回归预测的基本步骤与案例研究

❖ 由于预测值与实际值之间存在有不确定的偏差，因而需要确 定预测值的有效区间，即置信区间。
❖ 一元线性回归预测的置信区间有下述表达式确定：
置信区 间:
[ y t (n 2) • S ( y) ，y t (n 2) • S ( y)]
2
2
其中
S ( y)
( y y ) 2 •
1 1
(x0 x)2
❖ 一元线性回归的基本步骤如下：
第一步：绘制散点图，观察自变量与因变量之间的相互关系； 第二步：估计参数，建立一元线性回归预测模型； 第三步：对预测模型进行检验； 第四步：计算与确定置信区间。
9.2.1 建立一元线性回归预测模型
❖ 一元线性回归预测的基本模型如下：
y a bx 其中
b n xy x y xy x y n x2 ( x)2 x2 x x
a y bx
9.2.2 预测模型检验
❖ 相关系数检验
相关系数是描述两个变量之间线性关系能密切程度的数量指标。相关系 数r的取值范围是[-1，1]。若r=1则说明完全正相关，若r=-1则说明完全 负相关；r=0说明不相关；r的值在（0，1）之间则正相关，在（-1，0） 之间则为负相关。
❖ t检验
9.1 回归预测概述（2）
❖ 回归分析的基本步骤如下： 第一步：判断变量之间是否存在有相关关系 第二步：确定因变量与自变量 第三步：建立回归预测模型 第四步：对回归预测模型进行评价 第五步：利用回归模型进行预测，分析评价预测值
9.2 一元线性回归预测
❖ 一元线性回归预测是在一个因变量与一个自变量之间进行的 线性相关关系的回归预测。
9.1 回归预测概述（1）
❖ 回归预测以因果关系为前提，应用统计方法寻找一个适当的 回归模型，对未来市场的变化进行预测。
❖ 回归分析具有比较严密的理论基础和成熟的计算分析方法； 回归预测是回归分析在预测中的具体运用。
❖ 在回归预测中，预测对象称为因变量，相关的分析对象称为 自变量。
❖ 回归分析根据自变量的多少分为一元回归分析、二元回归分 析与多元回归分析，但有时候二元回归分析被并入到多元回 归分析之中；回归分析根据回归关系可分为线性回归分析与 非线性回归分析。
t检验是利用t统计量来检验回归参数a和b是否具有统计意义。
9.2.2 预测模型检验（相关系数检 验）
❖ 相关系数的计算公式是：
r
( x x )( y y )
(x x)2 (y y)2
或者写成
r
xy
1 n
x
y
❖ 另一个来自于 方x 2 差 1n分( 析x的) 2 相关y系2 数1n 的( 计y )算2 公式是：
9
115 . 11 1 30 . 3 2 1036 . 65 1 91 . 1 2
9
9
0 . 9911
查表得
r ( n 2 ) r 0 . 05 ( 9 2 ) r 0 . 05 ( 7 ) 0 . 666 即有
r r 0 . 05 ( 7 )
9.2.4 一元线性回归预测案例研究 （4）
n2
n (xx)2 92 9 1.31
(令x0 4) yt(n2)•S(y) 1.1982.3650.66112.042
2
yt(n2)•S(y)1.1982.3650.66112.354
2
9.3 一元非线性回归预测
❖ 一元非线性回归预测的基本步骤 ❖ 一元非线性回归预测的主要模型
指数曲线模型 双曲线模型 对数曲线模型 S型曲线模型 ❖ 案例研究
取 α 0.05
t (n 2) t 0.025 (7 ) 2.365
2
即有
t 19 .692 t 0.025 (7 ) 线性相关成立。
9.2.4 一元线性回归预测案例研究 （6）
❖ 计算确定置信区间。计算得到置信区间为[10.42,13.54]，具体计算过程 如下：
S(பைடு நூலகம்) (yy)2 • 11 (x0x)2 2.03 11(43.37)2 0.6612
y ae bx 两边取对数： ln y ln a ln e bx ln a bx 设 y ln y , a ln a 则有： y a bx
9.3.3 双曲线模型
❖ 设有双曲线方程如下：
1 ab1
y
x
设 y 1 , x 1
9.3.1 一元非线性回归预测的基本 步骤
❖ 一元非线性回归预测的基本步骤如下： 第一步：确定非线性回归模型的类型。 第二步：通过变换将非线性方程转化为线性方程。 第三步：用最小二乘法建立回归方程。 第四步：进行逆变换，将线性方程转换为需要的非线 性
方程。
9.3.2 指数曲线模型
❖ 设有指数曲线如下：
n2
n (x x)2
x0为给定值。
9.2.4 一元线性回归预测案例研究 （1）
❖ 例：x、y两变量的观察数据如下表所示，根据数据进行回归预测。
9.2.4 一元线性回归预测案例研究 （2）
❖ 根据前表可知：
b nxyxy 9345.0930.391.1 2.9303
nx2 (x)2
9115.1130.32
a y bx 91.12.930330.3 0.2579
9
9
所以有
y abx 0.25792.9303x
9.2.4 一元线性回归预测案例研究 （3）
❖ 相关系数检验。 根据前表数据以及相关系数计算公式可知本例为显著线性相关。
r
xy
1 n
x
y
x2
1 n
(
x)2
y2
1 n
(
y)2
345 . 09 1 30 . 3 91 . 1
❖ t检验。t检验的分析计算表如下：
y xx yy (x x)2 (yy)2
9.2.4 一元线性回归预测案例研究 （5）
❖ 根据上表数据以及t统计量的计算公式有：
S b
( y y ) 2
(n 2) (x x)2
2.03 0.1488 (9 2) 13 .1
t b 2.9303 19 .692 S b 0.1488
r 1(yy)2 (yy)2
9.2.2 预测模型检验（t检验）
❖ t检验使用的统计量计算公式是：
t b Sb
其中
( y y ) 2 S b ( n 2 ) ( x x ) 2
取 α 0 .05
当有 t t ( n 2 )
2
线性相关成立。反之则
不成立。
9.2.3 计算与确定置信区间