§8.10 离散时间系统的频率响应特性

a1 sinω ϕ(ω) = −arctan 1− a cosω 1
说明：1.为了保证该系统稳定 要求| |<1； 为了保证该系统稳定， 说明：1.为了保证该系统稳定，要求|a1|<1； 2.若0<a1<1,则系统呈“低通”特性； 2.若0<a <1,则系统呈“低通”特性； 则系统呈 则系统呈“ 3.若-1<a1<0,则系统呈“高通”特性； 3.若 1<a <0,则系统呈 高通”特性； 4.若a1=0, 则系统呈“全通”特性； 4.若 则系统呈“全通”特性； 教材例8 22中的图 19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了 教材例8-22中的图8-19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了 中的图8 0<a1<1时的系统零、极点图与h(n),|H(ejω)|, ϕ (ω) <1时的系统零 极点图与h ),|H 时的系统零、 的波形图。 的波形图。
例8-10-1 10-
已知离散时间系统的框图如图所示， 已知离散时间系统的框图如图所示，求系 统频率响应特性。 统频率响应特性。 z−1 1 解：系统的差分方程 1 2 x(n) y(n) y(n) = 0.5x(n) + 0.5x(n−1) 2
∑
设系统为零状态的，方程两边取z变换 设系统为零状态的，方程两边取z
H ejω ~ ω ：幅频特性
H ejω = H( z)
( )
( )
= H ej ω ejϕ(ω) z = ejω
(
)
ϕ(ω) ~ω ：相频特性 输出对输入序列的相移
• H(ejω)即h(n)的DTFT
输出与输入序列的幅度之比
为周期函数，所以H 为周期函数， • ejω为周期函数，所以H(ejω)为周期函数， 其周期为2 其周期为2π 。 例8-10-1
θ2 ω
ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权， 系统对不同频率的输入，产生不同的加权， 这就是系统的频率响应特性。 这就是系统的频率响应特性。
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换， 离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换， 即系统的频率响应特性: 即系统的频率响应特性:
y(n) = e
jω n
⋅ H ejω
( )
离散系统（数字滤波器）的分类 离散系统（数字滤波器）
H ejω 通 低
Oω c
( ( ( ( (
)
ω 2 s ω s ω
H ejω
通 带
)
ω 2 s ω s ω
O
H ejω
)
ω 2 s ω s ω
通 高
O
H ejω
阻 带
)
ω 2 s ω s ω
O
H ejω 通 全
∑h( m)⋅ z
单位圆上
H ejω = H(z) z=ejω
( )
H(ejω) 则对输入序列的加权， 则对输入序列的加权， 体现了系统对信号的处理功能 系统对信号的处理功能。 体现了系统对信号的处理功能。 H(ejω) 是H(z) 在单位圆上的动态 变化，取决于系统的特性。 变化，取决于系统的特性。
ω
2
频率响应特性曲线
幅频特性
He
1
( )
jω
H ejω = cos
( )
ω
2
⋯
− 2π
⋯
O
π
2π
ω
图 (1) 幅频特性曲线
相频特性 ϕ(ω) = −
⋯
ω
2
π 2
O
ϕ(jω)
⋯ π
− 2π
2π
ω
图 (2) 相频曲线
返回
例8-10-2 10-
求下图所示一阶离散系统的频率响应。 求下图所示一阶离散系统的频率响应。 x(n) 教材例8 22） （教材例8-22） ∑
A ψ 1 1 z1 ω A 2
θ2
ψ2
C +1 Re[z]
z2
幅频响应 H 幅频响应 e
( )=
jω
∏A r
k=1
M
∏B k
N
r=1 N
令ejω− zr = A ejψr r e − pk = B e k
jω jθk
相位响应 相位响应 (ω) = ∑ r − ∑ k ϕ ψ θ
r=1 k=1
−1
若a1, a2为实系数，且a12+4a2<0, 则H(z)含有 为实系数， +4a 一对共轭极点，令它们是 一对共轭极点，
p1,2 = r e
± jθ
对此因果系统， H(z)的收敛域应为|z|≥ r 的收敛域应为| 对此因果系统， 容易求得r 与系数a 容易求得r,θ与系数a1, a2的关系为
y(n)
解：差分方程
y(n) = a1 y(n −1) + x(n)
z 系统函数 H(z) = z − a1 z > a1
a1
z−1
为了保证该系统稳定，要求|a1|<1 为了保证该系统稳定，要求| 频响特性 H(ejω ) 幅频特性 H(ejω ) 相频特性

ejω = jω e −a 1 1 1 = = 2 1+ a1 − 2a1 cosω (1− a1 cosω) + ja1 sinω
O
)
ω 2 s ω s ω
返回
二．频响特性的几何确定法
H(z) = ∏(z − pk )
r=1 N
r=1 N
∏(z − zr )
M
jIm[z]
Dejω
B 1 p1
θ1
k=1
( H(e ) = Π(e
M jω k=1
Π e − zr
jω jω
) = H(e ) e −p )
jω k
E
B2 O p2
jϕ (ω)
此例给出的二阶离散 系统与RLC二阶模拟电路 系统与 二阶模拟电路 有“相仿”的特性。 相仿”的特性。
返回
•零点的作用与极点相反。 零点的作用与极点相反。
小 结
1. 系统的频响特性
H ejω = H(z)
( )
H ejω ~ ω：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比 幅频特性，
( )
= H ejω ⋅ ejϕ(ω) z = ejω
( )
特性， ϕ(ω) ~ω ：相频特性，输出对输入序列的相移 2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上随 2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上随ω 而动 态变化的情况，影响输出的幅度与相位。 态变化的情况，影响输出的幅度与相位。 3.因ejω是周期为2π的周期函数，所以系统的频响 3.因 是周期为2 的周期函数， 为周期为2 的周期函数。 特性H 特性H(ejω)也为周期为2π的周期函数。 4. |H(ejω)|是关于ω的偶函数，ϕ(ω) 是关于ω的奇函数。 )|是关于 的偶函数， 的奇函数。 例8-10-2 10例8-10-3 10返回
M
几点说明
位于z=0处的零点或极点对幅度响应不产生作用 处的零点或极点对幅度响应不产生作用， • 位于z=0处的零点或极点对幅度响应不产生作用， 因而在z=0处加入或去除零极点 因而在z=0处加入或去除零极点，不会使幅度响 处加入或去除零极点， 应发生变化，但会影响相位响应。 应发生变化，但会影响相位响应。 点旋转到某个极点( 附近时， •当ejω点旋转到某个极点(pi)附近时，如果矢量的长 度Bi最短，则频率响应在该点可能出现峰值。 最短， 若极点p 越靠近单位圆， 愈短， •若极点pi越靠近单位圆，Bi愈短，则频率响 应在峰值附近愈尖锐； 应在峰值附近愈尖锐； 若极点p 落在单位圆上， =0， •若极点pi落在单位圆上，Bi=0，则频率响应 的峰值趋于无穷大。 的峰值趋于无穷大。
o h(n)
对H(z)进行逆变换，单位样值响应为 进行逆变换，
h(n) = A rn ejnθ − rn e−jnθ u(n) b1rn−1 = 2j Arn sin(nθ ) ⋅ u(n) = ⋅ sin(nθ )u(n) sinθ
（c)
n
(
)
如图(c)所示 如图(c)所示,若r<1极点位于单位圆内， 所示, <1极点位于单位圆内 极点位于单位圆内， h(n)为衰减型，此系统是稳定的。 为衰减型，此系统是稳定的。
)
（b)
可见H 除一对共轭极点外， 可见H(z)除一对共轭极点外， 还在z=0点有一个零点，如图(b)所示 还在z=0点有一个零点，如图(b)所示。 所示。
若把H 展成部分分式， 若把H(z)展成部分分式，得
1 1 H(z) = A − jθ −1 −jθ −1 1− r e z 1− r e z b 1 A= 其中 2 jr sinθ
(1− re z )(1− re
jθ −1
− jθ −1
z = 1− a1z − a2z
)
−1
−2
jImz
得到: 得到:
r2 = −a2 2r cosθ = a 1
r
O
p1
b1z−1 H(z) = 1− r ejθ z−1 1− r e−jθ z−1
于是H 于是H(z)可写成
θ
p2
+1
Re z
(
)(
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入x )=e 设输入x(n)=ejnω 为本征函数
h(n)为稳定的因果系统 为稳定的因果系统
x(n) h(n) y(n)
y(n) = h(n) ∗ x(n) =
H(z) =
∞
m=−∞
∑h(m)e
−m
∞
jω( n−m)
=e
jω n
m=−∞
h(m) e−jωm ∑
∞
m=−∞
§8.10 离散时间系统的频率 响应特性
一、离散系统频响特性的定义 二、频响特性的几何确定法
返回
一．离散系统频响特性的定义
正弦序列作用下系统的稳态响应
x(n) H(z)
yzs (n)
的因 果 稳定
x(n)
散 离 系统
ω Asin(nω+θ1 )
n
yzs (n)
A
O
B
O
Bsin(nω+θ2 )
n
θ1 ω
系统的频率响应为 H ejω
( )
b1 e−jω = 1− a1 e−jω− a2 e−2jω
H ejω
根据H 的零极点分布， 根据H(z)的零极点分布， 通过几何方法可以大致估计 出频率响应的形状，如图(d) 出频率响应的形状，如图(d) 所示。 所示。
o
( )
(π)
ω s 2 (d)
(2π)
ω s ω
返回
例8-10-3 10-
求图（a）所示二阶离散系统的频率响应。 求图（
x(n) z
−1
（教材例8-23） 教材例8 23）
b1
∑
a1 a2 z−1 z−1 （a)
y(n)
该系统的差分方程为
y(n) = a1 y(n −1) + a2 y(n − 2) + b1 x(n −1)
b1z 系统函数写作 H(z) = 1− a1z−1 − a2 z−2
Y(z) = 0.5X(z) + 0.5z−1 X(z) Y(z) = 0.5 + 0.5z−1 系统函数 H(z) = X(z) 系统的频率响应特性
H e j ω = H(z) z=e j ω = 0.5 1+ e− j ω = 0.5e
−j
( )
(
)
ω
2 ⋅e
−j
ω
2
⋅
e
j
ω
2
+e 2
−j
ω
2
⋅ 2 = cos