刚体的角动量_角速度_力矩和角加速度的关系

〔收稿日期〕1999-11-15

刚体的角动量、角速度、力矩和角加速度的关系

陈跃敏

(濮阳广播电视大学,河南濮阳457000)

[摘要]讨论了普通物理范围内刚体转动部分公式、定理的成立条件及使用范围。

[关键词]角动量;角速度;力矩;角加速度;转动惯量[中图分类号]O311.2 [文献标识码]B

一般情况下,刚体对某一轴(包括瞬时轴和固定轴)的转动,可用角速度矢量 ω及角加速度矢量 β描写,刚体运动时还有角动量L 和力矩 M 。和 ω的关系及 M 和 β的关系如何?如问题属于理论力学的范围,但在普通物理学中也往往会涉及到这个问题。因此,在普物范围内搞清它们之间的关系及成立条件和使用范围很有必要。

1　角动量和角速度的关系

首先看一个具体实例。一个均匀杆绕其一端O 作水平转动.如图1所示.若取O 为参考点,则

m i 是质量元,γ_i 是它对O 点的矢径,ν_

i 是它的线

速度。显然,此时各质量元的γ_i ×m i ν_

i 的方向正好都是Z 方向,即指向Z 轴的正方向。

同一旋转杆,如取Z 轴上方一点P 点作为参考点计算杆的角动量L _

p ,则各质量元的γ_

i ×m i ν_

i 各不相同。合成后,L _p 的方向大致如图2所示。而且随着杆的转动,L _p 也转动。可见,参考点的选择不同,刚体运动的角动量也就不同。

同样,若取转轴通过杆的质量中心,并取质心为参考点,角动量与角速度的方向也不一定一致。

下面直接引用理论力学的结果讨论它们之间

的关系。

过参考点建立和刚体一起运动的坐标系,则刚体对活动坐标系X 、Y 、Z 轴的转动惯量及惯量积不随刚体的运动而改变其量值,角动量矢量的

分量式为

如果刚体绕Z 轴转动,则ωx =ωy =0,ωz =

ω。于是角动量矢量的分量式可写为

L x =I xz

ωL y =-I yz ωL z =-I zz

ω由上面的分量式可以看出,刚体绕某一轴转动时,角动量沿该轴的分量与角速度成正比(L z =I zz

ω),但沿其它轴的分量却不一定为零。只有当Z 轴为主轴时,I xz =I yz =0,此时L x =0,L y =0,L z 才等于L ,即

L =I zz ω

所以,在普通物理中所说的角动量表示沿转轴的分量,不能写成矢量式,只有当转轴为惯量主轴时,才能写出如下的矢量式

L _

=I

ω_

式中I 表示对该轴的转动惯量,只有在这种情况下,L _

才和ω_

同方向。一般情况下,L _

和ω_

不一

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1　2000年 安阳师范学院学报

定同方向。

2　力矩和角加速度的关系

将活动坐标系固定于刚体,则刚体对活动坐标系X 、Y 、Z 轴的转动惯量I xx 、I yy 、I zz 及惯量积I xy ,I yz 、I zx ……,不随刚体的运动而改变其量值。

用ω_和和β_

分别表示刚体的角速度和角加速度,

则角动量定理各分量式可写为

M x =I xx βx -I xy βy -I xz βz +L z

ωy -L y ωz M y =-I yz βx +I xy βy -I yz βz +L x ωz -L z ωx M z =-I zx βx -I zy βy +I zz βz +L y

ωx -L x ωy 如果刚体绕Z 轴转动,则ωx =ωy =0,ωz =ωβx

=βy =0,βz =βo 于是角动量定理的分量式可写为

M x =-I xz

β+I yz ω2M y =-I yz β+I xz ω2M z =I zz

β从上面的分量式可以看出,刚体绕某一轴转动时,外力矩沿该轴的分量与角加速度成正比(M z =I zz β),但沿其它轴的分量不一定为零,即使β=0也是如此。只有当Z 轴为主轴时,I xz =I yz =0,此时M x =0,M y =0,M z 才等于M ,即

M =I zz

β所以,在普通物理学刚体的转动定理中所说的力矩只表示力矩沿转轴的分量,不能把定理写成矢量式,只有当转轴为惯量主轴时,才能将转动定理写为M _

=I

_

β的形式。式中I 表示对该轴的转动惯量,同样,也只有在这种情况下,M _

才和M _

同方向。一般情况下,M _

和β_

也不一定同方向。

3　结束语

综上所述,当刚体以角速度ω_

转动时,角动量矢量一般并不平等于角速度矢量,力矩矢量也并不平行于角加速度矢量,仅当角速度矢量沿着刚体的三个特殊主轴中的某一轴时,角动量矢量才与角速度矢量平行,力矩矢量也才与角加速度矢量平行。只有这时关系式L _

=I _

ω及M _

=I _

ω成

立,其它情况下成立的关系式L z =I z ωz 、M z =I z βz

只是沿着转轴的投影式(即分量式)。

[参考文献]

[1]肖士.理论力学简明教程[M ].北京:人民教育出版社,1979

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1 安阳师范学院学报 2000年