高斯投影及高斯投影 坐标系

ds2 mL2.( N cos Bdq)2
2mBmL N 2 cos2 B cosdqdl
mB2 .( N cos Bdl)2
对照第一基本形式，得：
N cosBdq dS A N cosBdl
ds N cos BdqmL
N cos BdlmB
E mL2 (N cosB)2 G mB2 (N cosB)2
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：
a2

1 2
(mB2
mL2 )
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
b2

1 2
(mB2
mL2 )
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
F mBmL N 2 cos2 B cos
且： cos F
EG
12
3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式，得：
m2 mL2 cos2 A mBmL cos sin 2A mB2 sin2 A
若使：d dA
(m2 )

mL2
sin
2 A0

2mBmL
cos
c os2 A0
3、方向变形与角度变形
某方向（以主方向起始） 投影后为1，则有：
tg1
源自文库

y1 x1

by ax

b tg
a
由三角公式，得：
tg1
tg

ba a
tg

sin(1 ) cos1 cos
tg1
tg

ba a
tg

sin(1 ) cos1 cos
sin(1
30
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
高斯投影的性质：1. 投影后角度不变 2. 长度比与点位有关，与方向无关 3. 离中央子午线越远变形越大
为控制投影后的长度变形，采用分带投影的 方法。常用3度带或6度带分带，城市或工程控制 网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带。
31
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质

ds2 dS 2

Edq2 2Fdqdl Gdl 2 N 2 cos2 B(dq2 dl 2 )
将 tgA N cos Bdl dl 代入上式，得： MdB dq
m2

E
cos2
A
2F cos Asin N 2 cos2 B
A G sin2
A
9
3.1.2 地图投影变形及其表述
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
q
B
MdB
dB

ln

tg(
B ) e . (1 e sin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
6
3.1.2 地图投影变形及其表述
引入等量纬度后，投影公式为：
其中：l = L - L0
x f1(q, l) y f2 (q, l)
求微分，得：
dx x dq x dl
q
l
dy y dq y dl
q
l
7
3.1.2 地图投影变形及其表述
根据微分几何，其第一基本形式为：
L 6n 3 或为 n 1 (L 3)
0
60
L ' 3n'
或为
L n' 0
0
3
32
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
当A=0°或180 °，得经线方向长度比：
E mL N cos B
G 当A = 90°或270 °，得纬线方向长度比： mB N cos B
要使长度比与方向无关，只要：F = 0, E = G， 则长度比可表示为：
m E G N cos B N cos B
10
3.1.2 地图投影变形及其表述
ds2 Edq2 2Fdqdl Gdl 2
其中：
E ( x )2 ( y )2
q
q
F ( x )(x ) ( y )(y ) q l q l
G ( x )2 ( y )2
l
l
8
3.1.2 地图投影变形及其表述
则，长度比公式为：
m2
tg1'

b a
tg
'
解得最大变形方向为：
tg '
a b
, tg1'
b a
18
3.1.2 地图投影变形及其表述
两方向、所夹角的变形称为角度变形，用表示。即：
(1 1) ( )


arcsinbb

a a
sin(1


)

arcsin
b b

a a
sin(1
)
显然，当 +1 = 90°、 + 1 = 270 °或 +1 = 270°、 + 1 = 90 °时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：
max

arcsin

b b

a a


arcsin
b b

第三章 高斯 投影及高斯平面直角坐标 系
§3.1 地图投影概述
3.1.1 地图投影的意义与实现
由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L，与平面坐标x,y的关系
x F1(B, L) y F2 (B, L)
因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必 然会产生投影变形，控制投影变形有各种不同的方 法，对应于不同的投影。
2
3.1.2 地图投影变形及其表述
1、投影长度比、等量纬度及其表示式 长度比：投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比。 m ds dS
投影平面上微分长度： ds2 dx2 dy2
椭球面上微分长度：
dS 2

M
2dB2

N
2
cos2
BdL2

N
2
cos2
B(
M 2dB2 N 2 cos2 B
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
长度比与方位角无关的投影称为正形投影，必须满足 条件E = G, F = 0，即：

x q
2



y q
2



x l
2


y l
2
x x y y 0 q l q l
)

b b

a a
sin(1
)
显然，当 +1 = 90°或 270 °时，方向变形最大
17
3.1.2 地图投影变形及其表述
若与1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：
umax

1'

'

arcsin b b

a a
顾及：
tg1' tg(90 ' ) ctg '
4
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
q
B
MdB
dB

ln

tg(
B ) e . (1 e sin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。

mB2
sin
2 A0

0
tg 使长度比为极值的方向： 2 A0


2mBmL cos
mB2 mL2
由三角公式得：
cos2A0
1
1 tg 2 2A0
mL2 mB2
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
sin 2A0 1 cos2 2A0
2mLmB cos (mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin2
13
3.1.2 地图投影变形及其表述
由此得，长度比极值为：
m02

mB2
mL2 2

mL2
mB2 2
cos 2A0
mBmL
cos
sin 2A0
将三角展开式代入得：
m02

1 2
(mB2
mL2 )
a a


2
arcsin
b b

a a

19
3.1.2 地图投影变形及其表述
4、面积比与面积变形
椭球面上单位圆面积为 ，投影后的面积为ab，
则面积变形为：
n ab / ab
Vn n 1 ab 1
n mLmB sin
20
3.1.3 地图投影的分类
14
3.1.2 地图投影变形及其表述
不难得出下列关系：
a2 b2 mB2 mL2
ab mLmB sin
(a b)2 mL2 2mLmB sin mB2 (a b)2 mL2 2mLmB sin mB2
15
3.1.2 地图投影变形及其表述
若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴 和y轴方向，在投影面上为x1和y1方向，则有：
22
3.1.3 地图投影的分类
(2). 正轴或斜、横轴圆柱投影 正轴圆柱投影：投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投
影)、或相割(割圆柱投影) 切圆柱投影：投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成 一组平行直线，经线投影成与纬线正交 的另一组平行直线。 割圆柱投影：投影圆柱面与两条对称纬线相割，纬线 投影成一组平行直线，经线投影成与纬 线正交的另一组平行直线。
23
3.1.3 地图投影的分类
横轴圆柱投影：投影圆柱面与某经线相切。 斜轴圆柱投影：用于小比例尺投影，将地球视为圆球，
投影圆柱体斜切于圆球进行投影。
(3). 圆锥投影：圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上 物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平 面。 根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥 投影、斜圆锥投影。
y y
由第二式解得：
x l


q l x
1
q
27
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
代入第一式，得：
y 2

x q
2


y q

2


l

2

x q


x q
2


y q

dL2 )
N 2 cos2 B(dq2 dL2 )
3
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
q
B
MdB
dB

ln

tg(
B ) e . (1 e sin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
Px, y

P1x1, y1

椭球面上
投影面上
x1 ax y1 by,
x2 y2 1
x12 a2

y12 b2
1
m
x12 y12
a2x2 b2 y2
a2 cos 2 b2 sin 2
x2 y2
x2 y2
16
3.1.2 地图投影变形及其表述

2

即为:

y l
2



x q
2
考虑到导数的方向，开方根得：x y
2
q l
再代入 1 式，得：
x y 3 l q
28
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
2 ，3 式称为Kauchi-Rimann方程，满足 该方程的复变函数为解析函数，可展开成幂 级数，即有：
1、按投影变形的性质分类
(1). 等面积投影 ab=1
(2). 等角投影 a=b
(3). 等距离投影 某一方向的长度比为1。
21
3.1.3 地图投影的分类
2、按采用的投影面和投影方式分类 (1). 方位投影 投影面与椭球面相切，切点为投影中心，按一定 条件将椭球面上的物投影到平面上。
x cos f (Z ) cos y sin f (Z ) sin
x iy f (q il) Z x iy, W q il Z f (W )
其反函数也是复变函数，可以写成：
q il F(x iy) W F(Z)
29
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
高斯-克吕格投影的条件： 1. 是正形投影 2. 中央子午线不变形
24
3.1.3 地图投影的分类
25
习题
1. 给出等量纬度的定义，引入等量纬度有何作用。 2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件？并给出证明。 3. 变形主方向有什么性质？ 4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件？ 5. 地图投影按变形性质分哪几类？按投影方式分哪几类？
26
§3.2 正形投影与高斯-克吕格投影
长度比与1之差，称为长度变形，即：
vm

m
1
ds dS dS
vm>0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。
11
3.1.2 地图投影变形及其表述
2、主方向和变形椭圆 主方向：在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍 然正交，则这两个方向称为主方向。 性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。