,连接PO,△P(a,1),△△S△ABP=S△ABC,第2题解图3.如图△,在直角坐标系中,点A的坐标为(0,12),经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B(m,n).(1)若m=9,n=3,求直线l1和l2的解析式；(2)将△BAO绕点B顺时针旋转180°得△BFE,如图△,连接AE,OF.△证明:四边形OFEA是平行四边形；△若四边形OFEA是正方形,求m和n的值．第3题解图4.如图,在△ABC中,点A(4,0),点B在x轴上,点C在第四象限且横坐标为2,直线l1:y=－3x＋3经过点B,C；直线l2经过点C,与x轴交于点P(点P在点B 右侧),设点P的横坐标为m．(2)若P是AB的中点,求m的值；(3)当S△PBC=3时,求直线l2的解析式．第4题图解:(1)(1,0),(2,－3)；【解法提示】△y=－3x＋3经过点B,C,点B在x轴上,点C横坐标为2,△B(1,0),C(2,－3).(2)△P 是AB 中点,(3)△S△PBC =3,△PB =2,△P (3,0),设直线l 2的解析式为y =kx ＋b ,则有3=02=3k b k b ++-⎧⎨⎩, 解得=3=9k b -⎧⎨⎩,△直线l 2的解析式为y =3x －9．5. 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,0),点B 的坐标为(0,4),点M 是线段AB 上任意一点(A ,B 两点除外)．(1)求直线AB 的解析式；(2)过点M 分别作MC △OA 于点C ,MD △OB 于点D ,当点M 在AB 上运动时,你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；(3)当点M 把线段AB 分成的两部分的比为1:3时,请求出点M 的坐标．第5题图解:(1)设直线AB 的解析式为y=kx ＋b ,由题意可得4=0=4k bb+⎧⎨⎩,解得=1=4kb-⎧⎨⎩,△AB的解析式为y=－x＋4；(2)不发生变化．理由:设M点的坐标为(x,－x＋4),则MD=|x|=x,MC=|－x＋4|=－x＋4,△四边形OCMD的周长=2(MD＋MC)=2[x＋(－x＋4)]=8,△四边形OCMD的周长不发生变化；(3)△DM△x轴,则点M的横坐标为1,此时纵坐标=－x＋4=－1＋4=3,△M(1,3)；则点M的横坐标为3,此时纵坐标=－x＋4=－3＋4=1,△M(3,1),综上可知,点M的坐标为(1,3)或(3,1)．6.如图,已知一次函数y=2x－4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,点P在该函数的图象上,P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．(1)当P为线段AB的中点时,求d1＋d2的值；(2)直接写出d1＋d2的范围,并求当d1＋d2=3时点P的坐标；(3)若在线段AB上存在无数个P点,使d1＋ad2=4(a为常数),求a的值．解:(1)对于一次函数y=2x－4,令x=0,得到y=－4；令y=0,得到x=2,△A(2,0),B(0,－4),△P为AB的中点,△P(1,－2),△d1＋d2=3；(2)d1＋d2≥2；设P(m,2m－4),△d1＋d2=|m|＋|2m－4|,当0≤m≤2时,d1＋d2=m＋4－2m=4－m=3,解得m=1,此时P1(1,－2)；当m＞2时,d1＋d2=m＋2m－4=3,当m＜0时,不存在,(3)设P(m,2m－4),△d1=|2m－4|,d2=|m|,△P在线段AB上,△0≤m≤2,△d1=4－2m,d2=m,△d1＋ad2=4,△4－2m＋am=4,即(a－2)m=0,△有无数个点,△a=2．7.M,N,高为3的等边三角形ABC,边BC在x轴上,将此三角形沿着x轴的正方向平移,在平移过程中,得到△A1B1C1,当点B1与原点重合时,解答下列问题:(1)求出点A1的坐标,并判断点A1是否在直线l上；(2)求出边A1C1所在直线的解析式；(3)在坐标平面内找一点P,使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形,求出P点的坐标．第7题图解:(1)如解图,作A1H△x轴于H．在Rt△A1OH中,△A1H=3,△A1OH=60°,由解图可知,当以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形时,P1 (3第7题解图8.如图,在平面直角坐标系xoy中,平行四边形ABCO的顶点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,2).(1)求点C的坐标及直线AB的解析式；(2)动点P在直线23y x=上运动.△当PB=PC时,求出P点的坐标；△将直线23y x=怎样平移,能将平行四边形ABCO的面积平分？并求出此时它与直线AB交点Q的坐标；(3)在x轴上是否存在两点M、N(M在N左侧),使MN=1,且CM＋MN＋BN的值最小？若存在,求出M、N两点的坐标,并求出这个最小值；若不存在,请说明理由.第8题图解:(1)△四边形ABCO是平行四边形,△CB△OA,CB=OA=3,△点C的坐标为(－3,2),设直线AB的解析式为y=kx＋b,代入A(3,0),B(0,2)得032k bb=+⎧⎨=⎩,解得232kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,△223y x=-+；(2)△当PB=PC时,P点在BC的垂直平分线上,即直线x=－32上,又△点P在直线23y x=上,△23()132y=⨯-=-,△P点的坐标为(－32,－1)；△若将平行四边形ABCO的面积平分,则直线必过平行四边形ABCO对角线的交点,即过点(0,1),△将直线23y x=向上平移1个单位即可,此时直线的解析式为213y x=+,联立方程组223213y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得3432xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,△它与直线AB 的交点Q 的坐标为(34,32)； (3)存在.如解图,将点 C 向右平移1个单位长度得C ',作C '关于x 轴的对称点C '',连接C ''B ,交 x 轴于点 N ,将 N 点向左平移1个单位得M ,M 、N 即为所求作的点. 由题意可知,点C '(－2,2),△以点C '关于x 轴的对称点C ''(－2,－2),设直线C ''B 的解析式为y kx b =+,代入C ''(－2,－2),B (0,2)得222k bb -=-+⎧⎨=⎩,解得22k b =⎧⎨=⎩ , △22yx =+,△点 N 的坐标为(－1,0),点 M 的坐标为(－2,0), △CM ＋MN ＋BN 的最小值即为C ''B ＋MN1+=1+.第8题解图9. 如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,直角三角形OBD 的直角顶点D 在(1)求图象经过点B 的反比例函数的解析式；(2)点E 是(1)中反比例函数图象上一点,连接BE 、DE ,若BE =DE ,求四边形OBED 的面积．第9题图△BD =2OD ,△OD =2,BD =4,△B (2,4),(2)如解图,作EF △BD 于点F ,由BD △x 轴, △△EFD =△ODF ,△EF △x 轴, △BE =DE ,EF △BD 于点F ,△x =4,△E (4,2),EF =2,第9题解图10.于点B,平行于x轴的直线y=n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M,交AB于点N,连接BM．(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)直线y=n沿y轴方向平移,当n为何值时,△BMN的面积最大？第10题图解:(1)△直线y=2x＋6经过点A(1,m),△m=2×1＋6=8,△A(1,8),△k=8,△n=3时,△BMN的面积最大．11.点,且A点的橫坐标为1．(1)求一次函数的函数表达式；(2)当y1＞y2时,求x的取值范围；(3)已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C橫坐标为3,求△ABC的面积．第11题图将点A(1,6)代入y1=x＋m,得:1＋m=6,解得m=5,则一次函数解析式为y1=x＋5；则点A (1,6)、点B (－6,－1),由图象可知y 1＞y 2时－6＜x ＜0或x ＞1；则点C (3,2),如解图,连接AC ,BC ,则AD =2、CD =4、BE =9、CE =3,第11题解图12. B (m ,n )(m ＞1),过点B 作y 轴的垂线,垂足为点C ． (1)求该反比例函数解析式；(2)当△ABC 面积为2时,求点B 的坐标；(3)P 为线段AB 上一动点(P 不与A 、B 重合),在(2)的情况下,直线y =ax －1与线段AB 交于点P ,直接写出a 的取值范围．第12题图△k=1×2=2,△mn=2,(3)将A(1,2)代入y=ax－1中,2=a－1,解得a=3；△直线y=ax－1与线段AB交于点P,P为线段AB上一动点(P不与点A、B重合),第13题图解:(1)根据题意得点B的横坐标为0,点A的纵坐标为0,△B(0,6),A(－8,0),△OA=8,OB=6,△CB平分△ABO,CD△AB,CO△BO,△CD=CO,△BC=BC,△Rt△BCD△Rt△BCO,△BD=BO=6,△AD=AB－BD=4,△△ADC=△AOB=90°,△CAD=△BAO,△△ACD△△ABO,△AC=5,△OC=OA－AC=3,△C(－3,0),△△EDB=△AOB=90°,BD=BO,△EBD=△ABO,△△EBD△△ABO,△BE=AB=10,△OE=BE－OB=4,△E(0,－4),设直线CE的解析式为y=kx－4,△－3k－4=0,解得(2)存在.第13题解图。
2020年湖南省中考数学专题复习函数图象探究题含答案
函数图象探究题1.已知y是x的函数，x的取值范围为任意实数，下图是x与y的几组对应值：小华同学根据研究函数的已有经验探索这个函数的有关性质，并完成下列问题．(1)如图，小华在平面直角坐标系中描出了上述几组值对应的点，请你根据描出的点画出函数的图象；(2)请根据你画的函数图象，完成下列问题：①当x＝－4时，求y的值；②当2012≤|y|≤2019时，求x的取值范围．第1题图2.某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x2－4|x|的图象与性质进行了探究．请补充完整以下探索过程：第2题图(1)列表：直接写出m＝________，n＝________；(2)根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象，并结合图象写出该函数的两条性质：性质1________________________________________________________________________性质2________________________________________________________________________(3)若方程x2－4|x|＝k有四个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出k的取值范围．3.某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x3－3x的图象与性质进行了探究．请补充完整以下探索过程：(1)列表：请直接写出m，n的值；(2)根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象；(3)若函数y＝x3－3x的图象上有三个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，且x1<－2<x2<2<x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为________(用“<”连接)．第3题图4.有这样一个问题：探究函数y＝－x＋2＋|x|的图象与性质．小军根据学习函数的经验，对函数y＝－x＋2＋|x|的图象与性质进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整：(1)函数y＝－x＋2＋|x|的自变量x的取值范围是________；(2)下表是y与x的几组对应值；在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)观察图象，函数的最小值是________；(4)进一步探究，结合函数的图象，写出该函数的一条性质(函数最小值除外)：________________．第4题图5.小明根据学习函数的经验，对函数y＝1x－1＋1的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)函数y＝1x－1＋1的自变量x的取值范围是______；(2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝________，n＝________；(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；第5题图(4)结合函数的图象，解决问题：①写出该函数的一条性质：__________________； ②当函数值1x －1＋1>32时，x 的取值范围是______；③方程1x －1＋1＝x 的解为________．6. 数学综合实践课上，老师提出问题：如图①，有一张长为4 dm ，宽为3 dm 的长方形纸板，在纸板四个角剪去四个相同的小正方形，然后把四边折起来(实线为剪裁线，虚线为折叠线)，做成一个无盖的长方体盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大？为了解决这个问题，小明同学根据学习函数的经验，进行了如下的探究：第6题图①(1)设小正方形的边长为x dm，长方体体积为y dm3，根据长方体的体积公式，可以得到y与x的函数关系式是____________________，其中自变量x的取值范围是________________；(2)列出y与x的几组对应值如下表：x/dm (1)814381258347819854…y/dm3… 1.3 2.2 2.7____ 3.0 2.8 2.5____ 1.50.9…(注：补全表格，保留1位小数)(3)如图②，请在平面直角坐标系中描出补全后表格中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；(4)结合函数图象回答：当小正方形的边长约为________dm时，无盖长方体盒子的体积最大，最大值约为________dm3.第6题图②参考答案函数图象探究题1.解：(1)画出函数图象如解图；第1题解图(2)①当x ＝－4时，y ＝4；②由题知，当x ≥0时，y ＝x ；当x ＜0时，y ＝－x ， ∴y ＝|x |，∵y ＝|x |≥0，2012≤|y |≤2019. ∴2012≤y ≤2019， ∴2012≤|x |≤2019，当x ＜0时，y 随着x 增大而减小， ∴－2019≤x ≤－2012.当x ≥0时，y 随着x 增大而增大， ∴2012≤x ≤2019，综上，x 的取值范围为－2019≤x ≤－2012或2012≤x ≤2019. 2. 解：(1)5，－3；【解法提示】将x ＝－5代入得m ＝(－5)2－4×|－5|＝5；将x ＝3代入得n ＝32－4×|3|＝－3. (2)补全函数图象如解图． 性质1：函数图象关于y 轴对称；性质2：函数图象在x ＝2或x ＝－2时取得最小值，最小值为－4；(性质不唯一，从最值、对称轴、增减性等方面写出即可，如当x ＜－2或0＜x ＜2时y 随x 的增大而减小；当－2＜x ＜0或x ＞2时y 随x 的增大而增大；当－4＜x ＜4时y ＜0，当x ＞4或x ＜－4时y ＞0)(3)－4＜k ＜0.【解法提示】如解图，直线y ＝k 与函数y ＝x 2－4|x |的图象有四个不同的交点时，k 的取值范围是－4＜k ＜0，则方程x 2－4|x |＝k 有四个不同的实数根时，k 的取值范围是－4＜k ＜0.第2题解图3. 解：(1)98，－2；【解法提示】当x ＝－32时，m ＝x 3－3x ＝(－32)3－3×(－32)＝98；当x ＝1时，n ＝x 3－3x ＝13－3＝－2.(2)补全函数图象如解图所示；第3题解图(3)y 1＜y 2＜y 3.【解法提示】∵x 1＜－2＜x 2＜2＜x 3，∴结合表中数据和函数图象可得，y 1＜－2＜y 2＜2＜y 3，∴y 1＜y 2＜y 3.4. 解：(1)x ≥－2；【解法提示】要使根式有意义，则x ＋2≥0得，x ≥－2， ∴函数y ＝－x ＋2＋|x |的自变量x 的取值范围是x ≥－2. (2)该函数的图象如解图所示；第4题解图(3)－1.41；(4)当－2≤x ＜0时，y 随x 的增大而减小． 5. 解：(1)x ≠1；【解法提示】要使分式有意义，则 x －1≠0，即x ≠1.∴函数y ＝1x －1＋1的自变量x 的取值范围是x ≠1.(2)12；3； 【解法提示】当x ＝－1时，m ＝1（－1）－1＋1＝12；当x ＝32时，n ＝132－1＋1＝3.(3)画出画数图象如解图所示；第5题解图(4)①关于点(1，1)中心对称；或当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；当x ＜0或x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0；②1＜x ＜3；【解法提示】不等式1x －1＋1>32表示函数y ＝1x －1＋1的图象在y ＝32函数图象上方的时候x 的取值范围，由函数图象可得，当1<x <3时，1x －1＋1>32.③x 1＝0；x 2＝2.【解法提示】方程1x －1＋1＝x 的解是函数y ＝1x －1＋1与函数y ＝x 图象交点的横坐标，由图象可知，两个交点的坐标分别为(0，0)，(2，2)，故x 1＝0，x 2＝2.6. 解：(1)y ＝4x 3－14x 2＋12x ；0<x <32；【解法提示】由已知得y ＝x (4－2x )×(3－2x )＝4x 3－14x 2＋12x ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧x >04－2x >03－2x >0，解得0<x <32.(2)3.0，2.0；【解法提示】当x ＝12时，y ＝3.0；x ＝1时，y ＝2.0.(3)画出函数图象如解图；第6题解图(4)0.55，3.03.(误差在0.01～0.02皆对)．。
2020年动点与函数图像专题
2020年中考试题权威汇编动点与函数图像（1）1、如图,在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=3,∠B=300,.动点P从点B出发,沿B−C−D 的路线向点D运动。
设平行四边形ABCD的面积与△ABP的面积比值为y，,点P运动的路程为x,则y与x之间函数关系的图象大致为()2、在四边形ABCD中,∠B=90O,AC=4,AB∥CD,DH垂直平分AC,点H为垂足,设AB=x,AD=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )A. B. C. D.3、如图,在△ABC中,AC=BC=25,AB=30,D是AB上的一点(不与A，B重合),DE⊥BC,垂足是点E,设BD=x,四边形ACED的周长为y,则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是( )A B. C. D.4、如图,AC、BD相交于点O,且OA=OC=4,OB=OD=6, 点P是线段BD上一动点,过点P 作EF∥AC,与四边形的两条边分别交于点E,F,设BP=x,EF=y,则下列能表示y与x之间函数关系的图象是( ).A B. C. D.5、如图,在Rt△ACB中,∠C=90∘,∠A=60∘,AB=8.点P是AB边上的一个动点,过点P 作PD⊥AB交直角边于点D,设AP为x,△APD的面积为y,则下列图象中,能表示y与x 的函数关系的图象大致是( )A. B. C. D.6、如图所示,已知正方形ABCD的边长为4,E是BC边上的一个动点,AE⊥EF,EF交DC 于点F,设BE=x,FC=y,则当点E从点B运动到点C时,y关于x的函数图象是___(填序号)7、如图,已知矩形OABC,A(4,0),C(0,3),动点P从点A出发,沿A−B−C−O的路线匀速运动,设动点P的运动时间为t,△OAP的面积为S,则下列能大致反映S与t之间关系的图象是()A. B. C. D.8、如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点(点P与点B，C不重合),现将△PCD沿直线PD折叠,使点C落到点F处;过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E. 设BP=x,BE=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()A. B. C. D.9、如图,等边△ABC边长为2,在平行四边形DEFG中,DG=2,DE=3,∠GDE=60∘,BC和DE 在同一条直线上,且点C与点D重合,现将△ABC沿D→E的方向以每秒1个单位的速度匀速运动,当点B与点E重合时停止,则在这个运动过程中,△ABC与四边形DEFG 的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是( )A. B. C. D.10、如图,已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B，C不重合),连结AE,作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F,设BE=x,△ECF的面积为y,下列图象中,能大致表示y与x的函数关系的是()A. B. C. D.11、在矩形ABCD中，动P从点A出发，沿着“A→B→C→D→A”的路径运动一周，线段AP长度y(cm)与点P运动的路程x(cm)之间的函数图象如图所示，则矩形的面积是( )cm2A.32B.48C. 165D. 32512.如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动。
专题02 动点问题的函数图象(解析版)
专题02动点问题的函数图象【考点1】随时间变化的函数关系【例1】（2018•东城区二模）有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB，CD，它们为苗圃Oe 的直径，且AB CD⊥．入口K位于¶AD中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进．设该园丁行进的时间为x，与入口K的距离为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是()A．A O D→→→→→D．O D B C→→→C．D O C→→B．C A O B【分析】采用排除法解题，注意由圆的对称性，D O A-路线呈现对称性，图象应用对称特征．--、B C【解析】解：按选项A中路线，图象应呈现对称性，故A错误；按选项C，距离K最近点应靠近D，故C错误；选项D中路线，B到C段图象应呈现对称性，故D排除．故选：B．【点拨】本题是动点函数图象问题，解答时注意动点到达临界点前后图象的变化趋势．【变式1-1】（2017•顺义区二模）如图，木杆AB斜靠在墙壁上，30∠=︒，4OABAB=米．当木杆的上端A 沿墙壁NO下滑时，木杆的底端B也随之沿着地面上的射线OM方向滑动．设木杆的顶端A匀速下滑到点O停止，则木杆的中点P到射线OM的距离y（米)与下滑的时间x（秒)之间的函数图象大致是( )A．B．C．D．【分析】作PQ OB⊥，根据三角函数求得OA的长，从而得出其中位线PQ的最大值，再由OA长度与下滑时间满足一次函数关系即可得出答案．【解析】解：如图，过点P作PQ OB⊥于点Q，//∴，PQ OAQ为AB中点，PPQ ∴为AOB ∆的中位线，即12PQ OA =， 30OAB ∠=︒Q ，4AB =，cos 4OA AB OAB ∴=∠==则OP =，当点A 匀速向下滑动时，OA 的长度随时间x 的变化满足一次函数关系， 由于12PQ OA =，PQ ∴的长度与下滑时间满足一次函数关系，且PQ B 选项，故选：B ．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据点A 下滑是匀速得出一次函数关系及由中位线得出PQ 长度的最大值是解题的关键．【考点2】线段间的变量关系【例2】（2019•顺义区一模）如图，点A 、C 、E 、F 在直线l 上，且2AC =，1EF =，四边形ABCD ，EFGH ，EFNM 均为正方形，将正方形ABCD 沿直线l 向右平移，若起始位置为点C 与点E 重合，终止位置为点A 与点F 重合．设点C 平移的距离为x ，正方形ABCD 的边位于矩形MNGH 内部的长度为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意可以分析出各段的函数图象，从而可以解答本题．【解析】解：由题意可得，点C 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而增大，函数解析式为2sin 45x y =⨯=︒，函数图象是一条线段，当点D 从点H 运动到点G 的过程中，y 随x 的增大不会发生变化，此过程函数图象是一条线段， 当点A 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而减小，函数图象是一条线段，故选：A ．【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2-1】（2017•朝阳区一模）如图1，在ABC ∆中，AB BC =，AC m =，D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点P 为AC 边上的一个动点，连接PD ，PB ，PE ．设AP x =，图1中某条线段长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是( )A ．PDB ．PBC ．PED ．PC【分析】观察图2，确定x 为何值取得最小值即可一一判断．【解析】解：A 错误，观察图2可知PD 在4m x =取得最小值． B 、错误．观察图2可知PB 在2m x =取得最小值． C 、正确．观察图2可知PE 在34m x =取得最小值． D 、错误．观察图2可知PC 在x m =取得最小值为0．故选：C ．【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，灵活应用所学知识是解题的关键，学会利用函数的最值解决问题，属于中考常考题型．【考点3】周长的变化【例3】（2017•东城区二模）如图，点E为菱形ABCD的BC边的中点，动点F在对角线AC上运动，连接BF、EF，设AF x=，BEF∆的周长为y，那么能表示y与x的函数关系的大致图象是()A．B．C．D．【分析】先根据正方形的对称性找到y的最小值，可知图象有最低点，再根据距离最低点x的值的大小>可判断正确的图形．AM MC()【解析】解：如图，连接DE与AC交于点M．则当点F运动到点M处时，三角形BEF∆的周长y最小，且AM MC>．通过分析动点F的运动轨迹可知，y是x的二次函数且有最低点，利用排除法可知图象大致为：故选：B．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象．解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的变化关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．【变式3-1】（2017•平谷区二模）如图，正方形ABCD中，动点P的运动路线为AB BC，动点Q的运动路线为对角线BD，点P，Q以同样的速度分别从A，B两点同时出发匀速前进，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止．设点P的运动路程为x，PQ的长为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为()A．B．C．D．【分析】分两种情况：P点在AB上运动时，点P在BC上运动时；分别判定即可．【解析】解：P点在AB上运动时，y先变小再增大；点P在BC上运动时，y逐渐增大；故选：B．【变式3-2】（2017•石景山区二模）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y 与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是()A ．20B ．24C ．48D ．60【分析】根据点P 的移动规律，当OP BC ⊥时取最小值3，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，易得该矩形的面积．【解析】解：如图2所示，当OP BC ⊥时，4BP CP ==，3OP =，所以26AB OP ==，28BC BP ==，所以矩形ABCD 的面积6848=⨯=．故选：C ．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出4BP CP ==，3OP =．【考点4】面积的变化【例4】（2019•东城区二模）如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A C D →→以1/cm s 的速度运动到点D ．设点P 的运动时间为()s ，PAB ∆的面积为2()y cm ．表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为( )A B ．52 C ．2 D ．【分析】由图2知，菱形的边长为a ，对角线AC ，则对角线BD 为P在线段AC 上运动时，111222y AP BD =⨯=，即可求解．【解析】解：由图2知，菱形的边长为a ，对角线AC =，则对角线BD 为= 当点P 在线段AC 上运动时，111222y AP BD =⨯=，由图2知，当x =y a =，即12a = 解得：52a =， 故选：B ．【点拨】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．【变式4-1】（2018•大兴区一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点P 在矩形的边上沿B C D A →→→运动．设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．【解析】解：根据题意和图形可知：点P 按B C D A →→→的顺序在边长为1的正方形边上运动，APB ∆的面积分为3段；当点P 在BC 上移动时，底边不变高逐渐变大，故面积逐渐变大；当点P 在CD 上移动时，底边不变，高不变，故面积不变；当点P 在AD 上时，高不变，底边变小，故面积越来越小直到0为止．故选：B ．【点拨】考查点的运动变化后根据几何图形的面积确定函数的图象，图象需分段讨论．1．（2018•顺义区二模）已知正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 从A 出发，沿AD 边以1/cm s 的速度运动，动点Q 从B 出发，沿BC ，CD 边以2/cm s 的速度运动，点P ，Q 同时出发，运动到点D 均停止运动，设运动时间为x （秒)，BPQ 的面积为2()y cm ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，Q 点分别在BC 、CD 上运动时，形成不同的三角形，分别用x 表示即 可．【解析】解：（1）当02x 剟时，2BQ x =14242y x x =⨯⨯=当24x 剟时，如下图2111(44)4(4)(82)4(24)28222y x x x x x x =-+⨯-⨯---⨯⨯-=-++由上可知故选：B ．2．（2018•朝阳一模）如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90A ∠=︒，6AB =，点P 是AB 边上一动点（点P 与点A 不重合），以AP 为边作正方形APDE ，设AP x =，正方形APDE 与ABC ∆重合部分（阴影部分）的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】如图1，当点D 落在BC 上，利用BPD ∆为等腰直角三角形得到3x =，所以当03x <…时，2y x =，当36x <…时，如图2，正方形APDE 与BC 相交于F 、G ，表示出26DF x =-，所以221(26)2DFG APDE y S S x x ∆=-=-⋅-正方形，然后利用所得的解析式对各选项进行判断．【解析】解：如图1，当点D 落在BC 上，ABC ∆Q 为等腰直角三角形，四边形APDE 为正方形， BPD ∴∆为等腰直角三角形，PB PD x ∴==， 26x ∴=，解得3x =，当03x <…时，2APDE y S x ==正方形，当36x <…时，如图2，正方形APDE 与BC 相交于F 、G ， 易得BPF ∆和DGF ∆都是等腰直角三角形，6PF PB x ∴==-，(6)26DF x x x ∴=--=-，22221(26)1218(6)182DFG APDE y S S x x x x x ∆∴=-=-⋅-=-+-=--+正方形，综上所述，22(03)(6)18(36)x x y x x ⎧<=⎨--+<⎩……． 故选：C ．3．（2018•东城一模）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A 为入口，F ，G 为出口，其中直行道为AB ，CG ，EF ，且AB CG EF ==；弯道为以点O 为圆心的一段弧，且¶BC，¶CD ，¶DE 所对的圆心角均为90︒．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以10/m s 的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O 的距离()y m 与时间()x s 的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是( )A ．甲车在立交桥上共行驶8sB ．从F 口出比从G 口出多行驶40mC ．甲车从F 口出，乙车从G 口出D ．立交桥总长为150m【分析】根据题意、结合图象问题可得．【解析】解：由图象可知，两车通过¶BC，¶CD ，¶DE 弧时每段所用时间均为2s ，通过直行道AB ，CG ，EF 时，每段用时为3s ．因此，甲车所用时间为3238s ++=，故A 正确；根据两车运行路线，从F 口驶出比从G 口多走¶CD，¶DE 弧长之和，用时为4s ，则走40m ，故B 正确； 根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G 口驶出，故C 错误； 根据题意立交桥总长为(3233)10150m ⨯+⨯⨯=，过D 正确； 故选：C ．4．（2018•海淀一模）如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y ．定义(,)x y 为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线1x =，3y =将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是( )A ．点A 的横坐标有可能大于3B ．矩形1是正方形时，点A 位于区域②C ．当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D ．当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等【分析】A 、根据反比例函数k 一定，并根据图形得：当1x =时，3y <，得3k xy =<，因为y 是矩形周长的一半，即y x >，可判断点A 的横坐标不可能大于3；B 、根据正方形边长相等得：2y x =，得点A 是直线2y x =与双曲线的交点，画图，如图2，交点A 在区域③，可作判断；C 、先表示矩形面积22()S x y x xy x k x =-=-=-，当点A 沿双曲线向上移动时，x 的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；D 、当点A 位于区域①，得1x <，另一边为：2y x ->，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：1x >，3y >，即另一边0y x ->，可作判断．【解析】解：设点(,)A x y ， A 、设反比例函数解析式为：(0)ky k x=≠， 由图形可知：当1x =时，3y <， 3k xy ∴=<， y x >Q ，3x ∴<，即点A 的横坐标不可能大于3，故选项A 不正确；B 、当矩形1为正方形时，边长为x ，2y x =，则点A 是直线2y x =与双曲线的交点，如图2，交点A 在区域③， 故选项B 不正确；C 、当一边为x ，则另一边为y x -，22()S x y x xy x k x =-=-=-， Q 当点A 沿双曲线向上移动时，x 的值会越来越小，∴矩形1的面积会越来越大，故选项C 不正确；D 、当点A 位于区域①时，Q 点(,)A x y ，1x ∴<，3y >，即另一边为：2y x ->，矩形2落在区域④中，1x >，3y >，即另一边0y x ->，∴当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；故选项④正确； 故选：D ．5．（2018•延庆县一模）某游泳池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的A ，B 两边，同时朝着另一边游泳，他们游泳的时间为（秒)，其中0180t 剟，到A 边距离为y （米)，图中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y 与t 的对应关系．下面有四个推断：①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度； ②小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③小明游75米时小林游了90米游泳； ④小明与小林共相遇5次； 其中正确的是( ) A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④【分析】利用图象信息，一一判断即可；【解析】解：①错误．小明游泳的平均速度大于小林游泳的平均速度； ②正确．小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③错误，小明游75米时小林游了50米； ④正确．小明与小林共相遇5次； 故选：D ．6．（2018•通州一模）如图1，点O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒，机器人到点A 的距离设为y ，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当3t 时，机器人一定位于点O ；③机器人一定经过点D ；④机器人一定经过点E ；其中正确的有（ ）A ．①④B ．①③C ．①②③D ．②③④【分析】根据图象起始位置猜想点B 或F 为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断34t 剟图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．【解答】解：由图象可知，机器人距离点1A 个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1．故①正确；观察图象t 在34-之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB 或OF 上，则当3t =时，机器人距离点A 距离为1个单位长度，机器人一定位于点O ，故②正确； 所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F 点或B 点出发，当从B 出发时，不经过点E ，故④错误． 故选：C ．7．（2017•东城一模）图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边ADE ∆和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交于点O ，在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机．游戏参与者行进的时间为x ，与主摄像机的距离为y ，若游戏参与者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是（ ）A ．A O D →→B ．E AC →→C ．A ED →→D ．E A B →→【分析】根据各个选项中的路线进行分析，看哪条路线符号图2的函数图象即可解答本题．【解析】解：由题意可得，当经过的路线是A O D →→时，从A O →，y 随x 的增大先减小后增大且图象对称，从O D →，y 随x 的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A 符号要求；当经过的路线是E A C →→时，从E A →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B 不符号要求；当经过的路线是A E D →→时，从A E →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于于刚开始的值，故选项C 不符号要求；当经过的路线是E A B →→时，从E A →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D 不符号要求； 故选：A ．8．（2017•房山区一模）如图1，已知点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，6AB =，8BC =，动点M 从点E 出发，沿E F G H E →→→→匀速运动，设点M 运动的路程x ，点M 到矩形的某一个顶点的距离为y ，如果表示y 关于x 函数关系的图象如图2所示，那么这个顶点是矩形的( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【分析】由图2得出始点E 到顶点的距离为3，只有顶点A ，B 满足，又由开始时先增大，得出只有顶点B 满足．【解析】解：由图2得出始点E 到顶点的距离为3， 6AB =Q ，∴只有顶点A ，B 满足，又Q 沿E F G H E →→→→匀速运动开始时先增大，∴只有顶点B 满足，故选：B ．9．（2018秋•朝阳期末）如图，在ABC∆中，AB AC=，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且12MN BC=，MD BC⊥交AB于点D，NE BC⊥交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM x=，BMD∆的面积减去CNE∆的面积为y，则下列图象中，能表示y与x 的函数关系的图象大致是()A．B．C．D．【分析】设：12a BC=，B Cα∠=∠=，求出MN、CN、DM、AH、EN的长度，利用BMD CNES S S∆∆=-，即可求解．【解析】解：过点A作AH BC⊥，交BC于点H，则12BH HC BC==，设12a BC=，B Cα∠=∠=，则MN a=，2CN BC MN x a a x a x=--=--=-，tan tan DM BM B x α==g ，tan tan AH BH B a α==g ，tan ()tan EN CN C a x α==-g ，21tan tan ()(2)tan 222BMD CNEa a S S S BM DM CN EN x a a x ααα∆∆=-=-=-=-g g g g ， 其中，tan a αg 、2tan 2a α均为常数，故上述函数为一次函数， 故选：A ．10．（2017秋•海淀区期末）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点 B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿O e 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC DB =．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与 点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（ ）A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点DD ．在4.84秒时，两人的距离正好等于O e 的半径 【分析】利用图象信息一一判断即可解决问题．【解析】解：A 、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B 、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C 距离相等，故本选项不符合题意；C 、当小红运动到点D 的时候，小兰还没有经过了点D ，故本选项不符合题意； D 、当小红运动到点O 的时候，两人的距离正好等于O e 的半径，此时9.684.842t ==，故本选项正确；故选：D．。
中考数学专题复习《动点函数图像(面积类)》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《动点函数图像（面积类）》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一．1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿A→B→C→D运动，点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为t（单位：s），△APD的面积为S（单位：cm2），则S随t变化的函数图象大致为（）A． B．C． D．2．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C 方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（）A B C D3.如图，在边长为3的菱形ABCD中，点P从A点出发，沿A→B→C→D运动，速度为每秒3个单位；点Q同时从A点出发，沿A→D运动，速度为每秒1个单位，则△APQ的面积S关于时间t的函数图象大致为（）A B C D4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（）A B C D5.在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△BEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（）A B C D6.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P沿折线CA﹣AB运动，到点B停止，动点Q沿BA﹣AC运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为t（s），△APQ的面积为S，则S与t（0≤t≤4.5）对应关系的图象大致是（）A B C D7.如图，△ABC为等边三角形，AB＝6cm，直线l经过点B，且l⊥BC于点B；将直线l从点B处开始，沿BC方向以1cm/s的速度向点C运动，移动过程中与AB或AC交于点M，与BC交于点N，当直线运动到点C时停止．若直线运动的时间是t（s），移动过程中△BMN的面积为S （cm2），则S与t之间函数关系的图象大致是（）A B C D二.1.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点E从BC的中点出发，沿矩形的边逆时针运动至边AD的中点时停止．设点E运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）A B C D2.如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD＝5，AD＝2，AE＝3，动点P从点E出发，沿路径E﹣B﹣C﹣﹣D运动，则△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（）A．B．C．D．3.如图，边长为4的正方形ABCD的边上一动点P，沿A→B→C→D→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，三角形APB的面积是y，则变量y与变量x的关系图象正确的是（）A B C D三.1.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm．点P，Q同时从点A出发，点P以4cm/s的速度沿AC向点C运动，点Q以5cm/s的速度沿AB向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．作▱APDQ，设运动时间为ts，▱APDQ与△ABC重合部分的面积为Scm2，则下列图象中能大致反映S与t的函数关系的是（）A B C D2.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A B C D答案及解析一．答案：DADCCBC总结：此类题正常的方法就是把每一段的解析式求出来，然后根据解析式判断图像，但是，很多时候解析式并不好求，所以急需简便方法。
2020全国各地中考数学压轴题按题型分类汇编(五)动点产生的函数图像(原卷版)
2020全国各地中考压轴题（选择、填空）按题型整理：五、动点产生的函数图像1.（2020•安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．2.（2020•北京）有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系3.（2020•金昌）如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（）A．4√2B．4C．3√3D．2√24.（2020•黄冈）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．5.（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3√2C．6D．6√26.（2020•连云港）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④快车先到达目的地．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④7.（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．8.（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，P A+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为．9.（2020•青海）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致为图中的（）A．B．C．D．10.（2020•攀枝花）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（）A．两人出发1小时后相遇B．赵明阳跑步的速度为8km/hC．王浩月到达目的地时两人相距10km D．王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地。
2020年中考数学专题04 函数的动点问题
2020年中考数学专题04函数的动点问题例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△P AD的面积y（单位：cm2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．同类题型1.2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．同类题型1.3 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP＝x，DQ＝y，则能大致反映y与x 的函数关系的图象是（）A．B．C．D．例2．如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向点C运动，到达点C 停止；同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿AB－BC向点C运动，到达点C停止，设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．同类题型2.1 如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE－ED－DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）A．AE＝12cm B．sin∠EBC＝7 4C．当0＜t≤8时，y＝72t2D．当t＝9s时，△PBQ是等腰三角形同类题型2.2 矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P从点B出发以每秒2个单位长的速度沿BA－AD－DCD的方向运动到C点停止，动点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动到C点停止，假设P、两点同时出发，运动时间是t秒，y＝S△PBQ，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．同类题型2.3 如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，AC与BD交于点O，M是BC的中点．P、Q 两点沿着B→C→D方向分别从点B、点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P、Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积随时间t变化的图象最接近的是（）A．B．C．D．例3．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q．设AP＝x，当△APQ的面积为14 3 时，则x的值为（）A．2 21 B．2 21 或14 C．2或2 21 或14 D．2或14同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝－x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么AD的长为____________．例4．如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，BC＝2cm，∠A＝30°，四边形DEFG为矩形，DE＝2 3 cm，EF＝6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为y cm2，运动时间xs．能反映y cm2与xs之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．同类题型4.1 如图，菱形ABCD的边长为1，菱形EFGH的边长为2，∠BAD＝∠FEH＝60°点C与点E 重合，点A，C（E），G在同一条直线上，将菱形ABCD沿C⇒G方向平移至点A与点G重合时停止，设点C、E之间的距离为x，菱形ABCD与菱形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．同类题型4.2 如图，等边△ABC的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，△ABC 与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．同类题型4.3 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F 重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．参考答案例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△P AD的面积y（单位：cm2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．解：由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，又因为P点运动的速度为1cm/s，所以AB＝10×1＝10（cm），由AD＝9可知点P在边BC上的运动时间为9s，所以a＝10＋9＝19；分别过B点、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．由图②知S△ABD＝36，则12×9×BE＝36，解得BE＝8，在直角△ABE中，由勾股定理，得AE＝AB2－BE2＝6．易证△BAE≌△CDF，则BE＝CF＝8，AE＝DF＝6，AF＝AD＋DF＝9＋6＝15．在直角△ACF中，由勾股定理，得CA＝AF2＋CF2＝17，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，所以b＝19＋17＝36，a＋b＝19＋36＝55．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．解：∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FCE＝90°∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°AB＝BC＝4，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠FCE ，∴△ABE ∽△ECF ，∴AB EC ＝BE FC ， ∵BE ＝x ，FC ＝y ，∴EC ＝4－x ，则有44－x ＝x y， 整理后得y ＝－14x 2 ＋x 配方后得到y ＝－14（x －2）2 ＋1 从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为（2，1）．选C ．同类题型1.2如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A →D →C →E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3，∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，∴CE ＝23×3＝2， ①点P 在AD 上时，△APE 的面积y ＝12x ﹒2＝x （0≤x ≤3）， ②点P 在CD 上时，S △APE ＝S _(梯形AECD )－S _(△ADP )－S _(△CEP )，＝12（2＋3）×2－12×3×（x －3）－12×2×（3＋2－x ）， ＝5－32x ＋92－5＋x ， ＝－12x ＋92， ∴y ＝－12x ＋92（3＜x ≤5）， ③点P 在CE 上时，S △APE ＝12×（3＋2＋2－x ）×2＝－x ＋7， ∴y ＝－x ＋7（5＜x ≤7），选A ．同类题型1.3 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，一个以点B 为顶点的60°角绕点B 旋转，这个角的两边分别与线段AD 的延长线及CD 的延长线交于点P 、Q ，设DP ＝x ，DQ ＝y ，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠ADB ＝∠BDC ＝60°，∴∠BDQ ＝∠BDP ＝120°，∵∠QBP ＝60°，∴∠QBD ＝∠PBC ，∵AP ∥BC ，∴∠P ＝∠PBC ，∴∠QBD ＝∠P ，∴△BDQ ∽△PDB ， ∴DQ BD ＝BD PD ，即y 2＝2x， ∴xy ＝4，∴y 与x 的函数关系的图象是双曲线，选A ．例2．如图，等边△ABC 的边长为2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向点C 运动，到达点C 停止；同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB －BC 向点C 运动，到达点C 停止，设△APQ 的面积为y （cm 2 ），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题得，点Q 移动的路程为2x ，点P 移动的路程为x ，∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝2，①如图，当点Q 在AB 上运动时，过点Q 作QD ⊥AC 于D ，则AQ ＝2x ，DQ ＝ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×3x ＝32x 2 （0＜x ≤1）， 即当0＜x ≤1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A 、B 排除；②如图，当点Q 在BC 上运动时，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，则CQ ＝4－2x ，EQ ＝23－ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×（23－3x ）＝－32x 2＋ 3 x （1＜x ≤2）， 即当1＜x ≤2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C 排除，而D 正确；选D ．同类题型2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2 ），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝ 74 C ．当0＜t ≤8时，y ＝72t 2 D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形解：A 、分析函数图象可知，当点Q 到达点C 时，点P 到达点E 处，∴BC ＝BE ＝2×8＝16cm ，ED ＝2×2＝4cm ，∴AE ＝AD －ED ＝BC －ED ＝16－4＝12cm ，故A 正确；B 、作EF ⊥BC 于点F ，如图， 由函数图象可知，BC ＝BE ＝16cm ，BF ＝AE ＝12cm ，由勾股定理得，EF ＝47 cm ，∴sin ∠EBC ＝EF BE ＝4716＝74，故B 正确；C 、作PM ⊥BQ 于点M ，如图，∵BQ ＝BP ＝2t ，∴y ＝S △BPQ ＝12BQ ﹒PM ＝12BQ ﹒BP ﹒sin ∠EBC ＝12×2t ﹒2t ﹒74＝72t 2 ．故C 正确；D 、当t ＝9s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ，如图所示，连接NB ，N C ． 此时AN ＝14，ND ＝2，由勾股定理求得：NB ＝211 ，NC ＝229 ，∵BC ＝16，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形．故D 错误；选D ．同类题型2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y=S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：①当0＜t ≤3时，△PBQ 是Rt △，y ＝12×t ×2t ＝t 2 ； ②当3＜t ≤7时，y ＝12×t ×6＝3t ； ③当7＜t ≤8时，y ＝12t （20－2t ）＝－t 2 ＋10t ； ④当8＜t ≤10时，y ＝12×8（20－2t ）＝80－8t ； 观察各选项可知，y 与t 的函数图象大致是选项D ．选D ．同类题型2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离＝12 AB ＝4，到CD 的距离＝12 AD ＝6， ∵点M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝6， ∴点Q 到达点C 的时间为6÷1＝6秒，点P 到达点C 的时间为12÷1＝12秒，点Q 到达点D 的时间为（6＋8）÷1＝14秒，①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×4＝12； ②6＜t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，CP ＝12－t ，CQ ＝t －6，S △OPQ ＝S △COP ＋S △COQ －S △PCQ ，＝12×（12－t ）×4＋12×（t －6）×6－12×（12－t ）×（t －6）， ＝12t 2 －8t ＋42， ＝12（t －8）2 ＋10， ③12＜t ≤14时，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×6＝18； 纵观各选项，只有B 选项图形符合．选B ．例3．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，P 是对角线BE 上一动点，过点P 作直线l 与BE 垂直，动点P 从B 点出发且以1cm/s 的速度匀速平移至E 点．设直线l 扫过正六边形ABCDEF 区域的面积为S （cm 2 ），点P 的运动时间为t （s ），下列能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意得：BP ＝t ，如图1，连接AC ，交BE 于G ，Rt △ABG 中，AB ＝6，∠ABG ＝60°，∴∠BAG ＝30°，∴BG ＝12 AB ＝3， 由勾股定理得：AG ＝62－32＝3 3 ，∴AC ＝2AG ＝6 3 ，当0≤t ≤3时，PM ＝ 3 t ，∴MN ＝2 3 t ，S ＝S △BMN ＝12MN ﹒PB ＝12﹒3t 2＝32t 2 ， 所以选项A 和B 不正确； 如图2，当9≤t ≤12时，PE ＝12－t ，∵∠MEP ＝60°，∴tan ∠MEP ＝PM PE， ∴PM ＝ 3 （12－t ），∴MN ＝2PM ＝2 3 （12－t ），∴S ＝S _(正六边形)－S _(△EMN )，＝2×12（AF ＋BE ）×AG －12MN ﹒PE ， ＝（6＋12）×33－12×2 3 （12－t ）（12－t ）， ＝543－3（144－24t ＋t 2 ），＝－3t 2＋243t －90 3 ，此二次函数的开口向下，所以选项C 正确，选项D 不正确；选C ．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：①当0≤t ≤4时，S ＝12×t ×t ＝12t 2 ，即S ＝12t 2 ． 该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B 、C 错误；②当4＜t ≤8时，S ＝16－12×（8－t ）×（8－t ）＝－12t 2 ＋8t －16． 该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A 错误．选D ．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为（ ）A ．2 21B ．2 21 或14C ．2或2 21 或14D ．2或14解：当点Q 在AC 上时，∵∠A ＝30°，AP ＝x ，∴PQ ＝x tan30°＝33x ， ∴S ＝12×AP ×PQ ＝12×x ×33＝36x 2＝14 3 解得：x ＝221 或x ＝－221 （舍去），当点Q 在BC 上时，如下图所示：∵AP ＝x ，AB ＝16，∠A ＝30°，∴BP ＝16－x ，∠B ＝60°， ∴PQ ＝BP ﹒tan60°＝ 3 （16－x ）．∴S ＝12AP ×PQ ＝32x 2＋83x ＝14 3 ， 解得：x ＝2（舍去）或x ＝14．选B ．同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．解：①当AB ＞4时如图1，由图可知：OE ＝4，OF ＝8，DG ＝3 2 ，∴EF ＝AG ＝OF －OE ＝4∵直线解析式为：y ＝－x∴∠AGD ＝∠EFD ＝45°∴△AGD 是等腰直角三角形∴DH ＝GH ＝22DG ＝22×3 2 ＝3， ∴AH ＝AG －GH ＝4－3＝1，∴AD ＝DH 2＋AH 2＝32＋12＝10 ；②当AB ＝4时，如图2，由图可知：OI ＝4，OJ ＝8，KB ＝3 2 ，OM ＝9， ∴IJ ＝AB ＝4，IM ＝AN ＝5，∵直线解析式为：y ＝－x ，∴△KLB 是等腰直角三角形，∴KL ＝BL ＝22KB ＝3， ∵AB ＝4，∴AL ＝AB －BL ＝1，T 同①得，DM ＝MN ，∴过K 作KM ∥IM ，∴tan ∠DAN ＝KL AL＝3， ∴AM ＝DM tan ∠DAN＝DM 3 ， ∴AN ＝AM ＋MN ＝43DM ＝5， ∴DM ＝MN ＝154， ∴AM ＝AN －MN ＝5－154＝54， ∴AD ＝AM 2＋DM 2＝5104， 故答案为10 或5104．例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2 ，运动时间xs ．能反映y cm 2 与xs 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：已知∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，∴AB ＝4，由勾股定理得：AC ＝2 3 ，∵四边形DEFG 为矩形，∠C ＝90，∴DE ＝GF ＝2 3 ，∠C ＝∠DEF ＝90°，∴AC ∥DE ，此题有三种情况：（1）当0＜x ＜2时，AB 交DE 于H ，如图∵DE ∥AC ， ∴EH AC ＝BE BC ， 即EH 23＝x ﹒12 ， 解得：EH ＝ 3 x ，所以y ＝12﹒3x ﹒x ＝32x 2 ， ∵x y 之间是二次函数，所以所选答案C 错误，答案D 错误，∵a ＝32＞0，开口向上； （2）当2≤x ≤6时，如图，此时y ＝12×2×23＝2 3 ， （3）当6＜x ≤8时，如图，设△ABC 的面积是s 1 ，△FNB 的面积是s 2 ，BF ＝x －6，与（1）类同，同法可求FN ＝3X －6 3 ，∴y ＝s 1－s 2 ，＝12×2×23－12×（x －6）×（3X －6 3 ）， ＝－32x 2＋63x －16 3 ， ∵-32＜0， ∴开口向下，所以答案A 正确，答案B 错误，选A ．同类题型4.1 如图，菱形ABCD 的边长为1，菱形EFGH 的边长为2，∠BAD ＝∠FEH ＝60°点C 与点E 重合，点A ，C （E ），G 在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C ⇒G 方向平移至点A 与点G 重合时停止，设点C 、E 之间的距离为x ，菱形ABCD 与菱形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由菱形ABCD 、EFGH 边长为1，2可得：AC ＝2AB ×sin30°＝ 3 ，EG ＝2 3 （1）当菱形ABCD 移动到点A 与点E 重合的过程，即0≤x ≤ 3 时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为：x ，2×x 2×tan30°＝3x 3∴y ＝12﹒x ﹒3x 3＝36x 2 （2）当菱形ABCD 移动到点C 与点G 重合的过程，重合部分的菱形面积不变，即3＜x ≤2 3 时，y ＝S菱形ABCD ＝12×1×3＝32； （3）当菱形ABCD 移动到点A 与点G 重合的过程，即23＜x ≤33时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为： 3 －x ，2×3－x 2×tan30°＝3(3－x )3y ＝12×（3－x ）×3(3－x )3＝36（3－x ）2 ． 由（1）（2）（3）可以看出图象应该是y ＝36x 2 图上像0≤x ≤ 3 时的部分，y ＝32图象上3＜x ≤2 3 时的部分，y ＝36（3－x ）2 图象上23＜x ≤33时的部分组成． 选D ．同类题型4.2 如图，等边△ABC 的边AB 与正方形DEFG 的边长均为2，且AB 与DE 在同一条直线上，开始时点B 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点B 与点E 重合为止，设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ， 当B 从D 点运动到DE 的中点时，即0≤x ≤1时，y ＝12×x ×3x ＝32x 2 ． 当B 从DE 中点运动到E 点时，即1＜x ≤2时，y ＝3－12（2－x ）×3（2－x ）＝－32x 2＋23x － 3 由函数关系式可看出D 中的函数图象与所求的分段函数对应．选D ．同类题型4.3 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F ⇒H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：DF ＝x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为yy ＝12DF 2＝12x 2（0≤x ＜ 2 ）；②y ＝1（2≤x ＜2 2 ）；③∵BH ＝3 2 －x∴y ＝12BH 2＝12x 2－32x ＋9（22≤x ＜3 2 ）．综上可知，图象是选B ．。
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专题02 动点问题中的函数图象及规律探索问题
一、基础知识点综述
动点问题中函数图象的题目的解决方法是：先根据动点运动规律找出所求与动点运动之间的关系，进而获取相应函数的解析式及函数值变化规律，达到求解的目的.
考查的重点是分段函数解析式的求解.
探索规律问题通常用归纳法，即从简单到复杂，从特殊到一般，这类题目考查的是学生的观察与归纳能力，注意从特殊到一般的归纳方法.
二、主要思想方法
分类讨论、数学归纳.
三、精品例题解析
例1. （2019·达州改编）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在同一条直线上，且A点与F点重合，现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B 重合时停止. 在这个运动过程中，正方形ABCD与△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数解析式是
例2. （2019·自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）
例3. （2019·潍坊改编）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3，动点P沿着折线BCD从点B开始运动到点D，设运动的路程为x，△ADP的面积为y，则y与x之间的函数关系式是
例4. （2019·深圳模拟）如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动. 设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看成x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于
例5. 如图1，在扇形OAB中，∠O=60°，动点P从点O出发，沿O→A→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动过程中，△OBP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a，b的值分别为
例6. （2019·河南模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF⊥BC于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）
A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE
例7. （2019·博罗县一模）如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，
BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）
A．B．C．D．
例8. （2017·濮阳县一模）如图，等边△ABC边长为2，四边形DEFG是平行四边形，DG=2，DE=3，∠GDE=60°，BC和DE在同一条直线上，且点C与点D重合，现将△ABC沿D→E的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B与点E重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC与四边形DEFG的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）
A．B．C．D．
例9. （2019·衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作
AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）
A．B．C．D．
例10.a是不为1的有理数，我们把
1
1a
成为a的差倒数，如2的差倒数是－1，－1的差倒数是0.5. 已
知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……，以此类推，则a2019的值是
例11. （2019·潍坊）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1,2,3，……，按照“加1”依次递增，一组平行线，l0，l1，l2，l3，……都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合. 若半径为2的圆与l1在第一象限交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限交于点P2，……，半径为n+1的圆与ln在第一象限交于点P n，则点P n的坐标为
例12. （2019·连云港）如图，将一等边三角形三条边各八等分按顺时针方向标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，如图所示，将和为8的点连接起来，得到了“三角形坐标系”.在建立的坐标系中，每一点的坐标用过这一点且平行（重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标为（1,2,5），点B的坐标为（4,1,3），则点C的坐标为
例13. （2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．
例14. （2019·怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是．。